???三年（2023-2025）中考真題分類(lèi)匯編

專(zhuān)題09三角形

考點(diǎn)01三角形的有關(guān)性質(zhì)

1.（2023?長(zhǎng)沙）下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段，能組成三角形的是（）

A.1,3,4B.2,2,7C.4,5,7D.3,3,6

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系分別判斷即可.

【解答】解：???1+3=4,

???1,3,4不能組成三角形，

故力選項(xiàng)不符合題意；

V2+2<7,

???2,2,7不能組成三角形，

故4不符合題意；

V4+5>7,

???4,5,7能組成三角形，

故C符合題意;

<3+3=6,

???3,3,6不能組成三角形，

故。不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?衡陽(yáng)）下列長(zhǎng)度的各組線(xiàn)段能組成一個(gè)三角形的是（）

A.lew,2cm?3cmB.3cm,8cw?5cm

C.4cm,5cm?lOewD.5cni,6cm

【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷即可.

【解答】解：A.V1+2=3,

，長(zhǎng)度為1。相2cm,3c〃?的三條線(xiàn)段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

B、V3+5=8,

???長(zhǎng)度為3a〃，8"〃，5a〃的三條線(xiàn)段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

C、V4+5<10,

???長(zhǎng)度為4c加，5cm,10c加的三條線(xiàn)段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；

。、V4+5>6,

?,.長(zhǎng)度為4c5cm,6c/〃的三條線(xiàn)段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；

故選：￡).

【點(diǎn)評(píng)】本題考直的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?湖南)已知，。，b,c是V"C的三條邊長(zhǎng)，記，=(2)+(g)，其中％為整數(shù).

(1)若三角形為等邊三角形，則，=：

(2)下列結(jié)論正確的是(寫(xiě)出所有正確的結(jié)論)

①若々=2,z=l,則V44。為直帝三角形

②若〃=1,a=^b+2,c=\,則

③若A=l,。，b,c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，^.a<b<c,則滿(mǎn)足條件的VABC的個(gè)數(shù)為7

【答案】2①②/②①

【知識(shí)點(diǎn)】求不等式組的解第、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)、利用勾股定理的逆定理求

解

【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式組，三角形三邊的關(guān)系，等邊三角形的

性質(zhì)等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得。=力=。，據(jù)此求解即可；

Z7=1/14.7

(2)當(dāng)k=2,"1時(shí)，可證明由勾股定理的逆定理可判斷①：當(dāng)％=1,2,c=\

1-6+2-b<\b--b-2<\

P?2

t=-b+2\-b^2

>b-b+2<h

時(shí)，可得2:當(dāng)。時(shí)，可得】2，當(dāng)a時(shí)，可得12,則可求出2<人<6,

a+bi/5

t=----a+b<-c

據(jù)此求出t的取值范圍即可判斷②；當(dāng)左=1時(shí)，則c，則可得到3；根據(jù)題意不妨設(shè)，=〃+2,

n+2<n+n+\<—(n+2]

則剩下兩個(gè)數(shù)分別為〃，〃+1(n為正整數(shù)),則可得3\\解不等式組求出整數(shù)n

即可判斷③.

【詳解】解：(1)???〃，b,。是V/18C的三條邊長(zhǎng)，且V48c是等邊三角形,

:a=b=c,

=1A+1A

=1+1

=2,

故答案為：2；

22

...a+b=c\

.?.V48C為直角三角形，故①王確;

a=—h+2

②當(dāng)人=1,2,c=l時(shí)，

.「七,

-b+2,R

t=------+-=-b+2

??.112；

當(dāng)々Zb時(shí),

?*?a-b<c

-h+2-b<\

<2

-b+2>b

??.12

???2<b<4，.

當(dāng)時(shí),

4.（2023?株洲）《周禮?考工記》中記載有：“…半矩謂之宣（xuSn）,一宣有半謂之?dāng)撸▃hu）…”.意思是：

”…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做楣…”即：1宣=/矩，1栩=^宣（其中，1矩=90°）.

