???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題06圖形的性質(zhì)

考點(diǎn)01平行線的性質(zhì)與判定

1.（2025?浙江?中考真題）如圖所示，直線a,b被直線c所截.若Q||b,乙1=91。，則（）

A.Z2=91°B.Z3=91°C.Z4=91°D.45=91°

【答案】B

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，結(jié)合平角的定義，對頂角相等，求出每人角的度數(shù),

進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：???a||b,41=91。，

Az3=Z.1=91°,z.4=z5=Z2=180°-zl=89。；

故選B.

2.（2023?浙江金華?中考真題）如圖，已知=42=43=50。，則44的度數(shù)是（）

A.120°B.125°C.130°D.135°

【答案】C

【分析】由口1=匚3=50?？傻?口憶可得匚2=口5=50。，再利用鄰補(bǔ)角的含義可得答案.

【詳解】解：如圖，標(biāo)記角，

VDI=D3=50°,

AaDb,而口2=50。，

???匚2=口5=50°,

???口4=180°-D5=130°；

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的含義，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江杭州?中考真題）如圖，點(diǎn)分別在△ABC的邊上，且。EII8C,點(diǎn)F在線段BC的延長

線上.若，ADE=28°,^ACF=118°,則/A=.

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到匚B=匚ADE=28。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】VDEOBC,匚ADE=28°,

/.EB=DADE=28。,

V□ACF=118°,

/.□A=DACF-OB=118°-28°=90°.

故答案為：90°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn).

考點(diǎn)02三角形的性質(zhì)

1.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時為方便測出Cobb角4。的大小,

需將乙。轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與乙。相等的角是（）

A.Z-BEAB.乙DEBC.Z.ECAD.Z.ADO

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：[O與匚ADO互余，DDEB與.ADO互余，根據(jù)同角的余角相等可得

結(jié)論.

【詳解】由于意圖可知：ZiDOA和ADBE都是直角三角形，

口。+□ADO=90。，DDEB+[ADO=90°,

:.CDEB=DO,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江金華?中考真題）在下列長度的四條線段中，能與長6cm,8cm的兩條線段圍成一個三角形的

是（）

A.1cmB.2cmC.13cmD.14cm

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出第三邊的取值范圍，再判斷即可.

【詳解】解:設(shè)第三邊長度為xcm,

則第三邊的取值范圍是2<x<14,

只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，能熟練求出求出第三邊的取值范圍是本題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江?中考真題）如圖，點(diǎn)。是的重心，點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn)，PE||4。交8。于點(diǎn)￡OF||夙?

交EP于點(diǎn)F,若四邊形CDFE的面積為6,則△ABC的面積為（）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

4.(2023?浙江臺州?中考真題)如圖，銳角三角形ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,4分別在邊AB,AC上,連接BE,

CD.下列命題中，假命熟是().

A.若CD=BE,則NDC8="BCB.若乙DCB=^EBC,fflCD=BE

C.若BD=CE,MzDCfi=Z.EBCD.若乙DCB=cEBC,則8。=CE

【答案】A

【分析】由AB=AC,可得ZIABC=[ACB,再由CD=BE,BC=CB,由SSA無法證明△BCD與△CBE全

等，從而無法得至lJ「DCB=EBC；證明△ABEACD可得CD=BE；證明△ABE=△ACD,可得ACD=

ABE,即可證明；證明△DBCMZ\ECB(ASA),即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?AB=AC,

/.CABC=EACB,

??,若CD=BE,

又BC=CB,

???么BCD與△CBE滿足“SSA”的關(guān)系，無法證明全等，

因此無法得出匚DCB=DEBC,故A是假命題，

??,若二DCB=DEBC,

A□ACD=CABE,

在以ABE和△ACD中，

□ACD=DABE

AB=AC,

□A=DA

ABE^AACD(ASA),

ACD=BE,故B是真命題；

若BD=CE,則AD=AE,

在么ABE和△ACD中，

AB=AC

□A=DA，

AE=AD

.*.△ABE^AACD(SAS),

/.□ACD=CABE,

VCABC=CACB,

ACDCB=CEBC,故C是真命題；

若「DCB=DEBC,則在ADBC和AECB中,

(EABC=CACB

BC=BC，

(LDCB=DEBC

.\ADBC=AECB(ASA),

.\BD=CE,故D是直命撅：

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，命題的真假判斷，正確的命題叫

真命題，錯誤的命題叫假命題，判斷命題的真假關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)定理.

