2023-2025北京高一（上）期末數(shù)學(xué)匯編

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

一、單選題

2r4-1

1.（2025北京延慶高一上期末）不等式上一^41的解集為（）

x-2

A.（—,一3]B.[-3,2]C.[1,2）D.[-3,2）

2.（2025北京密云高一上期末）一元二次不等式》2一2》-300的解集是（）

A.{x|x<-l?Jcx>3）B.{R-1W}

C.{x|x<-l或/>3}D.{x|-l<x<3）

3.（2025北京大興高一上期末）關(guān)于x的不等式+飯+cN（）（〃w（））的解集不可能是（）

A.RB.[-U]

C.0D.[-l,+oo）

4.（2025北京八中高一上期末）已知集合M={x|-4<x<2},A'={x|x2-x-6<（）},則McN二

A.（x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.（x\-2<x<2\D.{x|2<x<3}

5.（2024北京懷柔高一上期末）設(shè)A、8是非空集合，定義：=2山y(tǒng)AcB}.已知

A=|yy=v4x-x，八卜…+擊心F，則AxB等于（）

A.[0,1]U[2,-HX))B.[0,1)U(2,-H?)

C.[0,l]u[4,+co)D.[0,l)J(4收)

6.（2024北京石景山高一上期末〕已知關(guān)于x的不等式/+5+M。的解集是（-2,1）則。+〃=（）

A.0B.-1C.1D.-2

7.（2024北京西城高一上期末）若集合A=*|a——x+a0O}為空集，則”的取值范圍為（）

A.或"」B.ci>—

222

11

C.——<a<—D.--<?<-K<7*0

2222

8.（2023北京東城高一上期末）不等式/_A2>0的解集是（）

A.{x|x<-2ngx>-1}B.{xlxv-1或x>2}c.{x|-l<x<2}D.{x|-2<x<1}

9.（2023北京懷柔高一上期末）已知awR,P：方程/+奴+]=0有實數(shù)解，q.2<av3,則P是4的

)

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分不必要條件

二、填空題

10.（2025北京海淀高一上期末）已知/*）=/-2如+〃的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2?1）,則/?=；若方程

.〃刈=。有兩個不等實數(shù)根不為，滿足內(nèi)+當(dāng)>內(nèi)占，則實數(shù)。的取值范圍為.

11.(2024北京豐臺高一上期末)能說明“關(guān)于x的不等式丁-g—2a>0在R上恒成立''為假命題的實數(shù)〃

的一個取值為.

12.(2024北京石景山高一上期末)不等式二Q的解集為________.

x-2

13.(2024北京西城裔一上期末)不等式”1小的解集為_____.

x-\

14.(2023北京順義高一上期末)不等式-2/+］4_3的解集是.

15.(2023北京海淀高一上期末)已知是關(guān)于r的方程/—爾|〃春_6=0的兩個實根，巨

11.

—十—=一1，則加=.

三、解答題

16.(2025北京密云高一上期末)已知函數(shù)/(X)=2/—4X+3.

⑴解關(guān)于x的不等式：/(X)+2^A-3>0；

⑵當(dāng)不［-1,1］時，/。)>2不+2m+1恒成立，試確定實數(shù)機(jī)的取值范圍.

17.(2024北京密云高一上期末)已知函數(shù)=f-(a+3)x+3a.

⑴若不等式〃力<0的解集為(0,3),求〃的值；

⑵若不等式/(x)>-1對任意的xwR恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶解關(guān)于大的不等式/(力>0.

18.(2024北京朝陽高一上期末)己知集合川=卜|/一3.丫-4")}1=3>。>0}.

(1)當(dāng)。=4時，求AB；

⑵若A0&4)=0,求實數(shù)。的取值范圍.

19.(2023北京平谷高一上期末)已知函數(shù)=〃氏一2〃?+l(〃wR)

(1)若函數(shù)/("在區(qū)間(T3)上單調(diào)，求實數(shù)〃?的取值范圍；

⑵解不等式/(x)<2x+l.

20.(2023北京東城高一上期末)已知關(guān)于x的不等式a(x—1)。—2)>2/—疝+8的解集為A.

(1)當(dāng)。=1時，求集合A；

(2)若集合A=(-OO,T)U(2,+OO),求a的值;

⑶若3^A,直接寫出〃的取值范圍.

21.(2024北京海淀高一上期末)已知一元二次方程2/+3x-2=0的兩個實數(shù)根為

求值：(1)x；+x；；

22.(2024北京豐臺高一上期末)己知函數(shù)/(x)=f+(a+h)x+a.