問(wèn)題：圖（1）為中國(guó)古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若//=1矩，/B

【分析】根據(jù)題意可知：4=90°，/8=67.5°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求得NC的度數(shù).

【解答】解：???1宣矩，1璃=弓宣，1矩=90°,4=1矩，N4=l概，

/.ZJ=90°,Z5=17x7x900=67.5°,

22

.\ZC=180°-90°-N8=180°-90°-67.50=22.5°,

故答案為:22.5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答.

考點(diǎn)02全等三角形的判定與性

1.（2024?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)。在線(xiàn)段4。上，AB=AD,N8=N。，BC=DE.

(1)求證：/XABgAADE；

(2)若NBAC=60°,求N/CE的度數(shù).

【分析】（1）由BC=DE,ZB=ZD,AB=AD,根據(jù)“S4S”證明

（2）由全等三角形的性質(zhì)得力。=力￡ZBAC=ZDAE=60°,則N4EC=N4CE,由N/1EC+//1CE=

2ZJC￡=120°,求得N4CE=60。.

【解答】（I）證明：在。和△力。月中，

BC=DE

Z.B=zD>

AB=AD

:?△ABgdADE(SAS).

(2)解：由(1)得△48cg△/1QE,

：.AC=AE,NBAC=ND4E=60°,

：,N4EC=N4CE,

VZAEC+ZACE=2ZACE=180°-ZDAE=\20°,

/.ZACE=60°,

???N4C￡的度數(shù)是60°.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明△川%?0△4/)￡

是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?長(zhǎng)沙)如圖，AB=AC.CDLAB.BE工AC垂足分別為。，E.

(I)求證：4ABE冬"CD；

(2)若力E=6,CD=8,求8D的長(zhǎng).

A

:z

【分析】(1)利用“44S”可證明

(2)先利用全等三角形的性質(zhì)得到力。=/E=6,再利用勾股定理計(jì)算出力C,從而得到的長(zhǎng)，然后

XYHAB-AD即可.

【解答】(1)證明：^CDLAB,BEL4C,

：,/AEB=NADC=90°,

在LABE和△月CZ)中，

(^AEB=/ADC

/.BAE=/-CAD，

[AB=AC

：,￡\ABE^^ACD(AAS)；

(2)解：MABE義AACD,

^.AD=AE=6f

在RtAJCD中，AC=y/ADz4-CD1=V62+82=10,

'：AB=AC=\O,

：.BD=AB-AD=\O-6=4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和

角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

考點(diǎn)03直角三角形的性質(zhì)

1.（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：?！ǎy(cè)量某三角形部件的尺寸.如圖所示，己知乙4c4=90",

點(diǎn)。為邊4?的中點(diǎn)，點(diǎn)/、2對(duì)應(yīng)的刻度為1、7,則。。=（）

【分析】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，可以計(jì)算出。的長(zhǎng).

【解答】解：由圖可得,

N/C8=90°,力4=7-1=61cm）,點(diǎn)。為線(xiàn)段48的中點(diǎn)，

：,CD=^AB=3cm,

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

2.（2023?岳陽(yáng)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題：“今有圓材，徑二尺五寸.欲為方版，

令厚七寸，問(wèn)廣幾何？”結(jié)合如圖，其大意是：今有圓形材質(zhì)，直徑8。為25寸，要做成方形板材，使

其厚度CD達(dá)到7寸.則BC的K是（）

A.用5寸B.25寸C.24寸D.7寸

【分析】首先根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得N8CO=90°,然后再RtZ\8CO中利用勾股定理即可求出

BC的長(zhǎng).

【解答】解：依題意得：4。為。。的直徑，

???NBCO=90°,

在RtZXBCO中，8力=25寸，CQ=7寸，

由勾股定理得：BC=y/BD2-CD2=V252-72=24.

