???三年（2023-2025）中考真題分類匯編

專題07全等三角形、等腰三角形、

直角三角形（勾股定理）與相似三角形綜合

（6大考點(diǎn)40題）

考點(diǎn)01全等三角形的判定及性質(zhì)

1.（2025?湖北?中考真題）如圖，48=4。,47平分/胡。.求證：NB=ND.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先根據(jù)角平分線得到再由SAS證明△H4C鄉(xiāng)ADAC,即“J"得至U=ND.

【詳解】證明：:AC平分NBA。，

J^I3AC=ZDAC,

VAB=AD,AC=AC,

???IMC（SAS）,

???ZB=/D.

2.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，在o48CO中，點(diǎn)E,尸分別在邊BC,4。上，AF=CE.

（1）求證：AABE學(xué)ACDF；

（2）連接E尸.請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形AB￡廠是平行四邊形.（不需要說(shuō)明理由）

【答案】⑴見解析

（2）添加=（答案不唯一）

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定：

3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出=ZB=ZD,結(jié)合已知條件可得。尸=此，即“J證明

△ABEmACDF；

（2）添加Ab=8E，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形A8C。是平行四邊形，

AAB=CD,AD=BC,NB=/D,

VAF=CE,

???AD-AF=BC-CE即DF=BE,

在,ABE與VC。/中，

AB=CD

ZB=N。，

BE=DF

???ABE鄉(xiāng)CDF（SAS）；

（2）添加A尸=4E（答案不唯一）

如圖所示，連接

???四邊形A8CD是平行四邊形，

:,AD〃BC,即"'〃的

當(dāng)A尸=8E時(shí)，四邊形4批「是平行四邊形.

3.（2023?湖北黃石?中考真題）如圖，正方形ABC。中，點(diǎn)M,N分別在A8,BC＜，且BM=CN,AN

與/W相交于點(diǎn)P.

%----------------1C

O,

B

AM

(1)求證：：.ABNDAM；

(2)求ZAAW的大小.

【答案】(1)見解析

(2)90°

【分析】(1)直接利用SAS證明全等即可；

(2)根據(jù)全等的性質(zhì)，得出/加，再由ZM4P+ZAMP=Z4￡>M+ZAMP=900,從而求出ZAPM=90°.

【詳解】(1)證明：??,四邊形ABC。是正方形，

AB=AD=BC,NDW=NABN=90°,

.BM=CN,

:.BC-CN=AB-BM,BPBN=AM,

在.A8N和△ZMM中，

AB=ADy

ZABN=/DAM,

BN=AM,

]A8NgZMM(SAS)：

(2)解：由(I)知-ABNM.DU/,

:.ZM\P=ZADM,

ZMAP+ZAMP-ZADM+ZAMP-90°,

ZAPM=180°-(^MAP+ZAMP)=93。.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定.

4.(2023?湖北宜昌?中考真題)如圖，已知40,2),僅2,0).點(diǎn)石位于第二象限且在直線)，=-21上，/比)。=90。,

OD=OE,連接A8DE,AE,DB.

⑴直接判斷VA08的形狀：V4OB是_________三角形:

(2)求證：△AOE出△B00

???VAOB是等腰直角三角形,

故答案為：等腰直角三角形

(2)如圖，

???ZEOD=90°,ZAO13=90°,

ZAOI3-ZAOD=/DOE-ZAOD,

:.^AOE=^BOD,

AO=Oli,OD=OE,

:.AAOE迫ABODISAS)；

(3)①設(shè)直線AC的解析式為y=U+h,

X(0,2),C(/,0),

.、b=2

，，＜k/+b=O,

2c

—7+2，

將C&0),B(2,0)代入拋物線下=成+小4得,

0=ar+bf-4

0=4。+2b-4

22

解得a=--,/;=-(/+2),

tt

2,2

/.)■]=一x2+-(r+2)x-4,

222

?J直線=-：x+2與拋物線y二一'/+7?+2)x―4有唯一交點(diǎn)

???聯(lián)立解析式組成方程組解得V-”+3)x+3/=0

/.A=(/+3)2-4x3r=(z-3)2=0

:.t—3

22

②；拋物線y=--X2+-(/+2)x-4向左平移2個(gè)單位得到力，

tt

?勘加如2(r-2f(—2)2

??拋物線y2=—[x---H--------->

拋物線X的頂點(diǎn)戶(一,寫，

(1-2(/-9)2A2

將頂點(diǎn)P二，二^-代入加=-4+2,

rL21//

/.Z2—6/=0?解得4=。,，2=6,

Vz>2,

二./=6；

③過(guò)點(diǎn)￡作區(qū)3_14軸，垂足為M,過(guò)點(diǎn)。作。N_Lx軸，垂足為M

二乙EMO=ZOND=90°,

NDOE=90。,

AEOM+/MEO=NEOM+/NOD=90°.