⑴若關(guān)于X的不等式/(司<。的解集為{x［2<x<3},求〃，。的值：

⑵當(dāng)〃=1時，解關(guān)于x的不等式f(”>0.

23.(2023北京門頭溝高一上期末)已知二次函數(shù)/*)=/_2(a-l).r+4.

(1)若。=2,求/(x)在［-2,3］上的最值;

⑵若在區(qū)間(-8,2］是減函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)若時,求函數(shù)/(x)的最小值.

參考答案

1.D

【分析】移項通分后轉(zhuǎn)化一元二次不等式即可求解.

【詳解】原不等式即為在3-1R)即故一2)4°.

x-2x-2[x-2^0

故-34xv2,

故選:D.

2.B

【分析】先分解因式,，再求得不等式的解集.

【詳解】由f—2%—3K0可得。+1)(工一3)?0,

故得-1W.

故選：B.

3.D

【分析】根據(jù)一元二次不等式對應(yīng)的二次函數(shù)的對稱性可判斷.

【詳解】由題意，。工0,則不等式or?+桁+c20是一元二次不等式，

由二次函數(shù))，=加+加:+?"0)的對稱性可知，不等式/(不)之0的解集不可能是卜i,y).

故選:D.

4.C

【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)

合的思想解題.

【詳解】由題意得，”=卜|"4<*<2},2={+2Vx<3},貝"

McN={x卜2<x<2}.故選C.

【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

5.B

【分析]先利用二次函數(shù)的值域、基本不等式分別求出集合A，B,然后結(jié)合集合的基本運(yùn)算求得A8和

4cB,再根據(jù)已知定義即可求解.

【詳解】因為一儲+4X=-(X2-4X)=-(X-2『+4?4,所以A=卜b=J—_l}=e,

因為工>一1時，y=x+—^―=x+1+—I>2.(x+1)--51=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+l=l,即x=0時取等

x+Ix+1Vx+1

號，

所以8=[1,笆)，AnB=[l,2],AD3=[(),+8),plijAXB=[(),1)U(2,-HX))

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：新定義問題求解

本題中給出新定義=則需要求出4A和4c8,再根據(jù)定義求得答案，實

際上考查了集合的基本運(yùn)算.

6.B

【分析】根據(jù)不等式的解集與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理求解.

【詳解】由題意一2和1是方程/+?+〃=0的兩根，所以-2+1=-〃，。=1,—2xI=Z?=-2?

/.a+b=—\.

故選：B.

7.B

【解析】根據(jù)題意，可知加-1心0無解，則分類討論〃=（）和"0兩種情況，當(dāng)〃=0時，不符合題

4>0

意；當(dāng)40。時，則L八，即可求出〃的取值范圍.

A<0

【詳解】解：由于集合4={_￥|辦2-x+aW0}為空集，

即ax1-x+a<0無解，

當(dāng)〃=0時，or?—.r+aKO化為x20,不是空集；

a>0]

當(dāng)〃。0時，可得A|42八，解得：

A=l-4a-<02

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查空集的定義以及?元二次不等式的應(yīng)用，從而求參數(shù)的取值范圍，考查分類討論思想.

8.B

【分析】直接解出不等式即可.

【詳解】X2-X-2>0,解得X>2或X<—1,故解集為或X>2},

故選:B.

9.B

【分析】求出命題〃為真的。的取值范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【洋解】因為方程/+方+1=0有實數(shù)解，則有A=a2-4之o,解得。￡一2或。22,因此p：或

a>2,

顯然（2,3）[2,+8）,即有命題g成立，命題“必成立，而命題p成立，命題q未必成立，

所以〃是^的必要而不充分條件.

故選：B

10.1a>\

【分析】根據(jù)條件，代入即可求解。，再利用方程有解的條件及根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解出實數(shù)〃的取

值范圍.

【詳解】由題知/（2〃）=（加）2-2ax2a+力=1,得到〃=1,

所以/（幻=/_2心+1,又方程/。）=。有兩個不等實數(shù)根不占，

△=4/-4>0

貝「七十人2=2”,又人i+A2>人也，得到2。>1,得到a

X]X2=I

由4/一4>(),得至或a<-1,所以4>1,

故答案為：1;a>\.

11.0(答案不唯一)

【分析】將關(guān)于%的不等式/一公+2。>0在R上恒成立問題轉(zhuǎn)化為△<(),從而得到〃的取值范圍，命題

為假命題時。的取值范圍是真命題時的補(bǔ)集，即可得。的取值.