???3C的長(zhǎng)為24寸.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周珀定理，勾股定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是理解直徑所對(duì)的圓周角是直

角.

3.12023?郴州）如圖，在Rt△力8。中，N8=90°,/C=6,6C=8,點(diǎn)A/是力4的中點(diǎn)，求CM=5.

BK

CA

【分析】由勾股定理可求解48的長(zhǎng)，再利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)可求解.

【解答】解：連接CM,

在RtZ\/14C中，NACB=90°,AC=6,BC=8,

：?AB=y/AC2+BC2=10,

??,點(diǎn)”是48的中點(diǎn),

：,CM=^AB=5.

故答案為：5.

B

M

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由勾股定理，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，求解力4的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)04線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)和三角形的中位線(xiàn)

1.（2025?湖南）如圖，在中，BC=6,點(diǎn)E是力。的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A,8為圓心，以大于1力〃的

2

長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)N,直線(xiàn)MN交/出于點(diǎn)O,連接。E,則OE的長(zhǎng)是

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、與三角形中位線(xiàn)有關(guān)的求解問(wèn)題

【分析】本題主要考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，三角形中位線(xiàn)定理，由作圖方法可得時(shí)N

DE=-BC=3

垂直平分力8,則點(diǎn)D為的中點(diǎn)，據(jù)此可證明。E是V48C的中位線(xiàn)，則可得到2.

【詳解】解：由作圖方法可得MN垂貪平分44,

，點(diǎn)D為48的中點(diǎn)，

又???點(diǎn)E是4c的中點(diǎn),

JDE是N/1BC的中位線(xiàn)，

DE=—BC=—x6=3

??.22,

故答案為：3.

2.（2024?長(zhǎng)沙）如圖，在△18。中，點(diǎn)。，E分別是4C,8C的中點(diǎn)，連接。￡若DE=12,則48的長(zhǎng)

為24.

A

【分析】根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：???點(diǎn)。，E分別是4C,8。的中點(diǎn)，

????！晔恰?8。的中位線(xiàn)，

：?AB=2DE=24,

故答案為：24.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理，熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)05相似三角形

1.（2024?湖南）如圖，在△力8C中，點(diǎn)。，E分別為邊力從4C的中點(diǎn).下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）

C.BC=2DED.S"DE=』SBABC

【分析】根據(jù)題中所給條件可得出△/￡）￡?與△力8c相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

【解答】解：???點(diǎn)Q，￡分別為邊48,4C的中點(diǎn)，

???QE是△48C的中位線(xiàn)，

：.DE//BC,BC=2DE.

故力、C選項(xiàng)不符合題意.

*：DE//BC,

工△ADES4ARC.

故8選項(xiàng)不符合題意.

???△4DES&ABC,

.S△力DE_DE2_1

'△ABC=（前）=.

則S/UDE=

故。選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積及三角形中位線(xiàn)定理，熟知相似三角

形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?常德）如圖1,在中，ZABC=90a,48=8,8c=6,。是48上一點(diǎn)，且40=2,過(guò)

BD

點(diǎn)D作DE〃BC交此于E,將△的繞力點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.則圖2中方的值

為

AHAF

【分析】利用勾股定理求得線(xiàn)段/C的長(zhǎng)度,利用平行線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得到而=就,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

mB="再利用相似二角形的判定與性質(zhì)得嚕嗖=W

【解答】解：VZJ5C=90°,4B=8,BC=6,

AC=y/AB2+BC2=V82+62=1（）.

DE//BC,

△ADEs”BC,

ADAE

AB-AC

將繞力點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,

ZDAB=ZEAC,

△ADBs△月EC,

tBDAB84

**EC~AC~10~5

4

故答案為：

°

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.(2023?岳陽(yáng))如圖，在中，力5為直徑，BD為弦,點(diǎn)。為前的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線(xiàn)與/出

的延長(zhǎng)線(xiàn)交于*E.

