2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

導(dǎo)數(shù)（人教B版）

一、單選題

1.（2025北京密云高二上期末）曲線/（x）=x+a?在點(diǎn)（LN））處的切線與直線y=2元+5平行，則。=

)

A.0B.2

C.1D.3

2.（2025北京密云高二上期末）已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=l--,則f'(x)<g'(x)的解集為()

X

A.(0,1)B.(l,e)C.。,+8)D.(0,+8)

3.（2025北京朝陽(yáng)高二上期末）建設(shè)大型水庫(kù)可實(shí)現(xiàn)水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會(huì)經(jīng)

濟(jì)效益.已知一段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)的蓄水量W與時(shí)間f的關(guān)系如下圖所示.

下列敘述中正確的是（）

A.在［0,口這段時(shí)間內(nèi)，甲，乙兩個(gè)水庫(kù)蓄水量的平均變化率均大于0

B.在這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率大于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率

C.甲水庫(kù)在芍時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在馬時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率

D.乙水庫(kù)在。時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在。時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率

4.（2025北京朝陽(yáng)高二上期末）已知函數(shù)/（x）=eXsinx,則r（x）=（）

A.eJcosxB.-e'cosx

C.eJ（sinx+cos.x）D.ex（sinx-cosx）

5.（2024北京朝陽(yáng)高二上期末）為了響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，甲、乙兩個(gè)工廠進(jìn)行了污水排放治理，已

知某月兩廠污水的排放量W與時(shí)間f的關(guān)系如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（）

A.該月內(nèi)，甲乙兩廠中甲廠污水排放量減少得更多

B.該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度是先慢后快

C.在接近r。時(shí)，甲乙兩廠中乙廠污水排放量減少得更快

D.該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲、乙兩廠污水排放量減少的速度相同

6.（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知為奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x2,則曲線y=在點(diǎn)

（1,1）處的切線斜率是（）

A.12B.2C.—eD.e2+1

7.（2023北京朝陽(yáng)高二上期末）設(shè)函數(shù)〃x）=x+lnx,則曲線＞=/（%）在點(diǎn)（1]⑴）處的切線方程為

（）

A.尤—y—1=0B.2%—y—1=0C.%—y—2=0D.2x—y—2=Q

8.（2023北京十一學(xué)校高二上期末）已知函數(shù)/（x）=sin2x-4?'（（）），則該函數(shù)的圖象在x=]處的切線方

程為（）

A.31+y—兀=0B.3兀一＞一兀=0C.x+3y—兀=0D.3x+y+兀=0

9.（2023北京人大附中高二上期末）設(shè)FQ）在x=x0處可導(dǎo)，則lim也二手巫^=（）

心一°Ax

A.-/U）B./X-%0）C./U）D.2fg

二、填空題

TT

10.（2025北京密云高二上期末）若函數(shù)〃x）=sinx,則/（1）=.

11.（2024北京朝陽(yáng)高二上期末）已知函數(shù)〃x）=sin2x,則/'（0）=.

12.（2023北京十一學(xué)校高二上期末）函數(shù)＞=〃尤）圖像上不同兩點(diǎn)4（尤”%），3（%，%）處的切線的斜率

分別是七，kB,規(guī)定夕（48）=3^叫曲線y=在點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的“彎曲度”，給出以下命題：

\AB\

①存在這樣的函數(shù)，圖像上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)；

②設(shè)點(diǎn)A、8是拋物線y=Y+l上任意不同的兩點(diǎn)，則。（A3）W2；

③設(shè)曲線丁=/上不同兩點(diǎn)4（番,yJ,3（々,%）,且玉-馬=1，若r夕（A,3）＜1恒成立，則實(shí)數(shù)r的取值范

圍是（-℃」）；

④y=V與y=Y在原點(diǎn)處的“彎曲度，一樣.

以上正確命題的序號(hào)為.（寫出所有正確的）

13.（2023北京朝陽(yáng)高二上期末）函數(shù)/（x）=xe*的導(dǎo)函數(shù)，'。）=.

參考答案

1.B

【分析】利用切線與直線平行得到切線的斜率，再利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)(1,7(D)處的導(dǎo)數(shù)值利從而求出結(jié)果.

［詳解］/'(%)=1+，令x=1貝U1+=1+5，直線>=2%+5的斜率為2.

貝lj1+@=2,Q=2.

2

故選：B.

2.A

【分析】分別求出廣⑴，g(x),得到不等式，結(jié)合函數(shù)定義域，解出o<x<i.

【詳解】因?yàn)?x)=lnx,定義域?yàn)?0,+8),g(x)=l一J，定義域?yàn)?YO,0)U(0,M),

所以尸(x)=Lg'(x)=1，

貝4'(X)<g'。)，即工<4(尤>0),解得0<x<L

XX

故選：A.

3.D

【分析】結(jié)合瞬時(shí)變化率與平均變化率變化率結(jié)合圖象分析即可得.

【詳解】對(duì)A：由圖可知，在［0,以這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于0,

乙水庫(kù)的蓄水量的平均變化率大于0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：由圖可知，在［。應(yīng)］這段時(shí)間內(nèi)，甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于0,乙水庫(kù)的蓄水量的平均變化率

大于0,

故甲水庫(kù)蓄水量的平均變化率小于乙水庫(kù)蓄水量的平均變化率，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C：由圖可知，甲水庫(kù)在L時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于0，

乙水庫(kù)在馬時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于0,

故甲水庫(kù)在馬時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率小于乙水庫(kù)在馬時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：由圖可知，乙水庫(kù)在。時(shí)刻蓄水量上升比在。時(shí)刻蓄水量上升快，

故乙水庫(kù)在。時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率大于乙水庫(kù)在才2時(shí)刻蓄水量的瞬時(shí)變化率，故D正確.