5.(2024?浙江?中考真題)如圖，。上分別是2\48。邊?18,力。的中點(diǎn)，連接8￡?！耆簟ā?。=LBEC,DE=2,

則8E的長為

【答案】4

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得DECBC,BC=2DE=

4,得出DC=DAED=DBEC,得出BE=BC=4

【詳解】解：：D,E分別是ZkABC邊AB,AC的中點(diǎn)，

???DE是△ABC的中位線，

ADE：BC,BC=2DE=4,

AOAED=EC,

VDAED=匚BEC,

ADC=匚BEC,

???BE=BC=4,

故答案為：4

6.（2023?浙江金華?中考真題）如圖，把兩根鋼條040B的一個端點(diǎn)連在一起，點(diǎn)C,。分別是。4。8的

中點(diǎn).若CO=4cm,則該工件內(nèi)槽寬力8的長為cm.

【答案】8

【分析】利用三角形中位線定理即可求解.

【詳解】解：???點(diǎn)C,D分別是OA,0B的中點(diǎn)，

ACD=|AB,

AB=2CD=8（cm）,

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握“三角形的中位線是第三邊的?半”是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?浙江?中考真題）如圖，在△48C中，AC的垂直平分線交8C于點(diǎn)0,交力。于點(diǎn)E,乙B=iADB.若

AB=4f則0C的長是.

【答案】4

【分析】由匚B=E1ADB可得AD=AB=4,由DE是AC的垂直平分線可得AD=DC,從而可得DC=AB=4.

【詳解】解：???匚B=1ADB,

AD=AB=4,

〈DE是AC的垂直平分線,

AAD=DC,

ADC=AB=4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等角對等邊等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的

關(guān)鍵.

8.(2023?浙江臺州?中考真題)如圖，點(diǎn)C,。在線段力8上(點(diǎn)C在點(diǎn)A,。之間)，分別以AD,BC為邊向

同側(cè)作等邊三角形40E與等邊三角形邊長分別為mb.CF與DE交于點(diǎn)、H,延長BF交于點(diǎn)、G,AG

長為c

(1)若四邊形EH尸G的周長與△CDH的周長相等，則a,b,。之間的等量關(guān)系為.

(2)若四邊形EHFG的面積與△CD"的面積相等，則內(nèi)江c?之間的等量關(guān)系為.

【答案】5a+5b=7ca2+b2=c2

【分析】由題意可得：4ABG為等邊三角形，四邊形EHFG為平行四邊形，AB=AG=c,(1)分別求得

四邊形EHFG的周長與ACDH的周長，根據(jù)題意，求解即可；(2)分別求得四邊形EHFG的面積與ACDH的

面積，根據(jù)題意，求解即可.

【詳解】解：等邊三角形ADE與等邊三角形CBF中，「〕A=CB=UEDA=DHCD=60。，

???ZiCDH和△ABG為等邊三角形，CFDAG,EDZIBG

AAB=AG=BG=c,四邊形EHFG為平行四邊形，

又:?等邊三角形ADE與等邊三角形CBF

.*.GF=c—b,EG=c—a,AC=c-b,

/.CD=AD—AC=a+b—c,

(1)平行四邊形EHFG的周長為：2(FG+EG)=2(c-b+c-a)=4c-2a-2b,

△CDH的周長為：3CD=3a+3b-3c

由題意可得：3a+3b—3c=4c—2a—2b

即:5a+5b=7c；

(2)過點(diǎn)F作FM1EG,過點(diǎn)H作HNJLCD,如下圖:

在RlZiFMG中，GF=c-b,匚GMF=90。，G=60。,

:.MF=GFxsin60°=小言

則平行四邊形EHFG的面積為EGxMF=、,熊-？…)

在RtaCNH中，CH=a+b-c,rCNH=90°,OHCN=60°,

V3(a+b-c)

???HN=CHxsin60°=

2

則ACDH的面積為：:xCDxHN=%g

24

由題意可得：=?c：）（c-b）

42

化簡可得：a2+b2=c2

故答案為；5a+5b=7c；a2+b2=c2

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握并靈活利用等邊三角形的性質(zhì)求得對應(yīng)線段的長度.

9.（2025?浙江?中考真題）如圖，在△力BC中，=點(diǎn)。在邊48上，以點(diǎn)。為圓心，。8長為半徑的

半圓，交BC于點(diǎn)。，與力C相切于點(diǎn)E,連接OZZOE

C

（1）求證：。。1OE.

（2）若4B=BC,CB=V3,求四邊形ODCE的面積.

【答案】（1）見解析

(2)3+y

【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知

識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等邊對等角導(dǎo)角得到ODIIAC,再結(jié)合圓的切線性質(zhì)得到DDOE=DAEO=90。，即可證明垂直;

（2）先得到△ABC是等邊三角形，則E]A=60。，解Rt△AOE求出AO,AE,根據(jù)AE+EC=AO+OB,求

出EC,再由梯形面積公式求解.