(I)若/4=30°,AB=6,則沅的長(zhǎng)是(結(jié)果保留TT)；

CF1CE

⑵若u而一‘則it族=

【分析】(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理可得N8OC=60°,利用弧長(zhǎng)公式即可求出血的長(zhǎng);

EB1

(2)連接OC,根據(jù)垂徑定理得到OC_L8Q,再由切線(xiàn)得到EC/78Z),利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出==-

AB3

再根據(jù)勾股求出EC=2x,代入比例式即可解決問(wèn)題.

【解答】解：(1)如圖，連接。C,

VZA=30°,AB=6,

:.NBOC=60°,OB=3.

,比的長(zhǎng)=6黑;3.

loU=TT

故答案為：1T：

(2)如圖，連接OC,

???點(diǎn)C為廂的中點(diǎn)，

：.BC=DC,

：.OCLBD,

又〈EC是。。的切線(xiàn)，

：.OCVEC,

：.EC//BD,

??C_F1

?，

AF3

_1

布二3

,2C

設(shè)EB=x,則力8=3x,BO=OC=^x,EO=余,AE=4x,

：.EC=y/EO2-OC2=J(fx)2-(|x)2=2x,

?C_E_2_x_1

''AE~4x~2

故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、圓周角定理、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，勾股定理，弧長(zhǎng)的

計(jì)算，掌握?qǐng)A周角定理、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵.

4.（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△力。》為等邊三角形，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（1,0）.把△的8按如圖所

示的方式放置，并將4/fOB進(jìn)行變換：笫一次變換將△力08繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,同時(shí)邊長(zhǎng)擴(kuò)

大為△彳。4邊長(zhǎng)的2倍，得到△4081；第二次旋轉(zhuǎn)將△4。歷繞著原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,同時(shí)邊長(zhǎng)

擴(kuò)大為△/Q81邊長(zhǎng)的2倍，得到….依次類(lèi)推，得至lJ△/2023O比023，則△力2023。&023的邊長(zhǎng)

為，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為?

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問(wèn)題.

3

【解答】解：由題意0/=1=2°,041=2=21042=4=22,C>J3=8=2,…04=2”,

/.△^2023（952023的邊長(zhǎng)為22023,

V20234-6=337-l,

2022

???42023與小都在第四象限，坐標(biāo)為(22022,.2XV3).

2022

故答案為:22°23,（22022,-2XV5）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)，規(guī)律型一點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法,

屬于中考常考題型.

5.（2023?湘潭）在Rt△力5c中,Z5JC=90°,力。是斜邊上的高.

（1）證明：△/AQsaCA/h

（2）若川?=6,4c=10,求8。的長(zhǎng).

A

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出N8D4=N84C,又NB為公共角,于是得出

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出8。的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：??1。是斜邊8C上的高，

:,NBDA=90",

???N8/C=90°,

：?NBDA=NBAC,

又???/8為公共角，

:?△ABDsfBA；

（2）解：由（1）知LABDs^CBA,

?BDB_A_

??，

BABC

BD6

??二,

610

:?BD=36.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?邵陽(yáng)）如圖，CA±AD,EQ_L4Q,點(diǎn)8是線(xiàn)段力。上的一點(diǎn)，且C4_L8E.已知力8=8,AC=6,

DE=4.

（I）證明：AABCS^DEB.

（2）求線(xiàn)段〃。的長(zhǎng).

【分析】（1）利用同角的余角用等得NC=NQ8E,可證明結(jié)論;

(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】(1)證明：,：CAVAD,EDLAD,CBLBE,

AZA=ZCBE=ZD=90°,

???NC+NOM=90°,NCBA+NDBE=90",

:?/C=NDBE,

:.AABCSADEB；

(2)解：,:XABCslXDEB,

ACAB

BD~DE'

68

BD4

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，利用同弟的余角相等得月是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

7.（2023?益陽(yáng)）如圖，在RtZX/BC中，ZACB=90°,4O8C,點(diǎn)O在邊力。上，將線(xiàn)段04繞點(diǎn)。按

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到Q/T,線(xiàn)段。H交48于點(diǎn)￡,作4FUB于點(diǎn)F,與線(xiàn)段/C交于點(diǎn)G,

連接R2,GB.