???5EO=NNOD,

'：OD=OE,

.??-OON經(jīng)EOM(AAS),

???ON二EM、DN=OM,

???OE的解析式為y=-2x,

???設(shè)EM=2QM=2m,

DN=OM=m,

?：EM_Lx軸，

???OA//EM.

/.^CAO-^CEM，

:.OC:CM=OA:EM,

t2

----=——,

t+m2m

t

：.ni=,

t-\

：.EM=ON=2OM=2m=—,DN=OM=

t-1t-\

??,拋物線必再向下平移島F個(gè)單位，得到拋物線出，

2?2

；?拋物線%=-：/+二（/_2卜一；7^,

tt（I）

2/922

—代入拋物線Mn-7f+vQ-z及-L7,

（f-If—"II（T—1）

.\3r2-19r+6=0,

解得乙=；由=6,

由，＞2,得r=6,

,2/1212/66

…有一言一二百一百一二’

"26]

（55）

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)和幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定

系數(shù)法求函數(shù)解析式、解一元二次方程、全等三角形的判定和性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，

綜合性較強(qiáng)，熟練掌握二次函數(shù)的平移和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題）【問(wèn)題背景】

人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材第63頁(yè)”實(shí)驗(yàn)與探究”問(wèn)題1如下：如圖，正方形A8CO的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,

點(diǎn)。又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，無(wú)論正方形A&G。繞點(diǎn)。怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，

兩個(gè)正方形重疊部分的面積.總等于一個(gè)正方形面積的I.想一想,這是為什么？（此問(wèn)題不需要作答）

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)上面的問(wèn)題又進(jìn)行了拓展探究、內(nèi)容如下：正方形A8CO的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)P

落在線段OC上，—=k（&為常數(shù)）.

圖1圖2圖3

【特例證明】

（1）如圖1,將Rt△尸￡尸的直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，兩直角邊分別與邊AA,相交于點(diǎn)仞，N.

①填空：k=；

②求證：PM=PN.（提示：借鑒解決【問(wèn)題背景】的思路和方法，可直接證明△E4MW△尸8V：也可過(guò)

點(diǎn)P分別作A8,8c的垂線構(gòu)造全等三角形證明.請(qǐng)選擇其中一種方法解答問(wèn)題②.）

【類比探究】

（2）如圖2,將圖1中的！夕即沿0C方向平移，判斷PM與PN的數(shù)量關(guān)系（用含A的式子表示），并說(shuō)

明理由.

【拓展運(yùn)用】

（3）如圖3,點(diǎn)N在邊上，N8尸N=45。，延長(zhǎng)NP交邊CD于點(diǎn)E,若EN=kPN,求k的值.

PM

【答案】（1）①1；②見解析；（2）-=k,理由見解析；（3）3

PN

【分析】（1）①利用正方形性質(zhì)即可得出答案；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得PA=PB,ZAPM=NBPN,利用ASA證明

即可；

（2）過(guò)點(diǎn)尸作PG〃9交8C于G,利用平行線的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)易證得ZPGC=ZPCG="W,

ZAPM=/GPN,可證明△以利用相似三角形性質(zhì)即可得出答案；

（3）過(guò)點(diǎn)P作PM_LPN交于M,作P”JL8c于〃，作PGJ_/W于G,利用AASi正得,

可得：GM=CN,PG=EC,再證得△8PNs/\BCP,可得。加二時(shí)仔，同理可得：，推出

EC=2CN,進(jìn)而可得lan/￡NC="=空=2,令HN=a,則?！?勿，CN=3a,EC=6a,利用勾股定

HNCN

理即可求得答案.

【詳解】解?：（1）①由正方形的性質(zhì)可知：OA=OC,

???將RtAPEF的直角頂點(diǎn)”與點(diǎn)。重合，

..PAOA

??左=---=---=1,

PC0C

故?:案為：1:

②證明：:四邊形ABC。是正方形，

AZAPB=ZMPN=90°,NPAB=/PBC=45。，PA=PB，

3）B-NPM=ZMPN一/BPM,

即ZAPM=/BPN,

：.APAM出△PBN（ASA）,

??.PM=PN.

PM

（2）—=k,理由如下：

PN

過(guò)點(diǎn)，作PG//BD交BC\G,

ZAOB=ZAPG,/PGC=NOBC,

???四邊形A8CO是正方形，

/LPAM=ZOCZ?=ZOBC=45°,ZAOB=90°,

AZAPG=^MPN=ZAOB=900fZPGC=4PCG=/PAM,

：.PG=PC,ZAPG-^MPG=ZMPN-ZMPG,

即Z/VW=NGPN,

"AM—APGN,

.PMPAi

???"=k.