【詳解】（1）證明：由題意得OD=OB=OE,

.CODB=CB,

*AB=AC,

?C=B,

?CODB=DC

.ODIIAC,

?以點(diǎn)O為圓心，OB長為半徑的半圓與AC相切于點(diǎn)E,

.OE1AC,

.匚DOE=DAEO=90°,

.OD1OE；

(2)解：VAB=BC,AB=AC,

.AB=AC=BC,

?AABC是等邊三角形,

.LA=60°,

*OE1AC,OD=OB=OE=V5,

6]ACOE6>

.AE=—=A°=k^=2,

tanA

.AC=AB=AO+OB=24-V3,

.EC=AC-AE=2+V3-1=1+\/3,

?科邊形ODCE的面積為：；(OD4-EC)xOE=；(1+V3+V3)xV3=3+

考點(diǎn)03勾股定理

1.（2024?浙江?中考真題）如圖，正方形45。。由四個全等的直角三角形（△48￡公8。2公。。64。4”）和中

間一個小正方形EFGH組成，連接DE.若力￡=4,BE=3,則。E=()

A.5B.2>/6C.V17D.4

【答案】C

【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，求得HE的長度，利用勾股定理即可解

答，利用全等三角形的性質(zhì)得到HE=1是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???△ABE,△BCFACDG,ADAH是四個全等的直角三角形，AE=4,BE=3

???AH=EB,DH=AE=4,

：?HE=AE-AH=1,

???匹邊形EFGH為止方形,

DHE=90°,

ADE=>/DH2+HE2=717,

故選：c.

2.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，在紙片中，"=90。/8=60。，點(diǎn)0,E分別在邊4sAe上,

且將△%/)￡?沿OE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)尸處，則8D:CE=()

C.275:3D.4:3

【答案】D

【分析】本題考查勾股定理與折疊，30c直角三角形的性質(zhì)，由折疊可得EiFED=DAED=75。，AD=AE=

EF,即可得到FEC=30。，再分別在Rt△ABC和Rt△EFC利用30。直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.

【詳解】解：???匚C=90。,[B=6()。,

ACA=30°,

AAB=2BC,AC=VAB2-BC2=V3BC,

AAB=—AC,

*AD=AE,

A。一山\

.?.[ADrxEc=□nAAEcDn=——180--=75°0,

???將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處，

ACFED=EAED=75°,AD=AE=EF,

???匚FEC=1800-DFED-CAED=30°,

???EF=2FC,EC=VEF2-FC2=V3FC,

AAD=AE=EF=2FC,

/.AC=AE+EC=（2+V5）FC,

AAB=竽AC=苧x（2+V3）FC=^FC,

ABD=AB-AD=-2FC=竽FC,

???BD:CE=竿FC:V3FC=4:3,

故選：D.

3.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，△ACD中，AD=VI5,CD=a,BC工AC于點(diǎn)、C,AC=2BC,則8。的

最大值為.

【答案】710

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì).首先過點(diǎn)C作CE_LCD,使CD=2CE,連接AE、DE,利用

勾股定理可求DE=gg,利用兩邊成比例且夾角相等，可證△BCEZlzxACD,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比

例可得=當(dāng)點(diǎn)B、E、D三點(diǎn)共線時BD有最大值可求BD的最大值.

【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)（:作CE_LCD,使CD=2CE,連接AE、DE,

B

CD=V2,

V2

??CE=y

??.DE=VCE2+CD2=J（應(yīng)I+住j=半

???CE1CD,

???OECD=QACB=90°,

:.CBCE=OACD,

V..AC_DC_

乂.正一正一2,

.??△BCE口△ACD,

AD_AC_DC_0

?*,BE=BC=EC=2，

BE=1AD=1VTo,

當(dāng)點(diǎn)B、E、D三點(diǎn)共線時BD有最大值，BD=BE+DE=4-=710.

故答案為：/io.

4.（2023?浙江湖州?中考真題）如圖，在aABC中，AB=AC,40J.BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E為A8的中點(diǎn)，連結(jié)

DE.已知8C=10,AD=12,求8D,的長.

【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)求出BD的長，再根據(jù)勾股定理求得AB的長，最后根據(jù)條件可知DE

是么ABC的中位線，求得DE的長.

【詳解】解，TAB=AC,AD1BC于點(diǎn)D,

???BD=；BC.

VBC=10,

ABD=5.

???ADIBC于點(diǎn)D,

/.CADB=90°,

???在RtZkABD中，AB2=AD2+BD2.

VAD=12,

AAB=VAD2+BD2=V122+55=13,

?IE為AB的中點(diǎn)，

??.DE=!AB=*

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形中位線的判定與性質(zhì)、

等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)04三角形的全等

1.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC==120°,點(diǎn)。，E都在邊BC上,

Z.DAE=60°.若BD=2CE,則DE的長為（）

A.3+V3B.3V3-3C.273-1D.3^3-4

【答案】B

【分析】將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到△ACF,取CF的中點(diǎn)G,連接EF、EG,由AB=AC=2遍,

BAC=120°,可得出［B=DACB=30°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出匚ECG=60。，結(jié)合CF=BD=2CE可得

出ACEG為等邊三角形，進(jìn)而得出ACEF為直角三角形，求出BC的長度以及證明全等找出DE=FE,設(shè)EC=

x,MBD=CF=2x,DE=FE=6-3x,在Rt△CEF中利用勾股定理可得出EF=JCF?-EC?=V5x,利

用FE=6-3x=VJx,可求出x以及FE的值，此題得解.