（1）求證：△力。E0Z\/TDG；

（2）求證：AF*GB=AG?FC；

（3）若/C=8,tanJ=4,當(dāng).4'G平分四邊形。C8芯的面積時(shí)，求力。的長(zhǎng).

【分析】（1）WilASA證明；

（2）要證4>G8=4G?￡C,也就是證明△HCSAG/B,但“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”的條件不夠，所以想

到“夾角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”，只要證明即可.

<3）設(shè)。E=QG=x,利用S0C3=SA他什2s峭形OG莊建立方程求解.

【解答】(1)證明：???N/l+N.4G4=90°,N/f+N4G4=9D°,

???N4=N/f,

*：AD=A'D,ZADE=ZA'DG=90°,

:.△ADEg^A'DGCASA\

(2)證明：VZAFG=AACB=W,/FAG=NCAB,

:.△AFGsAACB,

AGAF

??-，

ABAC

?A_C_A__F__

ABAG

ZE4C=ZGAB,

:.△FACsAGAB,

*_AFFC

??--9

AGGB

：?AF?GB=AG?FC：

小板??+/DEBC1“_Q

(3)解：.taM=^=無(wú)=于4c—8，

:?BC=4,

,,S/\ACB-16,

設(shè)DE=DG=x,則力。=4Q=2x,AE=A'G=底,

：,A'E=A'D-DE=2x-x=x,

:'S"DE=S&A，DG=X^>

AAFEsAA'DG,

,A'ExV5

'而二后=T

:.S^AFE：S“DG=1：5,

.44)

??S四邊形OG尸E=5S/\4'OG=5X~，

???S&4C8=S~IO￡tS四邊形0c8￡，A'G平分四邊形OC6E的面枳,

：?S"CB=s&ADA2S四邊形DGFE，

:.16=X2+I%2,

、80

-r=13

4演4/65（公、

x,=—*》2=--s于（舍），

??.但喑.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等和相似，對(duì)應(yīng)（3）,設(shè)DE=DG=x,利用什么等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵.

8.（2023?湘西州）如圖，點(diǎn)。，E在以4c為直徑的0。上，N/QC的平分線(xiàn)交。。于點(diǎn)8,連接84EC,

EA,過(guò)點(diǎn)E作EH_L4C,垂足為“，交AD于點(diǎn)F.

（1）求證：AE2=AF*AD；

【分析】（1）由E〃_L4c于點(diǎn)“，4C是。。的直徑，得/力〃E=/4￡。=90°,而/HAE=NEAC,所

4HAEAHAF

以AHAEsAEAC,則下二:，于是得力/2=力〃?力c,再證明△〃〃7s△力。C,得——=—,則力〃?

AEACADAC

AC=AF*AD,所以力七2=力尸/0；

（2）連接8C,因?yàn)镹/1Q4=NCQ4,所以通=訛，則力8=BC=5,由勾股定理得4C=7AB?+BC?=5企,

而N4CO=N/3。，則一二sinN/CO=sinN/3O=等，所以,力。=T》C=2aU.

AC55

【解答】（1）證明：???E〃_L4C于點(diǎn)兒4c是。。的直徑，

：?NA〃E=NAEC=90°,

ZHAE=NEAC,

:?△HAEs^EAC,

AHAE

??—，

AEAC

：.AE1=AH*AC,

?；NHAF=NDAC,ZAHF=^ADC=90°,

:.△AHFs/\ADC,

?AH_A_F

??——9

ADAC

；?AH?AC=A『AD,

：.AE1=AF*AD.

