高中2024級高二第一學(xué)期第一次限時練習(xí)數(shù)學(xué)試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓的圓心和半徑分別為（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，42.若直線：與：平行，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.3.三棱錐中，，點為中點，點滿足，則（）A. B.C. D.4.已知點A(0，3)，B(3，2)，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A[－2，0)∪(0，] B.(－∞，－]∪[2，＋∞)C.[－2，] D.(－∞，－2]∪[，＋∞)5.在空間直角坐標系中，，，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.6.當動點在正方體的體對角線上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是A B. C. D.7.如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A B. C. D.8.在正四面體中，點在線段上運動（不含端點）.設(shè)與平面所成角為，與平面所成角為，與平面所成角為，則（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列說法錯誤的是（）A.若空間向量，滿足，則與夾角為銳角.B.設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底.C.若，則存在唯一的實數(shù)，使.D.向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)的值為1.10.下列說法正確的是（）A.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則點在第二象限.B.斜率為，在軸截距為3的直線方程為.C.直線關(guān)于對稱的直線方程是.D.對任意的，直線與直線有公共點.11.如圖，正三棱柱中，，點P在線段上（不含端點），則（）A.不存在點P，使得B.面積的最小值為C.的最小值為D.三棱錐與三棱錐的體積之和為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若空間向量，，則在上的投影向量的坐標為__________．13.平面直角坐標系中，任意兩點，，定義為“A，B兩點間的距離”，定義為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知為坐標原點，為平面直角坐標系中的動點，且，則的最小值為__________.14.如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，為內(nèi)部一動點，過分別作平面，平面，平面的垂線，垂足分別為，，．①直線與直線是異面直線；②為定值；③三棱錐的外接球表面積的最小值為；④當時，平面與平面的夾角大小為．則以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.直線l經(jīng)過兩直線：和：的交點.（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若點到直線l的距離為5，求直線l的方程.16.如圖，在六面體中，四邊形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分別是，的中點．（1）證明：平面．（2）若，求點到平面的距離．17.已知圓C過點，，且圓心上，（1）求圓C的方程；（2）已知平面內(nèi)兩點，，P為圓C上的動點，求的最小值.18.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．19.若，則稱為維空間向量集，為零向量，對于，任意，定義：①數(shù)乘運算：；②加法運算：；③數(shù)量積運算：；④向量的模：，對于中一組向量，若存在一組不同時為零的實數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)，（1）對于，判斷下列各組向量是否線性相關(guān)：①；②；（2）已知線性無關(guān)，試判斷否線性相關(guān)，并說明理由；（3）證明：對于中的任意兩個元素，均有，

2024級高二第一學(xué)期第一次限時練習(xí)數(shù)學(xué)試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.圓的圓心和半徑分別為（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，4【答案】C【解析】【分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標準方程形式，直接判斷即可.【詳解】由題可知：圓即所以該圓的圓心為，半徑為故選：C2.若直線：與：平行，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行列方程計算即可.【詳解】由題意，，解得或，當時，直線：，：，兩直線平行；當時，：，：，兩直線重合.綜上所述，.故選：A3.三棱錐中，，點為中點，點滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖形，題意，結(jié)合空間向量加減法可得答案.【詳解】，又為中點，故選：C4.已知點A(0，3)，B(3，2)，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A.[－2，0)∪(0，] B.(－∞，－]∪[2，＋∞)C.[－2，] D.(－∞，－2]∪[，＋∞)【答案】D【解析】【分析】求出和，數(shù)形結(jié)合觀察滿足直線l過點且與線段AB有公共點下斜率的變化情況即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作出圖形如下圖：直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，所以由圖可知過點且與線段AB有公共點時，直線l的斜率取值范圍是.故選：D.5.在空間直角坐標系中，，，，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間點到直線距離公式求解即可.【詳解】由，，，則，則，，所以點到直線的距離為.故選：B6.當動點在正方體的體對角線上運動時，異面直線與所成角的取值范圍是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出BP與AD1所成角的取值范圍．【詳解】以為原點，，，分別為，，軸正向，建立空間直角坐標系，則，，設(shè)，則，，，故，對于函數(shù)，有：，，故，又，故.故選.【點睛】本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，考查異面直線所成角的概念等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．7.如圖，在三棱錐中，點為底面的重心，點是線段上靠近點的三等分點，過點的平面分別交棱，，于點，，，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D8.在正四面體中，點在線段上運動（不含端點）.設(shè)與平面所成角為，與平面所成角為，與平面所成角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，，，，，然后算出，，即可.【詳解】不妨設(shè)，，，，，所以，所以所以設(shè)平面法向量為則有，即，即所以可取所以，同理可得，因為，所以，故，故選：D二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列說法錯誤的是（）A.若空間向量，滿足，則與夾角為銳角.B.設(shè)是空間中一組基底，則也是空間的一組基底.C.若，則存在唯一的實數(shù)，使.D.向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)的值為1.【答案】ABC【解析】【分析】舉例判斷AC；根據(jù)共面向量的定義求解判斷BD.