PNPC

（3）過(guò)點(diǎn)尸作〃M_L/W交48于M,作PH工BC于H,作PG_LAB于G,

DEC

圖3

則/MPN=NGPH=/PGM=ZEGV=90°,

???SPN-43PN=4GPH-ZGPN,

&ZMPG=ZNPH,

，乙PMG=4PNH,

由（2）和已知條件可得：PM=kPN,EN=kPN,

：,PM=EN,

：.APG/W^AEC/V（AAS）,

:?GM=CN,PG=EC,

VZBP/V=ZPC?=45°,4PBN=NCBP,

/.△BPNsgCP,

.PBBN

??=,

BCPB

，PB，=BCBN,

同理可得：PB：=BABM,

*/BC=BA,

???BM=BN,

:?AM=CN,

AG=2CV,

???ZPAB=45°,

PG=AG,

：.EC=2CN,

???tanZE^C=—=—=2,

HNCN

令HN=a,貝」iP”=2a,CN=3a,EC=6a,

???EN=yj（3a）2+（6a）2=，

“更邛=3.

PN亞a

【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主?？疾榱苏叫蔚男再|(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，柞似三角形的

判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出相似三角形和全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)02全等三角形的應(yīng)用

6.（2023?湖北?中考真題）如圖，ABACADEB和AAEF都是等腰直角三角形，NBAC=NDEB=ZAEF=90°,

點(diǎn)E在VA4c內(nèi)，BE>AE,連接。尸交AE于點(diǎn)G,。石交A3于點(diǎn)H,連接6.給出下面四個(gè)結(jié)論：①

NDBA=NEBC；②NBHE=NEGF；③A3=DF；?AD=CF.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

［答案］①@④

【分析】由題意易得A8=AC,NABC=45O=N￡>8E,AE=EF，DE=BE,Z.DEB=ZAEF=ABAC=90°,

則可證，AEBZFED（SAS）,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定可進(jìn)行求解.

【詳解】解：???△84C4OEB和律都是等腰直角三角形，

AAB=AC./ABC=45°=ADBE,AE=EF，DE=BE,ADEB=ZAEF=ABAC=90°,

???/DBA=NDBE-NABEZEBC=NABC-NABE,NAEB=NAED+NDEB/FED=NAEF+NAED,

??.￡DBA=ZEBC/AEB=ZFED,故①正確；

A.AEB^,FED（SAS）,

：.AB=DF=AC,ZABE=Z.FDE,ZBAE=ZDFE,故③正確；

,：/ABE+NBHE=90。,NEFD+/EGF=90。,ZBAE+ZEAC=90°,BE>AE,

：?4BHE豐NEGF,NEGF=NEAC；故②錯(cuò)誤；

:.DF//AC,

???DF=AC,

???四邊形ADFC是平行四邊形，

：.AD=CF,故④正確；

故答案為①?④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定，熟

練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題）如圖，在V4BC中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，。與/W相切于點(diǎn)。,

與8c交于點(diǎn)E,F,OG是《。的直徑，弦G尸的延長(zhǎng)線交4c于點(diǎn)〃，且G”_LAC.

A

H

BE\O\/FC

(1)求證：AC是。的切線；

(2)若DE=2,GH=3,求的長(zhǎng)/.

【答案】(1)見解析

(2)T

【分析】(1)連接0A,過(guò)點(diǎn)。作OM_LAC于點(diǎn)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得A。為/胡C的平分線，

再根據(jù)：。與AB相切于點(diǎn)D,OG是1。的直徑得。用=。/九進(jìn)而根據(jù)切線的判定可得到結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)石作于點(diǎn)N,先證_ODE且一OG廠得到。石=GE=2,進(jìn)而得到月”=1,再證

.BNEW-CHF得到EN=FH=1,然而在Rt謝中利用三角函數(shù)可求出4/W=3(T,進(jìn)而得.ODE為等邊三

角形，據(jù)此得N0OE=6O。，OD=OE=DE=2,則NZX*=120。，最后得到弧長(zhǎng)公式即可得到答案.