（2）解：連接8G

V^ADC的平分線(xiàn)交OO于點(diǎn)B,

，ZADB=ZCDB,

：,AB=BC,

：.AB=BC=5,

VZABC=90Q,

：,AC=7AB2+"2=A/52+52=5V2,

NACD=/ABD,

AD2花

=sinZACD=sinZABD=-p-,

AC5

：.AD=竽竽X5V2=2Vl0,

：,AD的長(zhǎng)是2JIU.

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角

形等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

9.（2023?婁底）鮮艷的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)

準(zhǔn)五角星，為了增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)家榮譽(yù)感、民族自豪感等，數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生對(duì)五角星進(jìn)行了較深入的研

究，延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星，如圖，正五邊形力BCDE的邊

DE的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)八/以戶(hù)的平分線(xiàn)交所'于點(diǎn)

（1）求證：AE?=EF?EM；

（2）若力b=1,求力E的長(zhǎng)；

（3）求學(xué)g的值.

F

【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得/84￡=/4月。=108°,從而利用平角定義可得N"K=N4所

=72°,進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理可得//=36°,然后利用角平分線(xiàn)的定義可得NHM=NM4E=

36°,從而可得/尸=NM4E,進(jìn)而可證△尸打，最后利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解

答：

（2）設(shè)力￡=x,利用（1）的結(jié)論可得：NF=NE4M=36",從向可得外/=力"，在利用（1）的結(jié)論

可得：ZFAE=ZAEF=12°,從而可得61="E=l,然后利用三角形的外角性質(zhì)可得N4”E=/力七/

=72°,從而可得4”=力已進(jìn)而可得再利用線(xiàn)段的和差關(guān)系可得ME=1-x,

最后利用（1）的結(jié)論可得：AE?=EF?EM,從而可得f=i?（1?x）,進(jìn)行計(jì)算即可解答：

（3）連接EE,CE,根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得48=/fE=O￡=CQ=AC,ZBAE=ZAED=ZEDC=Z

ABC=ZBCD=\OSQ,從而可得△4再利用等腰三角形的性質(zhì)可得N”E=/4E8=36°,

ZDEC=ZDCE=36°,從而可得NEBC=NECB=72°,然后利用（1）的結(jié)論可得：ZFAE=ZFEA

4E1/5—1AB

=72°,從而可證利用力S4可證△必￡^Z\E8C,再利用（2）的結(jié)論可得：—=——?從而可得77=

AF2AF

宅工，進(jìn)而可得色姆;二與士最后設(shè)△48E的面積為（迷一1）上則產(chǎn)的面積為從而可得

2S^AEF2

△48E的面積=Z\/）EC的面積=（V5-1）k,△力E/7的面積=的面積=2h進(jìn)而可求出五邊形

/8CDE的面積=2遙七再進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】（1）證明：:五邊形月6CZ5E是正五邊形，

^ZBAE=ZAED=\O^°,

???NE4E=18（）°-NBAE=72°,ZJEF=1800-NAED=12°,

/.ZF=180°-NE4E-NAEF=36°,

??】M平分

:,NFAM=NMAE=』NFAE=36。,

???ZF=ZMAE,

???/AEM=/AEF,

:AAEMsAFEA,

AEEM

??=_9

EFEA

:?AE2=EF*EM；

（2）解：設(shè)/E=x,

由（1〉可得：NF=NE4M=36°,

:,FM=AM,

由（1）可得：ZFAE=ZAEF=72°,

：,FA=FE=\,

?:/AME=/F+NFAM=72：

:./AME=/AEF=72”,

?*?AM=AEt

：,AM=AE=FM=x>

：.ME=EF-FM=\-x,

由（1）可得：AE2=EF*EM,

.*.x2=1?（1-x）,

解得：.v="21或x=''5（舍去），

.._店—1

??Ahc=—29

Vs_1

的長(zhǎng)為、一；

（3）連接〃E,CE,

H

???五邊形ABCDE是正五邊形,

：.AB=AE=DE=CD=BC,ZBAE=ZAED=ZEDC=ZABC=