【詳解】解：將AABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120。得到AACF,取CF的中點(diǎn)G,連接EF、EG,如圖所示:

VAB=AC=2V3,DBAC=120°,

ABN=CN,UB=ACB=30°.

在BAN中，口8=30。，AB=2V3,

AN=JAB=V3?

ABN=VAB2-AN2=3,

ABC=6.

JACB=CB=t!ACF=30°,

ACECG=60°.

VCF=BD=2CE,

???CG=CE,

???ACEG為等邊三角形，

.\EG=CG=FG,

???匚EFG=nFEG=；匚CGE=30°,

2

???ACEF為直角三角形.

VCBAC=120°,CDAE=60°,

/.CBAD+DCAE=60°,

???匚FAE=DFAC+nCAE=CBAD+CCAE=60°.

在乙ADE^IAAFE中，

(AD=AF

□DAE=CFAE,

(AE=AE

?.△ADE=AAFE(SAS),

ADE=FE.

設(shè)EC=x,則BD=CF=2x,DE=FE=6-3x,

在RtACEF中，LCEF=90°,CF=2x,EC=x,EF=VCF2-EC2=V3x,

.*.6-3x=V3x,

x=3—V5?

ADE=>/3x=3V3-3,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過勾股定理找出關(guān)于x的方程

是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)人為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交力8,ACT

點(diǎn)D,E.分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于竺E長為半徑畫弧，交于4加。內(nèi)一點(diǎn)F.連結(jié)府并延長，交BC于點(diǎn)

G.連結(jié)DG,EG.添加下列條件，不能使8G=CG成立的是（）

A.AB=ACB.AG1BCC.Z-DGB=Z.EGCD.AG=AC

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知AG是三角形的角平分線，再結(jié)合選項(xiàng)所給的條件逐次判斷能否得出BG=CG即可.

【詳解】根據(jù)題中所給的作圖步驟可知，

AG^AABC的角平分線，即匚BAG=DCAG.

當(dāng)AB=AC時，XDBAG=CAG,且AG=AG,

所以△ABGACG（SAS）,

所以BG=CG,

故A選項(xiàng)不符合題意.

當(dāng)AG1BC時，

匚AGB=DAGC=90°,

又BAG=CAG,且AG=AG,

所以△ABG=△ACG(ASA),

所以BG=CG,

故B選項(xiàng)不符合題意.

當(dāng)二DGB=匚EGC時，

因?yàn)镠BAG=DCAG,AD=AE,AG=AG,

所以△ADG=△AEG（AAS）,

所以DAGD=[JAGE,

乂[DGB=匚EGC,

所以DAGD+CDGB=CAGE+DEGC,

即」AGB=LAGC.

又二AGB+EAGC=90°,

所以DAGB=DAGC=90°,

則方法同（2）可得出BG=CG,

故C選項(xiàng)不符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江?中考真題）如圖，在△AOB與△COD中，NA=iC,請?zhí)砹谝粋€條件,使得△408三

△COD.

【答案】OA=OC或OB=OD或AB=CD

【分析】根據(jù)對頂角相等可得匚AOB=nCOD,再添加邊相等，可利用ASA或AAS判定AAOB三ACOD.

【詳解】解：???在△AOB與aCOD中，DA=OC,DAOB=DCOD,

???添力口OA=OC,則△AOB三aCODlASA）；

或添力口OB=OD,則△AOBNZiCOD（AAS）；

或添力口AB=CD,則4AOB=△COD（AAS）；

故答案為：OA=OC（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SASsASA.AAS.

HL.注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一

角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

4.（2023?浙江衢州?中考真題）己知：如圖，在△A8C和^OEF中，B,E,C,F在同一條直線.上.下面四

個條件：?AB=DE；?AC=DFx③BE=C"；?Z,ABC=LDEF.

（1）請選擇其中的三個條件，使得△A8C三△DEF（寫出一種情況即可）；

（2）；生（1）的條件下，求證：AABC三ADEF.

【答案】（1）①②?或①③④（寫出一種情況即可）

（2）見解析

【分析】（I）根據(jù)兩三角形全等的判定條件，選擇合適的條件即可；

（2）根據(jù)（1）中所選的條件，進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可以選擇的條件為：①②③：

或者選擇的條件為：①③④；

（2）證明：當(dāng)選擇的條件為①@③時，

vBE=CF,

ABE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在么ABC和△DEF中，

（AB=DE

BC=EF,

（AC=DF

.?.△ABC口△DEF（SSS）：

當(dāng)選擇的條件為①③④時，

???BE=CF,

BE+EC=CF+EC,

即BC=EF,

在以ABCfDADEF中，

AB=DE

□ABC=CDEF,

RC=F.F

.?.△ABCZ]△DEF(SAS).