【詳解】(1)證明：連接。4,過(guò)點(diǎn)。作QMJ.AC于點(diǎn)M,

AB=AC,。是的中點(diǎn),

/.40為-84C的平分線，

。與AA相切于點(diǎn)。，QG是1。的吏徑,

二。力為〔。的半徑，

..OD±AB,

又。M_LAC,

0M=OD,

即。M為，:，。的半徑，

二?AC是。。的切線；

(2)解：過(guò)點(diǎn)E作EN1.AB于點(diǎn)N,

A

點(diǎn)。為。。的圓心,

:.OD=OG,OE=OF,

在U9Z)石和.OG/7中，

OD=OG

NDOE=/GOF,

OE=OF

:.QDEMOGF(SAS),

:.DE=GF,

DE=2,GH=3,

：.GF=2,

:.FH=GH-GF=3-2=\,

A/3=ACf。是8c的中點(diǎn),

；.OB=OC/B=NC,

又OE=OF,

:.BE=CF,

GH工AC、ENtAB,

:.NBNE=/CHF=90。，

在4NE和二O中,

/BNE=NCHF

NB=/C

BE=CF

:jmEWCHF〈R0,

：.EN=FH=1,

在RtDEN中，DE=2,EN=1,

s\nZEDN=—=~,

DE2

:.NEDN=30。，

0D1AB,

NODE=900-NEON=90。-300=60。，

又OD=OE,

[ODE為等邊三角形，

NDOE=60。,0。=OE=DE=2,

ZDOF=180O-ZDOE=180°-60o=120°,

,60兀x22乃

/./=------=——.

1803

【點(diǎn)睛】此題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形

的判定和性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)

鍵.

8.（2024?湖北?中考真題）如圖，在RIA48C中，NACB=90。，點(diǎn)石在AC上，以CE為直徑的O經(jīng)過(guò)力B

上的點(diǎn)。，與08交十點(diǎn)產(chǎn)，且BD=BC.

⑴求證：入?yún)^(qū)是。的切線；

⑵若石,A￡=b求C尸的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）連接0。，可得0r>BWQC8（SSS）,得至lJ/ODB=NOCB=90°,即得OD_L4從即可求證；

（2）設(shè)「。的半徑為廣，則。A=r+1,在RSQ4O中由勾股定理得（「+1『=（6丫+產(chǎn)，可得/=1，即得

tan乙40。=嚓=75,得到/4。。=60。，進(jìn)而得到N88=4OC=60。，最后利用弧長(zhǎng)公式即可求解.

【詳解】（1）證明：連接O。，則

B

BD=BC,OB=OB,

ODB^OCB（SSS）,

;"ODB=/OCB=9(r,

:.OD±AB.

???。。是。0的半徑，

，AB是QO的切線：

(2)解：設(shè)C。的半徑為「，則。4=尸+1,

???AODB=90°,

???/044=180。-90。=90。，

在RtZXQA。中，OA2=AD2-￥OD\

(r+1)2=(G)~+,，

解得r=l,

..tan400=處=6,

OD

.\ZAOD=60°,

:.ZDOC=120P

△ODB^AOCB,

:"BOD=/BOC=*。,

田的長(zhǎng)為管g

【點(diǎn)睛】本題考直了全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，三角函數(shù)及弧長(zhǎng)公式，求出

NBOD=NBOC=6()。是解題的關(guān)嚏.

9.(2023?湖北武漢?中考真題)問(wèn)題提出：如圖(1),E是菱形A8C。邊8C上一點(diǎn)，/XA"是等腰三角

形，AE=EF,4所=乙48。=。(〃之90。),47交。。于點(diǎn)6,探究/6。尸與。的數(shù)量關(guān)系.

⑴(2)(3)

問(wèn)題探究：

(1)先將問(wèn)題特殊化，如圖(2),當(dāng)。=90。時(shí)，直接寫出NG"的大小；

(2)可探究一般情形，如圖(I),求NGC產(chǎn)與。的數(shù)量關(guān)系.

問(wèn)題拓展：

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當(dāng)a=12/時(shí)，若嘗=:，求空的值.

CG2CE

【答案】(1)45。

3

(2)=-90°

c、BE2

(3)—=一

CE3

【分析】⑴延長(zhǎng)過(guò)點(diǎn)/作F”_L8C,證明.'4班瓦步即可得出結(jié)論.

(2)在AB上截取AN,使AN=EC,連接NE,證明ZvVVE也△成尸，通過(guò)邊和角的關(guān)系即可證明.

3

⑶過(guò)點(diǎn)八作C。的垂線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為3〃?，由⑵知，NGCF=”-90。=90。,

通過(guò)相似求出=6巨機(jī)，即可蚱出.

5

【詳解】(1)延長(zhǎng)BC過(guò)點(diǎn)/作F”_L8C,

???NBAE+ZAEB=900,

NFEH+ZAEB=90°,

???^BAE=/FEH,

在△ERA和一中

ZABE=NEHF

?/BAE=NFEH

AE=EF

，一ABE^EHF,

???AB=EH,

BE=FH,

/.BC=EH,

???BE=CH=FH,

?GCF?FCH45?.

故答案為：45°.

(2)解：在AB上截取AN,使⑷V=EC,連接NE.

ZABC+NBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180。.

ZABC=ZAEF,

:"EAN=4FEC.

:AANE^/\ECF.

:.ZANE=ZECF.