【詳解】對于A，當與方向相同時，且都不為零向量時滿足，但與夾角為0，故A錯誤；對于B，由于是空間中的一組基底，則不共面，因為，所以共面，所以不是空間的一組基底，故B錯誤；對于C，當時，，但不存在唯一的實數(shù)，使，故C錯誤；對于D，若向量，，共面，則，即，則，解得，故D正確.故選：ABC10.下列說法正確的是（）A.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則點在第二象限.B.斜率為，在軸截距為3的直線方程為.C.直線關(guān)于對稱的直線方程是.D.對任意的，直線與直線有公共點.【答案】AD【解析】【分析】對于A，結(jié)合一次函數(shù)的特征可得，進而判斷即可；對于B，根據(jù)斜截式方程求解判斷即可；對于C，先求出直線與的交點，再求出直線上一點的對稱點，進而求解判斷即可；對于D，由題設(shè)可得直線恒過定點，而在直線上，進而判斷即可.【詳解】對于A，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，則，所以點在第二象限，故A正確；對于B，斜率為，在軸截距為3的直線方程為，故B錯誤；對于C，聯(lián)立，解得，則直線與的交點為，取直線上一點，設(shè)其關(guān)于直線對稱點為，則，解得，即對稱點為，則所求直線的斜率為，則所求直線的方程為，即，故C錯誤；對于D，直線，即，令，解得，則直線恒過定點，而在直線上，所以對任意的，直線與直線有公共點，故D正確.故選：AD11.如圖，正三棱柱中，，點P線段上（不含端點），則（）A.不存在點P，使得B.面積的最小值為C.的最小值為D.三棱錐與三棱錐的體積之和為定值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，建立空間直角坐標系，利用空間向量計算判斷AB；把放置于同一平面內(nèi)，計算兩點間距離判斷C；利用等體積法計算判斷D.【詳解】在正三棱柱中，取BC的中點O，連接OA，則，又底面ABC，則，又，平面，所以平面，在平面內(nèi)作，以O(shè)為原點，直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，，，，設(shè)，則，，設(shè)，則，所以，，則.對于A，，，要使，則，解得，所以當時，存在點P，使得，故A不正確；對于B，，，設(shè)，則，所以，則，因為，所以當時，取得最小值，故B正確；對于C，將和沿展開在同一平面內(nèi)，如圖，連接交于點T，可知，當點P與點T重合時取得最小值，依題意，，，則，，所以，在中，由余弦定理，得，則，即的最小值為，故C不正確；對于D，，故D正確．故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若空間向量，，則在上的投影向量的坐標為__________．【答案】【解析】【分析】利用投影向量的公式及空間向量的數(shù)量積運算即可得到結(jié)果.【詳解】由，，則，，所以在上的投影向量的坐標為.故答案為：.13.平面直角坐標系中，任意兩點，，定義為“A，B兩點間的距離”，定義為“A，B兩點間的曼哈頓距離”，已知為坐標原點，為平面直角坐標系中的動點，且，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)得出，利用點到直線的距離可得答案.【詳解】設(shè)，則由，因為，所以，的最小值為點到線段的距離，最小值為.故答案為：14.如圖，在三棱錐中，三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，為內(nèi)部一動點，過分別作平面，平面，平面的垂線，垂足分別為，，．①直線與直線是異面直線；②為定值；③三棱錐的外接球表面積的最小值為；④當時，平面與平面的夾角大小為．則以上結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】②③【解析】【分析】根據(jù)，即可判斷②；由題意可知兩兩垂直，由②結(jié)合基本不等式求出三棱錐的外接球半徑的最小值，即可判斷③；當時，為的中心，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法即可判斷④；當為的中心時，，利用向量法證明，即可判斷①.【詳解】對于②，設(shè)，由題意，即，所以，即為定值，故②正確；對于③，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，由題意可知兩兩垂直，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為，即的最小值為，所以三棱錐的外接球表面積的最小值為，故③正確；對于④，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，因為，所以，此時，為的中心，則，因為，所以平面，故即為平面的一個法向量，而，設(shè)平面的一個法向量為，則有，可取，則，所以平面PQR與平面OBC所成的銳二面角的余弦值為，故④錯誤，由④可知，當為的中心時，，，則，所以，所以直線PR與直線BC共面，故①錯誤.故答案為：②③.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.直線l經(jīng)過兩直線：和：的交點.（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若點到直線l的距離為5，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）聯(lián)立方程組，求得兩直線的交點坐標，利用垂直關(guān)系求得斜率，結(jié)合點斜式方程，即可求解；（2）分直線的斜率存在與不存在，結(jié)合點到直線的距離公式求得斜率，利用點斜式方程，即可求解.【小問1詳解】解：聯(lián)立方程組，解得交點，又直線與直線垂直，所以直線的斜率為，則直線的方程為，即.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線的方程為，滿足點到直線的距離為5；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則點到直線的距離為，求得，故直線的方程為，即，綜上可得，直線的方程為或.16.如圖，在六面體中，四邊形是正方形，，，都垂直于平面，且，，，，分別是，的中點．（1）證明：平面．（2）若，求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，，根據(jù)題意可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）空間直角坐標系，求平面AMF的法向量，利用空間向量求點到面的距離.【小問1詳解】因為，，都垂直于平面，則.取的中點，連接，，則，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，可得，且平面，平面，所以平面.【小問2詳解】連接，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，可得.故點到平面的距離.17.已知圓C過點，，且圓心在上，（1）求圓C的方程；（2）已知平面內(nèi)兩點，，P為圓C上的動點，求的最小值.【答案】（1）（2）130【解析】【分析】（1）由圓心在弦的中垂線上，聯(lián)立方程組即可求得；（2）設(shè)，用距離公式表示，轉(zhuǎn)化為圓外一點與圓上一點的距離的最值問題即可求解.【小問1詳解】，，由中點坐標公式得MN的中點坐標為，，的中垂線方程為：，即，，，，圓的方程為【小問2詳解】設(shè)，，即點P到原點O的距離的平方，，，18.在中，，，，分別是上的點，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點，如圖所示．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為,若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，的長度為或【解析】【分析】（1）通過證明，來證得平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得正確答案.【小問1詳解】因為在中，，，且，所以，，則折疊后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面內(nèi)，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系

，因為，故，由幾何關(guān)系可知，，，，故，，，，，，假設(shè)