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)05平行四邊形的性質(zhì)

1.(2024?浙江?中考真題)如圖，在團(tuán)4BCD中，AC,8。相交于點(diǎn)。，AC=2,BD=2百.過點(diǎn)A作AE1BC

的垂線交BC于點(diǎn)日記8E長為x,8C長為》當(dāng)K,y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是()

A.x+yB.x-yC.xyD.x24-y2

【答案】C

【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，過點(diǎn)D作DF1BC交

BC的延長線于點(diǎn)F,證明△ABE=△DCF(AAS),得到AE=DF,BE=CF=x,由勾股定理可得，AE2=4-

(y-x)2,DF2=12-(y+x)2,?4-(y-x)2=12-(y+x)2,整理后即可得到答案.

【詳解】解：過點(diǎn)D作DF_LBC交BC的延長線于點(diǎn)F,

VAE1BC的垂線交BC于點(diǎn)E,

/.□AEB=CDFC=90°,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

AAB=DC,AB||CD,

ACABE=匚DCF,

/.△ABE=ADCF(AAS)

???AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理可得,AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE)2=4-(y-x)2,

DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2-(BC+BE)2=12—(y+x)2,

A4-(y-x)2=12-(y+x)2,

A(y+x)2-(y-x)2=8

/.x2+2xy+y2-y2+2xy-x2=8

即4xy=8,解得xy=2,

???當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時，代數(shù)式的值不變的是xy,

故選：C

2.(2023?浙江杭州?中考真題)如外平行四邊形48CD的對角線力相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸在對角線8D上,

且BE=EF=FD,連接4E,EC,CF.FA.

-------------刁口

(1)求證：四邊形4EC尸是平行四邊形.

(2)若△力BE的面積等于2,求△CF。的面枳.

【答案】(I)見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得OA=OC,OB=OD,結(jié)合BE=FD可得OE=OF,即

可證明四邊形AECF是平行四邊形；

(2)根據(jù)等底等高的三角形面積相等可得SAAEF=SAABE=2,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得SMTO=

；SiCEF=；SAAEF=；X2=1.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是平行四邊形,

0A=OC,OB=OD,

???BE=FD,

OB-BE=OD-FD,

OE=OF,

又???OA=OC,

.??匹邊形AECF是平行四邊形.

(2)解：???SAABE=2,BE=EF

SAAEF=S^ABE=2,

?.?匹邊形AECF是平行四邊形,

S^CFO=2SACEF=2SAAEF=5x2=1.

【點(diǎn)睛】本題考杳平行四邊形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分.

考點(diǎn)06矩形菱形正方形的性質(zhì)

1.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，矩形48CD中，AB=2y/S,BC=8.點(diǎn)。是8C邊上一動點(diǎn)，點(diǎn)M為

線段8P上一動點(diǎn).^ADM=^BAP,則8M的最小值為（）.

C.2.4D.g一4

【答案】A

【分析】設(shè)AD的中點(diǎn)為O,連接OB,OM,證明[Z]AMD=90。，得出OM=：AD=4,點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，4

為半徑的圓上，利用勾股定理求出0B從而計(jì)算出答案.

【詳解】解：設(shè)AD的中點(diǎn)為0,連接0B,0M,

???CBAD=90°,AD=BC=8,

BAP+匚MAD=90°,

ADM=：BAP,

MAD+DADM=90°,

AMD=90°,

???AO=OD=4,

OM=?AD=4,

???點(diǎn)M在O點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓O上.

???OB=7AO2+AB2=J42+（2V5）2=6,

/.BM>OB-OM=2,

???BM的最小值為2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，I員周角定理等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解決問題.

2.（2023?浙江金華?中考真題）如圖，在Rt△力中，^ACB=90°,以其三邊為邊在力8的同側(cè)作三個正方

形，點(diǎn)尸在GH上，CG與EF交于點(diǎn)P,CM與8E交于點(diǎn)Q.若HF=FG,則警受”的值是（）

S正力彩ABEF

【答案】B

【分析】設(shè)HF=FG=a,正方形ACGH的邊長為2a,證明tanlHAF=tanGFP,先后求得GP=；a,PC=:a,

BC=a,利用三角形面枳公式求得S^BCQ=ga?，證明Rt△BQC~Rt△BPE,求得S^BEP=S四邊形CQEP=

a2,據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：四邊形ACGH是正方形，且HF=FG,

設(shè)HF=FG=a,則AC=CG=GH=AH=2a,

???四邊形ABEF是正方形，

/.[AFP=90°,

A[IIAF=90°-DHFA=DGFP.