.AB=BC,

:.BN=BE

.NEBN=a,

ZBNE=90°--a.

2

NGCF=NECF-/BCD=ZANE-/BCD

(3)解：過(guò)點(diǎn)A作。。的垂線交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為36,

DG_1

~CG~2"

\DG-m,CG-2m.

在Rt/OP中，

.?ADCABC120?,

.-.Z4DP=60°,

□a

/.PD=二/〃，人P=二yf3tn.

22

3

cr=120°,由（2）知，ZGCF=-67-90°=90°.

2

?.?4Gp?FGC,

\APGS_FCG.

APPG

—=----，

CFCG

CF2m

“k66

..Cr=-----m，

5

在A8上截取AN,使4V=EC,連接NE,作BO上NE于點(diǎn)、0.

由（2）知，AANE^AECF,

???NE=CF,

???AB=BC,

：,BN=BE,OE=EF=-EN=—m.

25

???ZABC=120°,

??.ZLBNE=/BEN=30。,

OF

Vcos30?—,

BE

BE=—w,.

9

\CE=-m

5

?-B-E-=—2

'CE3.

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角

形相似.

考點(diǎn)03等腰三角形的判定及性質(zhì)

10.（2023?湖北荊州?中考真題）如圖，AD是等功V48C的中線.以。為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC

的延長(zhǎng)線于E,連接DE.求證：CD=CE.

【答案】見解析

【分析】利用三線合一和等腰三角形的性質(zhì)，證出NE=N2,再利用等邊對(duì)等角即可.

【詳解】證明：QBO為等邊V4BC的中線，

,-.Z3=3O°

BD=DE，

.-.ZE=Z3=30°

Z2+ZE=Z1=6O°.

.\ZE=Z2=30°

:.CD=CE

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定，理解記憶相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

11.(2023?湖北武漢?中考真題)如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC/—D,點(diǎn)E在84的延長(zhǎng)線上,

連接CE.

(2)若/七二60。,以平分N3C。，直接寫出工ACE的形狀.

【答案】(1)見解析

(2)等邊三角形

【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到已知N8=/Z),則NEAO=NO,可判定CD,即可得

到ZE=NEC￡＞；

(2)由NE=60。，NE=NECD得到NECD=NE=60。，由CE平分/8CO,得到N8CE=NEC。=60。，

進(jìn)一步可得ZBCE=NE=ZBEC,即可證明.BCE是等邊三角形.

【詳解】(1)證明：

/.AEAD=ZB,

.ZB=ND,

：.ZEAD=ZD,

:.BE//CDy

:"E=NECD.

(2)VZE=60°.NE=NECD,

???ZECD=ZE=60°,

CE平分/BCD,

???ZBCE=ZECD=60°,

J乙BCE=/E=9。，

???ZB=180°-ZBCE-ZE=60°,

???乙BCE=NE=ZB,

???BCE是等邊三角形

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義等知

識(shí)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?湖北?中考真題）如圖，是VA8C的外接圓，ABAC=45°.過(guò)點(diǎn)。作。廠JL48,垂足為E,

交AC于點(diǎn)。，交QO于點(diǎn)尸.過(guò)點(diǎn)尸作。。的切線，交C4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

（1）求證：FD=FG；

（2）若A8=12,/G=10,求。。的半徑.

【答案】（1）證明過(guò)程見詳解

（2）。。的半徑葭

【分析】（1）根據(jù)垂直，切線的性質(zhì)得到A3GF,可得-。尸G是等腰直角三角形，由此即可求解；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AE=8E=6,VADE是等腰直角三角形，由（1）得到尸。=1（）,則所=4,如圖

所示，連接。4,設(shè)OE—x,則O/=OE+EE=x+4=Q4,由此勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：???。/_148，G尸是］。的切線，即_LGb,

AABGF,

???的C=NG=45。，

???/夫。6=90。-45。=45。，即是等腰更角三角形，

???FD=FG；

(2)解：?/DF±AB,

AE=BE=-AB=6,

2

ABAC=45°,

???乙4OE=90。—45。=45。，即V4)E是等腰直角三角形,

???EA=ED=6,

由(1)得FD=FG=IO,

???EF=DF-DE=\0-6=4,

如圖所示，連接04,設(shè)OE=x,則OE=QE+￡F=x+4=O4,

???在R/A0E中，OA1=AE2+OE2,

.?.(X+4)2=62+X2,

解得，x=|，

：.OA=x+4=-+4=—

22t

13

???：：。的半徑三.

【點(diǎn)睛】本題主要考查園內(nèi)接三角形的綜合，掌握垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，切線

的性質(zhì)等周四，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵.

