專題21.6投球問題——二次函數(shù)的應(yīng)用典例分析典例分析【典例1】擲實心球是某市中考體育考試的選考項目，小強(qiáng)為了解自己實心球的訓(xùn)練情況，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來研究實心球的運(yùn)動情況，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在一次投擲中，實心球從y軸上的點A0,2處出手，運(yùn)動路徑可看作拋物線的一部分，實心球在最高點B的坐標(biāo)為4,3.6，落在x軸上的點C（1）求拋物線的解析式；（2）某市男子實心球的得分標(biāo)準(zhǔn)如表：得分10095908580767066605040302010擲遠(yuǎn)（米）12.411.29.69.18.47.87.06.55.35.04.64.2請你求出小強(qiáng)在這次訓(xùn)練中的成績，并根據(jù)得分標(biāo)準(zhǔn)給小強(qiáng)打分；（3）若拋物線經(jīng)過Mm,y1，Nm+2,y2兩點，拋物線在M，N之間的部分為圖象H（包括M，【思路點撥】（1）易得拋物線的頂點坐標(biāo)為B4,3.6，用頂點式表示出拋物線的解析式，進(jìn)而把A（2）取函數(shù)值為0，看球落地時x的值為多少，根據(jù)點C的位置，x取正值即為球拋出去的距離，根據(jù)所給表格可判斷應(yīng)得分?jǐn)?shù)；（3）根據(jù)題意得出y1=-0.1m2+0.8【解題過程】（1）解：由題意可得，拋物線的頂點B的坐標(biāo)為4,3.6，設(shè)該拋物線的解析式為y=∵拋物線經(jīng)過點A0,2∴a∴a∴該拋物線的解析式為：y=-0.1（2）解：當(dāng)y=0時，-解得：x1=10，∵點C在x軸的正半軸，∴x∴x1=10∵9.6<10<11.2，∴小強(qiáng)的得分是90分；（3）解：∵拋物線經(jīng)過兩點Mm,y∴yy2由題意可知，圖象H上任意一點的縱坐標(biāo)的最大值與最小值的差為15∴有以下四種情況：①如圖，當(dāng)0≤m<2時，y的值隨依題意，y2即：-0.1解得：m=2.5這與0≤m②如圖，當(dāng)2≤m<3時，即：3.6--解得：m=4+2或∵m=4+2∴m③如圖，當(dāng)3≤m<4時，即：3.6--解得：m=2+2或∵m=2-2∴m④如圖，當(dāng)m≥4時，y的值隨x依題意，y1即：-0.1解得：m=3.5這與m≥4綜上所述：m=4-2或?qū)W霸必刷學(xué)霸必刷1．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用拋物線y=4x-12A．小球落地點與點O的水平距離為7B．當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時，小球與點O的水平距離為C．小球與點O的水平距離超過4mD．小球與斜坡的距離的最大值為49【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，令4x-12x2=12x，解得x1=0，x2=7，即可判斷A；把y=7.5代入y=4x-12x2得【解題過程】解：令4x-12x∴小球落地點與點O的水平距離為7m，故A把y=7.5代入y=4x解得：x1=3，∴當(dāng)小球拋出高度達(dá)到7.5m時，小球與點O的水平距離為3m或5m∵y=4∴拋物線的對稱軸為直線x=4∵-1∴當(dāng)x>4時，y隨x∴小球與點O的水平距離超過4m時呈下降趨勢，故C設(shè)拋物線上一點A的坐標(biāo)為a,4作AB⊥x軸交直線y=12，∴AB=4∵-1∴當(dāng)a=72時，AB∴小球與斜坡的距離的最大值為498m，故故選：B．2．（2024·遼寧鞍山·二模）如圖，小明站在原點處，從離地面高度為1m的點A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點C處，彈力球著地前后的運(yùn)動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=ax-22+2，彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，如果在地上擺放一個底面半徑為0.5m，高為0.5A．7 B．9 C．10 D．