AtanDHAF=tanGFP,即答=|=J

AGP=；a,

2

?，?PC=2a-；a=：a,

同理tan[HAF=tan二CAB,即普=2=：，

HAAC2

:.BC=a,

同理CQ=

APB=1a,

2

2222

BQ=a+（；a）=^a,SABCQ=xax；a=^a,

VRtABQC-RtABPE,

?SABCQ_/BQ\2_is_I

_

**SABEPVBP/一9_5'

???SABEP=5SABCQ=12'

**S四邊形CQEP=S^BEP—SABCQ=a+'

2222

??.S正方形ABEF=AB2=AC?+BC=（2a）+a=5a,

?班邊形PCQE_a2_1

S正方形ABEF5a-5

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

3.（2023?浙江寧波?中考真題）如圖，以鈍角三角形48c的最長邊8C為邊向外作矩形8CDE,連結(jié)

設(shè)4力EO,△4BE,△4CD的面積分別為S,Si，S2，若要求出S—S】一S2的值，只需知道（）

A.4力鳥/的面積B.AACD的面積C.△4BC的面積D.矩形8CDE的面積

【答案】C

【分析】過點(diǎn)A作FG||BC,交E13的延長線于點(diǎn)F,DC的延長線于點(diǎn)G,易得：FG=BC,AF1Bh,AG1CD,

利用矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式，可得S[+S2=；S矩形BCDE，再根據(jù)S=SAABC+S矩形BCDE一Si-S2=

S“BC+5s矩形BCDE，得到S—S]-S2=SAABC，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點(diǎn)A作FGIIBC,交EB的延長線于點(diǎn)F,DC的延長線于點(diǎn)G,

???矩形BCDE,

???BC1BE,BC1CD,BE=CD,

AFG1BE,FG1CD,

???四邊形BFGC為矩形，

/.FG=BC,AF1BE,AG1CD,

r.S1=；BE.AFS=；CD.AG,

???S|+S2=|BE（AF+AG）=；BE?BC=,矩形-DE，

又S=SAARC+S矩形RCDE-SI—S?=SAARC+3矩形BCDE，

..S-S（—S2=SAABC+3S矩形BCDE-5$矩形BCDE=^AABC,

???只需要知道△ABC的面積即可求出S-S,-S2的值；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，求三角形的面積.解題的關(guān)鍵是得到&+S2=；S矩形RCDE

4.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形48CD中，。為對角線8。的中點(diǎn)，乙48。=60。.動點(diǎn)E在線段

。8上，動點(diǎn)尸在線段OD上，點(diǎn)E1同時從點(diǎn)。出發(fā)，分別向終點(diǎn)運(yùn)動，且始終保持OE=。幾點(diǎn)E關(guān)于

力的對稱點(diǎn)為邑田2；點(diǎn)?關(guān)于的對稱點(diǎn)為FI，F(xiàn)2.在整個過程中，四邊形瓦&6尻形狀的變化依

次是（）

Fi

A.菱形一平行四邊形一矩形T平行四邊形一菱形

B.菱形一正方形一平行四邊形一菱形一平行四邊形

C.平行四邊形一矩形一平行四邊形一菱形一平行四邊形

D.平行四邊形T菱形T正方形T平行四邊形T菱形

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分別證明四邊形&E2FF2是菱形，平行四邊形，矩形，即可求解.

【詳解】???四邊形ABCD是矩形，

???AB匚CD,DBAD=(ZABC=90°,

ACBDC=匚ABD=60°,EADB=DCBD=90。-60°=30°,

VOE=OF.OB=OD,

???DF=EB

???對稱，

ADF=DF2,BF=BF|,BE=BE2,DE=DE|

???E|F2=E2F1

???對稱，

???匚F2DC=OCDF=60%nEDA=DE^A=30°

，[E]DB=60°,

同理二F1BD=60°,

.?.DEjDBF)

EIF2DE2F)

???四邊形&E2FIF2是平行四邊形，

如圖所示，

Fi

當(dāng)E,F,0三點(diǎn)重合時，DO=BO,

/.DE]=DF2=AEi=AE2

即E1E2=E|F2

???四邊形EF2BF2是菱形,

如圖所示，當(dāng)E,F分別為OD,OB的中點(diǎn)時，

設(shè)DB=4,則DF?=DF=1,DE】=DE=3,

在RtaABD中，AB=2,AD=

連接AE,AO,

VCABO=60°,BO=2=AB,

???AABO是等邊三角形，

YE為OB中點(diǎn)，

/.AEIOB,BE=1,

AAE=V22-12=V3,

根據(jù)對稱性可得AEI=AE=V5,

AAD7=12,DEi=9,AE；=3,

AAD2=AEj+DEb

???ADE]A是直角三角形，KDEj=90°,

???四邊形EF2FF2是矩形,

當(dāng)F,E分別與D,B重合時，△BEiDqBDFi都是等邊三角形，則四邊形EF2FF2是菱形

???在整個過程中，四邊形EF2&F2形狀的變化依次是菱形一平行四邊形一矩形一平行四邊形一菱形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理與勾股