13.(2023.湖北恩施?中考真題)如圖，在矩形A3CQ中，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，將矩形A8CO沿砥所在的直

線折疊，C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,以，連接4y交友:'于點(diǎn)

⑴若N。或7=70。，求ZZM"的度數(shù)；

(2)連接EE試判斷四邊形CDQ的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】(l)ZD/S的度數(shù)為35。

(2)矩形，理由見詳解

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，沿的所在的直線折疊，可得△AED是等腰三角形，根據(jù)三角形的

外角的性質(zhì)即可求解；

(2)如圖所示，連接￡尸，點(diǎn)〃是座上的一點(diǎn)，根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)可得四邊形瓦。尸是平行四邊形，

如圖所示，連接EC,EC\過(guò)點(diǎn)E作石GJLAC于點(diǎn)G,可證四邊形CO'M是平行四邊形,再根據(jù)折疊的

性質(zhì)得NC=/￡>'=NC=NO=90°,由此即可求證.

【詳解】（1）解：???四邊形488是矩形，點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，

***AE=DE，

???沿班所在的直線折疊，G。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,M

DE-D'E，

:?AE=DE，則△AED'是等腰三角形，

???ZZX4￡=ZAZ7E,

NOE。'=70°，即=NDAE+ZAI>E=70°,

???ND'AE=ZADfE=-ZDED^-x70°=35°,

22

???〃MD的度數(shù)為35。.

（2）解：如圖所示，連接石廠，點(diǎn)，是跖上的一點(diǎn)，

???西邊形ABC。是矩形，

:.DE〃BC,ZC=ZD=90°,即CDJL8C,

???沿BE所在的直線折疊，C,力的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,

AZC=ZZX=ZC=ZD=90°,OFUE,座是NC8C',N￡>石。的角平分線,

由（I）可知，NEA/y=/EO'A=』NDE。'.

2

JZEZ7A=Z￡7EH,

/.ALf//BE,且BF〃ED,

???四邊形8EQ戶是平行四邊形，則8尸=9,FD=BE,

如圖所示，連接EC,EC,過(guò)點(diǎn)E作EG_L8C于點(diǎn)G,

D'

//小_、________；D

，/\、、、：

上---------b-------%，

RGC

丁點(diǎn)E是A。的中點(diǎn)，EGLBC,

，點(diǎn)G是線段8c的中點(diǎn)，則AE=DE=BG=CG,

???在△BFGZXCEG中，

BG=CG

ZBGE=NCGE=90。,

EG=EG

JABEG^ACEGCSAS),

:?BE=CE,/EBG=/ECG,

???沿M所在的直線折疊，C,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C,M

AZC=ZZ7=ZC=ZD=90°,CFO'E,NGBE=/FBE,

在△8CE,Z\8CEqj,

BC=BC

ZCBE=NCBE,

BE=BE

??.△BC'E四△BCE(SAS),

：?EC=EC，/BC'E=/BCE,

JEC=EC=EB,

???EC=FD,

???四邊形CD所是平行四邊形，

,rZC=ZZ7=ZC=ZD=90°,

，平行四邊形CDEF是矩形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，矩形的判定，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握矩

形折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵.

14.(2023?湖北荊州?中考真題)如圖L點(diǎn)P是線段A5上與點(diǎn)A,點(diǎn)B不重合的任意一點(diǎn),在A8的同側(cè)

分別以A,P,3為頂點(diǎn)作N1=N2=N3,其中N1與N3的一邊分別是射線A8和射線區(qū)4,N2的兩邊不在

直線AA上，我們規(guī)定這三個(gè)角互為等聯(lián)角，點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)，線段A3為等聯(lián)線.

圖2圖3

（1）如圖2,在5x3個(gè)方格的紙上，小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)、邊長(zhǎng)均為1,為端點(diǎn)在格點(diǎn)的已知線段.請(qǐng)

用三種不同連接格點(diǎn)的方法，作出以線段A8為等聯(lián)線、某格點(diǎn)P為等聯(lián)點(diǎn)的等聯(lián)角，并標(biāo)出等聯(lián)角，保留

作圖痕跡；

（2）如圖3,在RtAAPC中，NA=90,AC>AP,延長(zhǎng)4〉至點(diǎn)8,使A8=AC,作NA的等聯(lián)角NCPO和

NPBD.將△APC沿PC折香，使點(diǎn)A落在點(diǎn)”處，得到MPC,再延長(zhǎng)門必交A。的延長(zhǎng)線于E,渾接CE

并延長(zhǎng)交P。的延長(zhǎng)線于/，連接

①確定P3的形狀，并說(shuō)明理由；

②若AP:28=1:2,RF=Ok，求等聯(lián)線A8和線段PE的長(zhǎng)（用含k的式子表示）.