8【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，建立直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)點A的坐標(biāo)求出第一次著地前的拋物線解析式，可得到點B的坐標(biāo)，再根據(jù)B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，彈力球著地前后的運(yùn)動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，可得到第二次著地前拋物線的解析式，再根據(jù)圓柱形的高為0.5m，可求出當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最左端、最右端時，n的值，進(jìn)而得到n【解題過程】解：由題可知：彈力球第一次著地前拋物線的解析式為y=ax-2∴a=-∴解析式為：y=-當(dāng)x=2時，y的最大值為2令y=0，則-解得：x1∴B2+2∵B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，∴其最大高度為：2×1∵彈力球著地前后的運(yùn)動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，設(shè)處著地后彈起的拋物線解析式為：y=-將點B2+22，解得：h=2∴該拋物線的解析式為：y=-∴對稱軸為：x=2∵點B的坐標(biāo)為2+22，0，則點C∵圓柱形的高為0.5m當(dāng)y=0.5時，則-解得：x=4+32或∴當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最左端時，n=4+3∵筐的底面半徑為0.5m，直徑為1∴當(dāng)彈力球恰好砸中筐的最右端時，n=4+3∴3+32∴選項B，n=8故選：D．3．（23-24九年級上·河北邢臺·期中）如圖，嘉嘉用計算機(jī)編程模擬拋出的彈跳球落在斜面上反彈后的距離，當(dāng)彈跳球以某種特定的角度從點P0,1處拋出后，彈跳球的運(yùn)動軌跡是拋物線L，其最高點的坐標(biāo)為4,5．彈跳球落到斜面上的點A處反彈后，彈跳球的運(yùn)動軌跡是拋物線L'，且開口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的（1）拋物線L的解析式為；（2）若點A與點P的高度相同，且點A在拋物線L'的對稱軸的右側(cè)，則拋物線L'的對稱軸為直線【思路點撥】（1）設(shè)拋物線L的解析式為y=ax-h12（2）設(shè)拋物線L'的解析式為y=mx-h22+k2，由對稱性可得點A8,1，由拋物線L'，且開口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L【解題過程】解：設(shè)拋物線L的解析式為y=ax由題意得，該拋物線的頂點坐標(biāo)是4,5，∴y=∵該拋物線經(jīng)過點P0,1∴1=解之，得a=-1y故答案為：y=-（2）設(shè)拋物線L'的解析式為若點A與點P的高度相同，則點A與點P關(guān)于直線x=4∴點A8,1∵拋物線L的解析式為y=-∴最高點的高度為5，∵拋物線L'，且開口大小和方向均與L相同，但最大高度只是拋物線L最大高度的2則m=-14∴y=-將點A8,1代入可得1=-解得：h2=10或∵h(yuǎn)2∴h即拋物線L'的對稱軸為直線x故答案為：x=64．（23-24九年級上·浙江湖州·期末）如圖，乒乓球桌桌面是長AB=2.7m，寬AD=1.5m的矩形，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點，在E，F(xiàn)處設(shè)置高HE=0.15m的攔網(wǎng)．一次運(yùn)動員在AD端發(fā)球，在P點擊打乒乓球后經(jīng)過桌面O點反彈后的運(yùn)行路徑近似二次項系數(shù)a=-427的拋物線的一部分．已知本次發(fā)球反彈點O在到桌面底邊AD的距離為0.1m，到桌面?zhèn)冗匒B的距離為0.1m處．若乒乓球沿著正前方飛行（垂直于BC），此時球在越過攔網(wǎng)時正好比攔網(wǎng)上端GH高0.1m，則乒乓球落在對面的落點Q到攔網(wǎng)EF的距離為m；若乒乓球運(yùn)行軌跡不變，飛行方向從O點反彈后飛向?qū)Ψ阶烂妫潼cQ在距離【思路點撥】①如圖，以點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得I1.25,0.25，利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求出點Q②由題意可得Q2.4,0，由yO=yQ=0得到點O和點Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即Q點距AB也是0.1m本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正確建立平面直角坐標(biāo)系，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【解題過程】解：①如圖，以點O為原點建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得，AE=∴xI=1.35-0.1=1.25，設(shè)拋物線的解析式為y=-427x20=0+0+c解得b=∴拋物線的解析式為y=-把yQ=0代入得，解得x1=0（不合，舍去），∴xQ∴落點Q到攔網(wǎng)EF的距離為135故答案為：1.35；②由題意可得，xQ∴Q2.4,0∵yO∴點O和點Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴Q點距AB也是0.1m設(shè)x軸交BC于點J，連接CQ，∵BC∥x軸，四邊形∴QJ=0.2m，∴CJ=∴CQ=故答案為：2．