【詳解】若不等式V—2a>0在R上恒成立，則△=(一。『—4x2a<0,

解得0<"8,

所以該命題為假命題時實數(shù)。的取值范圍是。<0或，>8,

所以實數(shù)〃的一個取值為0.

故答案為：0(答案不唯一，只要滿足或。之8”即可).

12.[-2,2)

【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式求解即可得出答案.

【詳解】根據(jù)不等式衛(wèi)7Kl整理可得二-叱(),

x-2x-2

即吟。,等價于2;2)『)“。，

.r-2[x-2^0

解得-2W2；

7v

所以不等式號W1的解集為[-2,2)

故答案為：[-2,2)

13.{x|-2<x<l)

【分析】將分式不等式轉(zhuǎn)化為不等式組可解得.

【詳解】解：原不等式等價于不等式組

卜解得.2?一，

x-l工0,

所以所求不等式的解集為{42WXV1}.

故答案為：卜|一24X<1}.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式，一元二次不等式,屬于基礎(chǔ)題.

14.{X|X>|M￡X<-1}

【分析】將不等式變形為(2x-3)(x+l)N0,即可求出不等式的解集.

【詳解】解:不等式-2——3.即2/一.丫一32即(2X—3)(X+1)N0.

3

解得xN：或x4-l,

3

所以不等式的解集為｛劃/之1或xKT｝.

故答案為：｛x|x2；或xK-l｝

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合條件即得.

［詳解】因為不占是關(guān)于X的方程/_〃a+〃/_6=0的兩個實根,

X1+x2=in

xtx2=nr-6

△=〃?2—4

X)+x2_m

內(nèi)后"I2-6

解得m=一3或m=2,

經(jīng)判別式檢驗知〃?=2.

故答案為：2.

16.(1)答案見解析

⑵IfT)

【分析】(1)由原不等式可得工&+〃-2)>0,對。分三種情況討論，分別利用二次不等式的解法即可

得解；

(2)f(x)>2x+2m+l恒成立等價于mvf-3x+l在區(qū)間［-M］上恒成立，令g(x)=W-3x+l,結(jié)

合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)f(x)+2bx-3>0,即為2/_4x+3+2/狀一3>(),

即x2-2x+樂>0可得x(x+2)>0,

令傘+6-2)=?？傻脁=0或x=2-〃，

當(dāng)2—。<0,即〃>2時，x>0或工<2—〃；

當(dāng)2—匕=0,即8=2時，XHO；

當(dāng)2-6>0,即〃<2時，x>2-〃或x<0,

綜上，當(dāng)力>2時，不等式的解集為｛x|x)O或x<2-耳；

當(dāng)6=2時，不等式的解集為"|尤工0｝；

當(dāng)匕<2時，不等式的解集為卜|吊2-力或xvO｝；

(2)因為當(dāng)時，f(x)>2x+2m+\恒成立，

即當(dāng)-t6［-l,i］時，2X2-4X+3>2X+2/W+1恒成立，

即當(dāng)X€[-l,l]時，相<*2一3犬+|恒成立，

設(shè)函數(shù)5(X)=X2-3X+1,XG[-1J],

則g")在區(qū)間卜1』上單調(diào)遞減，

所以g(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值為g(l)=-1,

所以m<-\,

故實數(shù)，〃的取值范圍為

17.(1)()

⑵0,5)

⑶解集見解析

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式解集與一元二次方程根的關(guān)系解出。即可；

(2)根據(jù)一元二次不等式恒成立，即可由判別式求解；

(3)分解因式，結(jié)合分類討論，即可由一元二次不等式解的特征求解..

【詳解】(1)因為不等式/(耳<0的解集為(0,3),

所以方程x2-(a+3)A+3a=0的兩根分別為百-。,勺-3,

根據(jù)韋達(dá)定理可知內(nèi)+/=。+3=3,中2=3。=0,解得a=o；

(2)不等式/(另>-1對任意的/wR恒成立，

即?-(?+3)x+3。+1>()對任意的xeR恒成立，所以△=3+3『-4(3"+1)<0,

即6a+5<0,解得lva<5,所以實數(shù)a的取值范圍為(1,5)；

(3)/(x)=x2-(a+3)x+3a>0ip(x-t?)(x-3)>0,

當(dāng)〃>3時，不等式的解為或xv3,

當(dāng)〃<3時，不等式/(">0的解為x>3或

當(dāng)〃=3時，不等式/(x)>0的解為X。。，

綜上所述，當(dāng)〃>3時，不等式〃同>0的解集為(e,3)5。，+8),

當(dāng)〃43時，不等式/(x)>。的解集為(—M)U(3,+8).

