專題突破練21函數(shù)的圖象與性質(zhì)必備知識(shí)夯實(shí)練1.(2025遼寧沈陽(yáng)二模)已知f(x-1)=ex,則f(2)=()A.e B.2e C.e2 D.e32.(2022天津,3)函數(shù)y=|x2-1A. B.C. D.3.(2025廣東揭陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x,則函數(shù)y=f(x-1)+1的圖象()A.關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)(-1,0)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱4.(2025遼寧葫蘆島模擬)已知函數(shù)y=f(2x+1)的定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)y=f(x)loA.[-1,2] B.(-1,2]C.[-1,5] D.(-1,5]5.(2025江蘇泰州一模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4-x),且f(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增.設(shè)a=f(74),b=f(72),c=f(-13),則下列選項(xiàng)正確的是(A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a6.(多選題)(2025湖南衡陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2|x|(x<a),若函數(shù)F(x)=f(x)-x存在兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值可能是()A.-1 B.1C.2 D.37.(多選題)(2025山東青島一模)已知狄利克雷函數(shù)D(x)=1,x∈Q,0,x?Q.設(shè)函數(shù)f(x)=D(A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是周期函數(shù)C.f(x)的值域是[-1,1]D.f(x)在區(qū)間[-1,1]上的有理數(shù)零點(diǎn)恰有3個(gè)8.(2023全國(guó)甲,理13)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數(shù),則9.(2025上海浦東模擬)已知函數(shù)f(x)=(12)

x-3,x≤0,關(guān)鍵能力提升練10.(2025山東濟(jì)南一模)已知函數(shù)f(x)=e-x-1,x≤0,1-ex,x>0A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,-3) D.(-3,+∞)11.(多選題)(2025廣東汕頭一模)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=tanπ4x,則下列結(jié)論正確的是(A.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱B.f(43)=C.f(x)在區(qū)間[2023,2025]上單調(diào)遞增D.當(dāng)x∈[0,201]時(shí),方程f(x)=33的所有解的和為905012.(多選題)(2025山東濟(jì)寧二模)已知函數(shù)f(x)=cosx-sin(cosx)-1,則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱B.2π是f(x)的一個(gè)周期C.f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增D.f(x)<-213.(2025河北秦皇島模擬)已知函數(shù)f(x)滿足對(duì)?x∈R都有f(x)+f(-x)=0成立.當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+2x,則不等式f(f(x))+f(x+1)<0的解集為.核心素養(yǎng)創(chuàng)新練14.(2025北京海淀模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)﹐若集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有k個(gè)元素,則稱函數(shù)f(x)是“k階準(zhǔn)偶函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=((1)若a=0,則函數(shù)f(x)是“階準(zhǔn)偶函數(shù)”;

(2)若函數(shù)f(x)是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”,則a的取值范圍是.