定理的逆定理，軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?浙江杭州?中考真題）如圖，矩形/BCD的對角線4C,BD相交于點(diǎn)。.若乙4OB=60。，則鋁=（）

A.iB.dC.更D.理

2223

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得出OA=OC=|AC,OB=OD=；BD,AC=BD,推出OA=OB則有等邊三角

形AOB,即匚BAO=60。，然后運(yùn)用余切函數(shù)即可解答.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

；；

r.OA=OC=2AC,2OB=OD=BD,AC=BD,

AOA=OB,

???AOB=60°,

?MAOB是等邊三角形，

J[BAO=60°,

ADACB=90°-60°=30°,

VtanLACB==tan300=^7,牧D正確.

BC3

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、余切的定義等知識點(diǎn)，求出BAO=60。是解答

本題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，正方形4RCD中，AB=3,點(diǎn)石在邊4。上，OE=24民尸是BE的中

點(diǎn)，點(diǎn)〃在。。邊上，/-EFH=45°,則的長為（）.

【答案】C

【分析】首先過點(diǎn)B作BN||FH,連接數(shù)ENFN、，延長DC到點(diǎn)G,使CG=AE,連接BG,根據(jù)EFH=45°

可得[NBG=45。，利用SAS可證AABED^CBG,再利用SAS可證△EBND△GBN,從而可得EN=NG,

利用勾股定理可得DN=CN=p利用梯形中位線定理可以求出FN=根據(jù)BN||FH可證△FHN]△BNC,

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可以求出FH的值.

【詳解】解：如下圖所示，過點(diǎn)B作BNIIFH,連接數(shù)EN、FN,延長DC到點(diǎn)G,使CG=AE,連接BG,

P

???匹邊形ABCD是正方形，AB=3,

:.AD=CD=BC=AB=3,匚ABC=90°,

DE=2AE,

ADE=2?AE=1,

???BE=>/AE2+AB2=/IO,

vDEFH=45°,BNQFH,

E1EBN=E1EFH=45。，

:.CABE4-「NBC=45。，

(AE=CG

在么ABE^ACBG中=CBCG=90。，

(AB=BC

???△ABE△CBG?

???匚ABE=CBG,BE=BG,

:.CGBN=DCBG+CNBC=匚ABE+DNBC=45°,

EiEBN=DNBG,

BE=BG

在么GBN中E1EBN=DNBG,

BN=BN

.?.△EBNDAGBN,

:.EN=NG,

設(shè)NC=x,則DN=3-x,EN=NG=x4-1,

在RtaEDN中，ED2+DN2=EN2,

22+(3-x)2=(1+x)2,

解得：x=p

DN=CN=I，

:.BN=VBC2+CN2=J32+(|)2=|V5,

???點(diǎn)N是CD的中點(diǎn)，

FN是梯形EBCD的中位線，

FN=；(ED+BC)=|(2+3)=|,FNH=90°,

???FHE1BN,

???DFHN=UBNC,

X-.CFNH=OBCN=90°,

FHNABNC,

F_H-F-N

BNB5C

FII-

福2

-

.3

-

解得：FH=^V5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、梯

形的中位線定理等知識，掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

7.（2023?浙江?中考真題）如圖，在菱形力中，AB=1,/.DAB=60°,貝的長為（）

A.-B.1C.—D.V3

22

【答案】D

【分析】連接8D與4C交于O.先證明△A8D是等邊三角形，由.4C_L8D,得到土。48=：匕84）=30。,

^AOB=90°,即可得到OB=4/B=號利用勾股定理求出力。的長度，即可求得AC的長度.

【詳解】解：連接8D與4C交于0.

???四邊形ABCD是菱形,

：.AB\\CD,AB=AD,AC1BD,AO=OC=^AC,

'：LDAB=60°,RAB=AD,

???ZMBD是等邊三角形，

'：AC1BD,

：.LOAB=-Z-BAD=30°,Z.AOB=90°,

2

???OB=；,

22

：.AO=\/AB2-OB2=JI2-(T=2，

：.AC=2AO=V3,

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、30。角所對直角邊等于斜邊的

一半，關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì).

8.(2024.浙江?中考真題)如圖，在菱形/18C。中，對角線AC,BD相交于點(diǎn)O,*線段48與AB'關(guān)

于過點(diǎn)O的直線/對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)夕在線段OC匕A'B'交CD于點(diǎn)、E,則48'CE與四邊形0*￡7)的面積

比為________

【答案】1:3g

【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上

知識點(diǎn).