18.(l)A^^={x|x>-l}

⑵”一1

【分析】(1)化簡集合AB,直接利用并集運(yùn)算求解即可；

(2)化簡集合，根據(jù)交集運(yùn)算結(jié)果求解參數(shù).

【詳解】⑴由題知，A={x\x2-3x-4<0]={x\-\<x<4],

B={x|x-a>0}={A]X>a},

因為a=4,所以8={巾>4},

所以A=3=

(2)因為A@4)=0,

且人={乂-14x?4},?4=何工勺〃},

所以av-l.

19.(1)(YO,-6]U[2,+8)

(2)當(dāng)機(jī)=-2時，不等式/(x)<2x+l的解集為0,

當(dāng)機(jī)>-2時，不等式/(x)<2x+1的解集為(-機(jī)2),

當(dāng)m<-2時，不等式/(x)<2x+l的解集為(2,-〃?),

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定參數(shù)機(jī)的取值區(qū)間；

(2)由題化簡不等式〃x)<2x+l,求出對應(yīng)方程的根，討論兩根的大小關(guān)系得出不等式/(力<2x+l的

解集.

【詳解】(1)函數(shù)=比一2"2+1的對稱軸.1=一3，

函數(shù)“X)在區(qū)間(T3)上單調(diào)

依題意得一:4-1或一：之3,

22

解得〃2，2或〃4-6,

所以實數(shù)，〃的取值范圍為(田,-6]32,也).

(2)由“X)<2x+l,

即x2+nix-2m+\<2x+\?

即x2+(〃?-2)x-2〃z<0,

令f+(/??-2)X-2/?=0=>(X-2)(X+/?7)=0

得方程的兩根分別為2.T〃，

當(dāng)2=T",即〃?=-2時，不等式f(x)<2x+l的解集為0,

當(dāng)2>-小，即m>-2時，不等式"x)v2x+l的解集為(一/幾2),

當(dāng)2<-〃?，即〃?<-2時，不等式f(x)<2x+l的解集為(2,-〃?)，

綜上，當(dāng)〃?=-2時，不等式/(“<2x+l的解集為0,

當(dāng)〃?>-2時，不等式/(x)<2x+l的解集為(一〃?,2),

當(dāng)"?<-2時，不等式/(x)<2x+l的解集為(2,-〃。,

20.(1)A=(2,3)；

(2)a=3；

(3)a<l.

【分析】(1)直接解不等式可得；

(2)由題意得一L2是方程a(x-l)*-2)=2Y-8x+8的根，代入后可得。值：

(3)x=3代入后不等式不成立可得.

【詳解】(1)。=1時，不等式為(l一1)。-2)>2/一81+8,即產(chǎn)_5,r+6<(),2<x<3,

??.A=(2,3)；

(2)原不等式化為(a-2)x2-(3a-8)x+2a-8>0,

「中士((。-2)+(3。-8)+2。一8=0、

由題盡(o?，解得a=3,

4(〃-2)-2(3。-8)+2。-8=0

a=3時原不等式化為x<-\^x>2,滿足題意.

所以a=3；

(3)3后A,則方M18-24+8,解得

173

21.(1)—：(2)

42

3

【分析】利用韋達(dá)定理可得芭+七=-1,%32=-1，再對所求式子進(jìn)行變行，即

入：+七2=(內(nèi)+勺)2-2、巧：_L+_L=±0；兩根和與積代入式子，即可得到答案；

?X|?￥?>X]?Xy

【詳解】解：因為一元二次方程2f+3x-2=O的兩個實數(shù)根為不占，所以由根與系數(shù)關(guān)系可知

3,

%+工2=-/小“2=-1.

>>■917

(1)X,2+X,2=(玉+x)2-2X]X=—2x(-1)=一；

2~244

3

(2)]?,二一2二3.

Kx2Xjx2-12

22.(l)a=6,Z?=-11；

⑵見解析

【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式解法可知2,3為方程/(力二0的兩個根，然后利用韋達(dá)定理求解即可;

(2)化簡=f+g+l)x+a=(x+G(x+l)>。，討論〃的取值分別求解不等式即可.

【詳解】(1)由條件知，關(guān)于式的方程/+(。+3*+〃=0的兩個根為2和3,

。二6

所以

方二-11

(2)當(dāng)。=1時，f(x)=x2+(a+\)x+a>0,即(x+a)(x+1)>0,

當(dāng)一〃<一1時，即。>1時，解得x〈一〃或x>-l；

當(dāng)一々二一1時，即々=1時，解得x-l；

當(dāng)一a>-l時，即。<1時，解得工<一1或%>一。.