5．（2024·貴州貴陽·一模）小明和小亮參加了一次籃球比賽，籃球傳出后的運(yùn)動路線為如圖所示的拋物線，以小明站立的位置為原點O建立平面直角坐標(biāo)系，籃球在O點正上方1.8m的點P處出手，籃球的高度ym與水平距離xm（1）求c的值；（2）求籃球在運(yùn)動過程中離地面的最大高度；（3）小明傳球給小亮，小亮手舉過頭頂在對方球員后方接球，已知小亮跳起后，手離地面的最大高度為BC=2.8【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用．（1）將點P的坐標(biāo)代入y=-18（2）先得出該拋物線的解析式，再將其化為頂點式，即可解答；（3）求出y=2.8時x的值，結(jié)合“在下落過程中接住球”【解題過程】（1）解：由題意得點P的坐標(biāo)為0,1.8，將P0,1.8代入y=-1（2）解：由（1）知c=1.8∴y∵a=-∴當(dāng)x=4時，y有最大值3.8∴籃球在運(yùn)動過程中離地面的最大高度為3.8m（3）解：當(dāng)y=2.8時，2.8=-解得：x1∵4-22∴x=4+2∴在球下落過程中小亮離小明的距離至少4+226．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）海豚是生活在海洋里的一種動物，它行動敏捷，彈跳能力強(qiáng)．海豚表演是武漢海昌極地海洋公園最吸引人的節(jié)目之一．在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時，海豚身體（看成一點）在空中的運(yùn)行路線可以近似看成拋物線的一部分．如圖，在某次訓(xùn)練中以海豚起跳點O為原點，以O(shè)與海豚落水點所在的直線為x軸，垂直于水面的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．海豚離水面的高度y（單位：m）與距離起跳點O的水平距離x（單位：m）之間具有函數(shù)關(guān)系y=ax2+2x，海豚在跳起過程中碰到（不改變海豚的運(yùn)動路徑）飼養(yǎng)員放在空中的離（1）求海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是多少m?（2）求當(dāng)海豚離水面的高度是163m時，距起跳點O（3）在海豚起跳點與落水點之間漂浮著一個截面長CD=6m，高DE=4m的泡沫箱，若海豚能夠順利跳過泡沫箱（不碰到），求點【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的實際問題，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式然后配方得到最大值即可；（2）令y=（3）令y=4，解出x【解題過程】（1）由拋物線y=ax得4.5=9a∴=-=-∴海豚此次訓(xùn)練中離水面的最大高度是6m．（2）依題意得：y解得x答：海豚距起跳點O的水平距離是8m或4m．（3）若海豚恰好接觸到紙箱邊緣，則點F或點E在拋物線上，令y=4，則-解得x1當(dāng)點F在拋物線上時，D點的橫坐標(biāo)n為12-23當(dāng)點E在拋物線上時，D點的橫坐標(biāo)n為6+23∴n的取值范圍是12-27．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）為適應(yīng)2024年武漢市體育中考改革，學(xué)校購入一臺羽毛球發(fā)球機(jī)，羽毛球飛行路線可以看作是拋物線的一部分，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，發(fā)球機(jī)放置在球場中央離球網(wǎng)水平距離3m的點O處，球從點O正上方1.15m的A處發(fā)出，其運(yùn)行的高度ym與運(yùn)行的水平距離xm滿足關(guān)系式y(tǒng)=a(（1）若h=2.75①求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；②如果小明的身高為1.65m（2）如果小明的身高為1.75m，并且能在原地有效擊球，直接寫出a【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）①利用待定系數(shù)法求解即可；②令x=6（2）由題意得：有效擊球點的縱坐標(biāo)的取值范圍為：2.35≤y≤2.55，將點(6,2.35)、(6,2.55)分別代入解析式求出熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實際問題是關(guān)鍵．