設(shè)AC=10a,BD=6a,首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OA=OC=；AC=5a,OB=OD=；BD=3a,連接A,D,

OE,直線1交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G,得到點(diǎn)A,,D,O三點(diǎn)共線,AD=AO-OD=2a,BC=OC-OB=2a,

2=整=：=3然后證明出△A'EDWACEB(AAS),得到A,E=CE,然后證明出△ODE訃OBE(SSS),

SAOEB'OB3a3

得到SAODE=S.OB'E，進(jìn)而求解即可?

【詳解】???四邊形ABCD是菱形，*

???設(shè)AC=10a,BD=6a

AOA=OC=：AC=5a,OB=OD=；BD=3a

22

如圖所示，連接AD,OE,直線1交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G,

???線段AB與A'B’關(guān)于過點(diǎn)O的直線1對稱，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'在線段OC上,

???Dor=COF=1aDOD=45°,AO=AO=5a,OB'=OB=3a

ACAOG=CiDOG=45°

???點(diǎn)A',D,O三點(diǎn)共線

AD=AO-OD=2a?BC=OC-OB=2a

?S^CEB'_BC_2a_2

OB-3a-3

AAD=BC

VCD||AB

/.CCDO=EABO

由對稱可得，口從8‘0二口人80

ABO=CCDO

ADADE=匚CB’E

又DCEB'

/.△AED^ACEB'(AAS)

r.AE=CE

VAB，=AB=CD

ADE=BE

又???OD=OB',OE=OB'

AAODE三△OB,E(SSS)

?()DE

?SA=SAOBE

?.SACEH'_SACEB'__2_￡

S四邊形OB'EDSAOEB'+SAODE3+363

故答案為：J.

9.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，在菱形A8CD中，Z.DAB=40°,連接4C,以點(diǎn)力為圓心，力。長為半

徑作弧，交直線4。于點(diǎn)E,連接CE,貝i"4EC的度數(shù)是.

【答案】10。或80。

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得匚9人口=；[萬慶8=2()。，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)

A上方時，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A卜方時，即可進(jìn)行解答.

【詳解】解：???四邊形ABCD為菱形，DDAB=40%

ADCAD=|CDAB=20°,

連接CE,

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A上方時，如圖E],

VAC=AEPCCAE1=20°,

ACAE1C=；(180°-20°)=80°,

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A下方時，如圖E2，

VAC=AEPCCAE1=20°,

???匚AE,C=：E]CAE[=10°,

/21

故答案為：10?；?0。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角定理，解題

的關(guān)鍵是掌握菱形的對角線平分內(nèi)角;等腰三角形兩底角相等，三角形的內(nèi)角和為180。；三角形的一個外

角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

1().(2023?浙江臺州?中考真題)如圖.矩形中,AB=4,AD=6.在功力0卜取一點(diǎn)E,便BE=BC.

過點(diǎn)。作CF1BE,垂足為點(diǎn)F,則8F的長為.

【答案】26

【分析］利用矩形的性質(zhì)、勾股定理求出AE,利用AAS證明AABE三ZXFCB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解

即可.

【詳解】解：???矩形ABCD中，AB=4,AD=6,

ABC=AD=6,A=OABC=90°,

又BE=BC,

ABE=6,

???AE=VBE2-AB2=2V5,

VCF1BE,CABC=90°,

JLBFC=90°,QABE=90°-UEBC=LBCF,

???A=BFC,

在么人8匕和4FCB中

□A=LBFC

匚ABE=OFCB，

BE=BC

.*.△ABE^AFCB(AAS),

???BF=AE=26.

故答案為：2V5.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌

握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

11.(2025?浙江?中考真題)【問即背景】

如圖所示，某興趣小組需要在正方形紙板48CD上剪下機(jī)翼狀紙板(陰影部分)，點(diǎn)E在對角淺8。上.

【數(shù)學(xué)理解】

(1)亥機(jī)翼狀紙板是由兩個全等三角形組成，請寫出△ABECBE的證明過程.

(2)若裁剪過程中滿足=DA,求“機(jī)翼角28AE的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)22.5°

【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，熟知相關(guān)

知識是解題的關(guān)鍵.

(1)由正方形的性質(zhì)可得AB=CB,［：ABD=CCBD,據(jù)此可利用SAS證明△ABE三△CBE；

(2)由正方形的性質(zhì)可得口34口二9()。，DADB=45。，再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出匚DAE的

度數(shù)即可得到答案.

【詳解】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

AAB=CB,DABD=DCBD,

XVBE=BE,

Z.AABE=ACBE(SAS)；

(2)解：???四邊形ABCD是正方形,

ACBAD=90°,CADB=45°,

VDE=DA,

/.□DAE=DDEA,

???匚DAE+DDEA+EADE=180。，

ACDAE=匚DEA=67.5°,

BAE=BAD—匚DAE=22.5°.

12.（2023?浙江嘉興?中考真題）如圖，在菱形ABCD中,