答案：1.D解析令x-1=2,得x=3,所以f(2)=f(3-1)=e3.故選D.2.A解析函數(shù)y=f(x)=|x2-1|x的定義域?yàn)閧x|x≠0},且f(-x)=|(-x)2-1|-x=-|x2-1|x=-f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù)3.A解析因?yàn)閒(x)=ex-e-x,x∈R,所以f(-x)=e-x-ex=-f(x),即f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,函數(shù)y=f(x-1)+1的圖象可由f(x)的圖象先向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到,所以函數(shù)y=f(x-1)+1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱.故選A.4.D解析對(duì)于函數(shù)y=f(2x+1),-1≤x≤2,則-1≤2x+1≤5,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-1,5].對(duì)于函數(shù)y=f(需-解得-1<x≤5.所以函數(shù)y=f(x)log2(x5.D解析定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(4-x),則f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,所以f(x)=f(4-x)=-f(-x),則f(x+4)=-f(x),則f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8,所以b=f(72)=f(12),c=f(-13)=f(3)因?yàn)閒(x)在[-2,2]上單調(diào)遞增,所以b=f(12)<c=f(1)<a=f(74故選D.6.BCD解析F(x)=f(x)-x=x2+x,x<0則F(x)在R上共有3個(gè)零點(diǎn),即F(x)=0在R上有3個(gè)根,分別是x1=-1,x2=0,x3=3.又因?yàn)楹瘮?shù)F(x)=f(x)-x在x∈(-∞,a)內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn),故a∈(0,3].故選BCD.7.ABD解析D(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),-x是有理數(shù),則D(-x)=D(x)=1,當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí),-x是無(wú)理數(shù),則D(-x)=D(x)=0,即D(x)為偶函數(shù),故f(-x)=sin(-πx)·D(-x)=-sinπx·D(x)=-f(x),f(x)是奇函數(shù),故A正確;對(duì)于任意的2k,k∈Z,且k≠0,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),x+2k也是有理數(shù),則D(x+2k)=D(x)=1,當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí),x+2k也是無(wú)理數(shù),則D(x+2k)=D(x)=0,f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sinπx=f(x),即函數(shù)f(x)是周期函數(shù),故B正確;函數(shù)D(x)的值域?yàn)閧0,1},當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí),f(x)=0,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),f(x)=sinπx,πx不能取到一個(gè)周期中的所有實(shí)數(shù),所以f(x)=sinπx取不到[-1,1]的全部,故C錯(cuò)誤;f(x)=D(x)·sinπx=0,當(dāng)x為有理數(shù)時(shí),f(x)=sinπx,得出在區(qū)間[-1,1]上的零點(diǎn)分別是-1,0,1,即有3個(gè)有理數(shù)零點(diǎn),故D正確.故選ABD.8.2解析由題意整理得f(x)=x2+(a-2)x+cosx+1,∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2+(2-a)x+cosx+1,∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2+(2-a)x+cosx+1,解得a=2.9.[-2,1]解析因?yàn)閒(x)≤1,若x≤0,則(12)x-3≤1,即(12)x≤4=(12)-2,解得-2≤若x>0,則x2≤1,解得0<x≤1.綜上,不等式f(x)≤1的解集為[-2,1].10.A解析當(dāng)x>0時(shí),f(x)=1-ex,此時(shí)-x<0,則f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);當(dāng)x<0時(shí),f(x)=e-x-1,此時(shí)-x>0,則f(-x)=1-e-x=-f(x);且當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0,所以f(x)為奇函數(shù),易知f(x)為R上的單調(diào)遞減函數(shù),則由f(2x)+f(x-3)>0,得f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),則2x<3-x,解得x<1,所以原不等式的解集為(-∞,1).故選A.11.AC解析由f(x+2)=-f(x)=f(-x)知,f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,所以A正確;所以f(43)=f(23)=tanπ6=3奇函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,且f(0)=0,所以f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增,由f(x+4)=-f(x+2)=f(x)知,f(x)是周期為4的函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[2023,2025]上單調(diào)遞增,所以C正確;因?yàn)榍€f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,f(23)=33,且f(x)在[-1,1]所以方程f(x)=33在[-1,1]上有一根23,再結(jié)合對(duì)稱性可得f(x)=33在[1,3]上有一根43,即一個(gè)周期內(nèi)有兩根,且和為2,故f(x)=33在[0,201]上所有根的和為2×(1+5+9+…+201)-(202-23)=1010023,12.ABD解析對(duì)于A,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=cos(-x)-sin(cos(-x))-1=cosx-sin(cosx)-1=f(x),所以f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故A正確;對(duì)于B,因?yàn)閒(x+2π)=cos(x+2π)-sin(cos(x+2π))-1=cosx-sin(cosx)-1=f(x),所以f(x)的一個(gè)周期是2π,故B正確;對(duì)于C,f'(x)=-sinx+sinxcos(cosx)=sinx[cos(cosx)-1],因?yàn)閤∈[0,π],所以sinx≥0,又cos(cosx)-1≤0,所以f'(x)≤0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0,或x=π或x=π2時(shí),f'(x)=0,所以f(x)=cosx-sin(cosx)-1是[0,π]上的單調(diào)遞減函數(shù),故C錯(cuò)誤對(duì)于D,因?yàn)?1≤cosx≤1,令t=cosx,則y=t-sint-1,求導(dǎo)得y'=1-cost,由于cost∈[-1,1],所以y'=1-cost≥0,所以y=t-sint-1單調(diào)遞增.當(dāng)t=1時(shí),y取得最大值1-sin1-1=-sin1;當(dāng)t=-1時(shí),y取得最小值-1-sin(-1)-1=sin1-2.因?yàn)閟in1>sinπ4所以-sin1<-sinπ4=-2即f(x)<-22,故D正確故選ABD.13.(-∞,3-132)解析因?yàn)閷?duì)?x∈R都有f(x)+f(-x)=0,所以f(x)是又當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,顯然f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,則f(-x)=x2-2x,即f(x)=-f(-x)=-x2+2x;由f(f(x))+f(x+1)<0,可得f(f(x))<-f(x+1)=f(-x-1),故得f(x)<-x-1,則有x或x即x解得x<3-所以不等式f(f(x))+f(x+1)<0的解集為(-∞,3-1314.(1)2(2)[-2,-1)∪[1,2)解析(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)=(當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x,f(-x)=(12)-x=2x,根據(jù)題意得2x=2x,解得x=2或x=則集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有2個(gè)元素,故f(x)=(12)

x,(2)若函數(shù)f(x)=(12)

x,x≤a,2x,x>a是“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”,則集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1個(gè)元素,當(dāng)a=0當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)=(12)

圖①圖②根據(jù)“1階準(zhǔn)偶函數(shù)”的定義得f(x)=2x,f(-x)=(12)-x=2x由題意知f(x)=f(-x),所以2x=2x,解得x=1或x=2,要使得集合{x|x>0,f(x)=f(-x)}中恰有1個(gè)元素,則需要滿足-2≤a<