【解題過程】（1）解：①當(dāng)h=2.75時，y∵它過(0,1.15)，∴1.15=a∴a∴y②他能在原地有效擊球；理由如下：由（1）可知，y=-令x=6得y解得：y∵2.35-1.65=0.7m∴0.6∴能在原地有效擊球；（2）由題意得：有效擊球點的縱坐標(biāo)的取值范圍為：2.35≤y當(dāng)拋物線y=a(x-1.15=a0-42當(dāng)拋物線y=a(x-1.15=a0-42∴-7∴a的取值范圍：-8．（23-24九年級上·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，從原點O向右上方沿拋物線L發(fā)出一個小球P，當(dāng)小球P達(dá)到最大高度3時，小球P移動的水平距離為2．（1）求拋物線L的函數(shù)解析式；（2）求小球P在x軸上的落點坐標(biāo)；（3）在x軸上的線段AB處，豎直向上擺放著若干個無蓋兒的長方體小球回收箱，已知OA=3，且每個回收箱的寬、高分別是0.5、0.3，當(dāng)小球P【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用．（1）由題意知，拋物線L的頂點坐標(biāo)為2,3，再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）對于y=-34（3）由題意先求出，當(dāng)x=3和x=3.5時，求得對應(yīng)y的值，再設(shè)豎直擺放的回收箱有m個，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式組，求出【解題過程】（1）解：∵從原點O向右上方沿拋物線L發(fā)出一個小球P，當(dāng)小球P達(dá)到最大高度3時，小球P移動的水平距離為2，∴頂點坐標(biāo)為2,3，∴設(shè)拋物線L對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=把0,0代入得0=a解得a=-∴拋物線L對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-（2）解：對于y=-令y=0，則0=-解得x1=0，∴小球P在x軸上的落點坐標(biāo)為4,0；（3）解：∵OA=3，AB∴OB=3.5，對于y當(dāng)x=3時，y當(dāng)x=3.5時，y設(shè)豎直擺放的回收箱有m個，則1116解得5524∵m是正整數(shù)，∴m可以是3或4或5或6或7，答：豎直擺放的回收箱的個數(shù)為3個或4個或5個或6個或7個．9．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19屆亞運(yùn)會女子排球比賽落幕．中國女排在決賽中以3:0擊敗日本隊，成功衛(wèi)冕，斬獲隊史亞運(yùn)第9冠．愛思考的小芳在觀看比賽時發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：排球被墊起后，沿弧線運(yùn)動，運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分，于是她和同學(xué)小華一起進(jìn)行了實踐探究．經(jīng)實地測量可知，排球場地長為18m，球網(wǎng)在場地中央且高度為2.24m．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A為擊球點．記排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度為y（單位：m），距擊球點的水平距離為x（單位：小華第一次發(fā)球時，測得y與x的幾組數(shù)據(jù)如下表：水平距離x04681112豎直高度y2.002.712.802.712.242.00（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，求排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離x近似滿足的函數(shù)關(guān)系式．（2）通過計算，判斷小華這次發(fā)球能否過網(wǎng)，并說明理由．（3）小華第二次發(fā)球時，假設(shè)她只改變擊球點高度，排球運(yùn)動軌跡的拋物線形狀不變，在點O處上方擊球，既要過球網(wǎng)，又不出邊界（排球壓線屬于沒出界）時，問小華的擊球點高度h（單位：m）的取值范圍是多少？