【答案】（I）見解析

（2）①等腰直角三角形，見解析；②"=3k；PE=|A

【分析】（1）根據(jù)新定義，畫出等聯(lián)角；

（2）①..PCF是等腰直角三角形.過(guò)點(diǎn)C作C7VJ_座交BE的延長(zhǎng)線于N.由折疊得AC=CM,

ZCMP=ZCME=ZA=90°,N1=N2,證明四邊形A8NC為正方形，進(jìn)而證明RtATME烏RtZsCNE,得

出NPCE=45。即可求解；

②過(guò)點(diǎn)尸作尸Q，BE于Q,R?_L移交朋的延長(zhǎng)線FR，則NR=NA=90。.證明△APCg△/?”,得出

AP=BR=FR,在RSBRE中，BR2+FR2=BF?，BF=?，進(jìn)而證明四邊形旗FQ為正方形，則

BQ=QF=k,由FQ//CN,得出“A律sjv^。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出NE=jk,根據(jù)PE=PM+ME

即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示（方法不唯一）

（2）①-PCF是等腰直角三角形,理由為：

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CNJ.8E交加的延長(zhǎng)線于N.

由折疊得AC=CM,ZCMP=ZCME=ZA=90°,Z1=Z2

AC=AB,ZA=NPBD=NN=90。,

二?四邊形48NC為正方形

.\CN=AC=CM

又CE=CE,

：.RtACA/ERtACVE（HL）

.\Z3=Z4,而Nl+N2+N3+N4=90。，ZCPF=90°

/.NPCF=Z2+Z3=4CFP=45°

.?.△PCF是等腰直角三角形.

②過(guò)點(diǎn)尸作42,8七于Q,/?7?_1_依交/)8的延長(zhǎng)線于R,則NR=NA=90。.

Nl+N5=Z5+N6=90。，

Z1=Z6,

由_PC〃是等腰直角三角形知：PC=PF,

/.△AFC^^RFP(AAS),

:.AP=FR,AC=PR,而AC=A3,

AP=BR=FR,

在R38R尸中，BR?+FR?=BF?，BF=Ok，

；.AP=BR=FR=k,

:.PB=2AP=2k,

AB=AP+PB=BN=3k,

由BR=FR，/QBR=NR=NFQB=90。,

???四邊形為正方形，BQ=QF=k,

由FQ_LBN,CN^BN得:FQ//CN,

：.?EFSDNEC,

:.^="HQE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE,

NECN

即殳/=5=2解得：NE=gk,

NE3k32

3

由①知：PM=AP=k,ME=NE=-k,

2

35

:.PE=PM+ME=k+-k=-k.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，正方形的性質(zhì)與判定，折疊問(wèn)題，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角

形的性質(zhì)與判定，勾股定理，理解新定義，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)04直角三角形中勾股定理的應(yīng)用

15.（2023?湖北?中考真題）如圖，在VA4c中，Z4BC=90°,49=3,AC=4,點(diǎn)。在邊AC上，旦3。平

分VABC的周長(zhǎng)，則8。的長(zhǎng)是（）

C

A.舊B.>/6C..D.巫

54

【答案】C

12

【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作5EJ.4C于E,利用勾股定理求出AC=5,進(jìn)而利用等面積法求出BE=?,

96

則可求出入￡=不，再由平分\54c的周長(zhǎng)，求出AD-各CD-2,進(jìn)而得到?！?不，則由勾股定理得

JJ

BD=>lBE2+DE2=—.

【詳解】解?：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作8E_LAC于E,

???在V48C中，ZABC=90°,A8=3,BC=4,

工AC=y/AB2+BC2=5，

SABC=^ACBE=^CAB,

.o_.ABBC12

AC5

>---------------a

AAE=VAB2-BE2=j,

*/B。平分VABC的周長(zhǎng)，

AAD+AB=BC+CD,即AO+3=C￡>+4,

又「AD+CD=AC=5,

AAD=3,CD=2,

???DE=AD-AE=-f

5

???BD=dBE?+DE2=號(hào),

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?湖北恩施?中考真題）《九章算術(shù)》被稱為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首書中記教：“今

有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短.橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出.問(wèn)戶高、廣、邪各幾何？”譯文：

今有門，不知其高寬：有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，

竿與門對(duì)角線恰好相等.問(wèn)門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少（如圖）？答：門砂、陽(yáng)和對(duì)田級(jí)的長(zhǎng)分別是一

尺.

Dt____________C

/

/

/

一邪/

a/?