故選：D.

4.C

【分析】據(jù)函數(shù)乘法求導(dǎo)公式進(jìn)行求導(dǎo)即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=e*sinr,

所以r(x)=(e*)sinx+e'(sinx)=e^sinx+excos%=e"(sin%+cos%).

故選：c.

5.D

【分析】選項(xiàng)A,結(jié)合圖象，比較兩廠污水排放量減少量即可求解；選項(xiàng)B,由切線傾斜程度的大小比較

可得；選項(xiàng)C,在接近％時(shí)污水排放量減少快慢，可以用在處切線的斜率的大小比較近似代替，比較兩

曲線在處切線的斜率的絕對(duì)值大小即可得；選項(xiàng)D,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在某一時(shí)刻，甲、乙兩廠污

水排放量的瞬時(shí)變化率即切線的斜率相等，則甲、乙兩廠污水排放量減少的速度相同.

【詳解】選項(xiàng)A,設(shè)△卬=叱=。-叱/，

設(shè)甲工廠的污水排放量減少為,乙工廠的污水排放量減少為A%,

結(jié)合圖像可知：△叱＜△嗎，

所以該月內(nèi)乙工廠的污水排放量減少得更多，故A錯(cuò)誤；

選項(xiàng)B,作出如圖所示表示甲廠曲線的3條切線4,附4可知，

直線4的傾斜程度小于4的傾斜程度，直線k的傾斜程度大于4的傾斜程度，

而這說(shuō)明該月內(nèi)，甲廠污水排放量減少的速度并非先慢后快，

從圖象的變化也可以看出，甲廠污水排放量減少的速度先快再慢后快，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,設(shè)乙為接近石的時(shí)刻且4＜務(wù)，

w_-W_

從4時(shí)刻到t0時(shí)刻，污水排放量平均變化率f=*~~旦,

由導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義可知，

在接近％時(shí)，在接近時(shí)污水排放量減少快慢，可以用在％處切線的斜率的大小比較近似代替.

設(shè)甲工廠在歸處切線的斜率為左，乙工廠在L處切線的斜率為心，

結(jié)合圖象可知間＞網(wǎng)，

所以在接近時(shí)，甲工廠的污水排放量減少得更快，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,如圖，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，存在時(shí)刻G，兩曲線切線的斜率相等,

即甲、乙兩廠污水排放量的瞬時(shí)變化率相同，

所以該月內(nèi)存在某一時(shí)刻，甲、乙兩廠污水排放量減少的速度相同.故D正確.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)x>0時(shí)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，

所以有〃*)=—=f，則有/'(x)=2x,所以有「⑴=2,

故選：B

7.B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在彳=1處切線的斜率，進(jìn)而即可得切線方程.

【詳解】因?yàn)?'(x)=x+lnx,所以/(工)=1+工，所以八1)=2,

X

即y=/(x)在x=1處切線方程的斜率為2,

又因?yàn)榱刷?1,所以切線方程為y-l=2(x-l),整理得2元->-1=0,

故選：B

8.A

【分析】先求出函數(shù)/(x)=sin2x-對(duì)''(())的導(dǎo)數(shù)，再賦值法求出/(0),然后得到的函數(shù)解析式可得切

點(diǎn)，后將數(shù)據(jù)代入點(diǎn)斜式方程可得答案.

【詳解】因?yàn)?'(x)=2cos2x-/'(0),所以/'(0)=2cos0—/'(0),解得/'(0)=1,

所以/(x)=sin2x-x,f圖=g/(x)=2cos2x_1,廣向=一3,

即切點(diǎn)(去一5：4=一3,

所以切線方程為：丫+^二-1-鼻，即3x+yF=0.

故選：A.

9.A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可直接計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(%)在工=不處可導(dǎo)，

所以，由導(dǎo)數(shù)的定義可得：lim九“一?二八%)=-lim"%一_于，().

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用，熟記導(dǎo)數(shù)概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.

10.-/0.5

2

【分析】對(duì)函數(shù)〃x)=sinx進(jìn)行求導(dǎo)，進(jìn)而代入x=\TT計(jì)算即可得解.

TVTTI

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=sin尤，所以廣(x)=cosx,所以f(§)=cos]=/,

故答案為：g.

11.2

【分析】由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求導(dǎo)函數(shù)，代入求導(dǎo)數(shù)值即可.

【詳解】由〃x)=sin2x,貝Ijf'(尤)=2cos2x,

所以尸(0)=2COSO=2.

故答案為：2.

12.①②

【分析】舉例說(shuō)明①正確；由新定義，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)>=/+1在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”判斷②;

求出曲線丫=6'上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的“彎曲度”，然后結(jié)合得不等式，舉反例說(shuō)明③錯(cuò)誤；求

與y=￡在原點(diǎn)處的“彎曲度，，比較大小判斷④.

【詳解】

命題①：如函數(shù)y=1,圖像上任意兩點(diǎn)之間的“彎曲度”為常數(shù)0,成立，①正確；

命題②：y=x2+l,y'=2尤，

<p(A,B)=]認(rèn)-2/|=,2v2②正確

|AB|J?-xJ+(xJl+6+xJ，②正確，

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