/

/

/

【答案】8,6,10

【分析】設(shè)竿的長(zhǎng)為x尺，則門而為（x-2）尺，門寬為（x-4）尺，利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：設(shè)竿的長(zhǎng)為工尺，則門高為（x-2）尺，門寬為4）尺，

根據(jù)題意可得：X2=（X-2）2+（X-4）2,

解得：x=10或x=2（舍去），

x-2=8（尺），x-4=6（尺），

即門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)分別是8,6,10尺，

故答案為：8,6,10.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用和解一元二次方程，止確設(shè)未知數(shù)找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?湖北隨州?中考真題）如圖，在?△48C中,ZC=90°,AC=&BC=6,Q為AC上一點(diǎn)，若BD

是/ABC的角平分線，則AO=.

C

/N------------------------------SB

【答案】5

【分析】首先證明CO=OP,BC=BP=6,設(shè)8=尸。=x,在Rt-AOP中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可

解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作AA的垂線，垂足為P,

???AB=y]AC2+BC2=V82+62=10*

,/80是—ABC的角平分線，

???4CBD=NPBD,

VZC=ZBPD=90°,BD=BD,

???_肛/一BDP(AAS),

BC=BP=6,CD=PD,

設(shè)C￡)=PD=x,

在Rt_AOP中，VPA=AB-BP=4,AD=S-x,

.?.r+42=(8-x)2,

??4=3,

???AD=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練學(xué)

握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

18.（2023?湖北荊州?中考真題）如圖，8為RlZVWC斜邊A3上的中線,E為2c的中點(diǎn).若4C=8,€0=5,

貝|JDE=.

C

E

ADB

【答案】3

【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出48,然后利用勾股定理即可得出BC,最后利用三角形

中位線定理即可求解.

【詳解】解：?.?在Rt/\A8C中，C。為RtAABC斜邊AB上的中線，6=5,

/.AB=2CD=\0,

JBC=yjA^-AC2=V102-82=6-

???E為AC的中點(diǎn)，

???DE=-BC=3

2

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊

的一半是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)05相似三角形的判定

19.（2023?湖北荊州?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，DH^LAB于H,以?！橹睆降姆謩e交,

BD于點(diǎn)、E,F,連接￡7"

⑴求證：

①CD是。的切線；

②-DEFS—DBA：

(2)若A3=5,DB=6,求sinNOFE.

【答案】（I）①見解析，②見解析

24

⑵一

25

【分析】（1）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB〃C。，根據(jù)力可得CO_LO。，進(jìn)而即可得證；

②連接〃尸，根據(jù)等弧所對(duì)的圓底角相等得出NO,=NOH/L根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出

ZDF//=90°,進(jìn)而可得N￡?=NDB4=NZ）￡/L結(jié)合/EDF=/BDA，即可得證：

（2）連接AC交3。于G.根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理求得4G=4,AC=8,進(jìn)而根據(jù)等面枳法求得

由乙's—）84得：QFE=ADAH,在Rt中，即可求解.

【詳解】（1）證明：①???四邊形A8C。是菱形，

AB//CD

DH±AB,

:.ZCDH=ZDHA=90,則C/）_LOZ）

乂。為。的半徑的外端點(diǎn)，

二.CD是。。的切線.

②連接〃人

,**DF=DF

，4DEF=NDHF

DH為O直徑，

NDFH=90。,

而乙DHB=90。

少HF=4DBA=/DEF,

又?.ZEDF=ZBDA

:.」DEFs_DBA.

（2）解：連接AC交3。于G.

菱形A4C。，BD=6,

AC±BD,AG=GC,DG=GB=3,

??在RtZ\4G8中，AG=\IAB2-BG2=4?

：.AC=2AG=S,

S^ABCD=^ACBD=ABDH,

I1?4

DH=—x6x8x-=—,

255

DHDH24124

在RtA。”中,sinNDAH---=----=---X—=--

ADAB5525

由」）EF-DBA得:力FE=4DAH，

...sinZDFE=sinADAH=——.

25

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求角

的正弦值，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

20.（2023.湖北黃石.中考真題）如圖，八8為的直徑，D4和〈。相交于點(diǎn)足AC平分/D48,點(diǎn)。

在。。上，且CO_LD4,AC交加于點(diǎn)、P.

（1）求證：CD是。的切線；

（2）求證：ACPC=BC\

AF

⑶已知5c2=3尸POC,求I；的值.

AB

【答案】（1）見解析

(2)見解析

【分析】(1)連接。C,由等腰三角形的性質(zhì)得NOAC=NOCA,再證ND4C=NOC4,則QA〃OC.然

后證OCJ.C。，即可得出結(jié)論;

(2)由圓周角定理得乙4C8=90。，/DAC=4PBC,再證NB/1C=/PBC,然后證，ACBj比尸，得

W=.，即可得出結(jié)論；

oCrC

(3)過(guò)P作PE_LAB于點(diǎn)E,證4cpe=3FPOC,再證.ACZ)s:8PC,得ACPC=BP-DC,則

BPDC=3FPDC,進(jìn)而得BP=3fP,然后由角平分線的性