【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=a(（2）將x=9代入拋物線解析式，求得y值與2.24（3）設(shè)只改變擊球點高度后拋物線的表達(dá)式為y=-【解題過程】（1）解：由表格，可知拋物線頂點坐標(biāo)為(6,2.8)；設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=將(0,2)代入，得2=a(0-6)解得a=-經(jīng)檢驗，表格中其他數(shù)據(jù)(x∴排球運(yùn)動過程中距地面的豎直高度y與距擊球點的水平距離滿足的函數(shù)表達(dá)式為：y=-（2）能，理由如下：當(dāng)x=9時，y∵2.6>2.24，∴小華這次發(fā)球能過網(wǎng)；（3）設(shè)只改變擊球點高度后拋物線的表達(dá)式為：y=-把x=9，y=2.24代入解得k=2.44∴y把x=0代入y解得y=1.64把x=18，y=0代入解得k=3.2∴y把x=0代入y解得y=2.4∴小華的擊球點高度h的取值范圍是1.64<h≤10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）乒乓球是我國國球，球臺長為2.8m，中間處球網(wǎng)的高度為1.5dm．現(xiàn)有一臺乒乓球發(fā)球器，球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，從第一次接觸臺面到第二次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條拋物線，乒乓球第一次接觸臺面在球網(wǎng)左側(cè)，越過球網(wǎng)（擦網(wǎng)不影響球運(yùn)動軌跡）后，第二次接觸臺面在球網(wǎng)右側(cè)為成功發(fā)球．乒乓球大小忽略不計．如圖，當(dāng)發(fā)球器放在球臺左端時，通過測量得到球距離臺面高度y（單位：dm）與球距離發(fā)球器出口的水平距離x（單位：dm）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示：x02468101214…y3.362.521.680.8401.402.403…（1）直接寫出球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面時y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（寫出自變量的取值范圍）（2）求乒乓球第二次接觸臺面時與發(fā)球器出口的水平距離；（3）發(fā)球器有一個滑軌，可以讓發(fā)球口向右平移，若要成功發(fā)球，發(fā)球口最多向右平移多少dm？【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用．理解發(fā)球口最多平移的距離是球臺的一半長減去剛好擦網(wǎng)時得到的距離發(fā)球器出口的水平距離是解決本題的難點．（1）易得球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面時y關(guān)于x的函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b(k≠0)，把表格中的前兩組數(shù)據(jù)代入可得k（2）觀察表格中的數(shù)據(jù)和所給函數(shù)圖象可得當(dāng)x>8時，函數(shù)圖象為二次函數(shù)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為一般式，把表格中的從8開始的三組數(shù)據(jù)代入可得二次函數(shù)的解析式；取y=0，求得相應(yīng)的（3）取y=1.5，代入拋物線解析式，求得對應(yīng)的x的值；易得球臺長28dm，那么球臺的一半長14dm【解題過程】（1）解：∵球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面的運(yùn)動軌跡近似為一條直線，∴設(shè)y=∵經(jīng)過點(0,3.36)，(2,2.52)．∴k=-0.42∴球從發(fā)球器出口到第一次接觸臺面時y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=-0.42（2）解：當(dāng)x>8時，設(shè)拋物線的解析式為：y∴64a解得：a=-0.05∴y當(dāng)y=0時，0=-0.05整理得：x2(x解得：x1=24，答：乒乓球第二次接觸臺面時與發(fā)球器出口的水平距離為24dm；（3）解：∵2.8m∴球臺的一半長14dm當(dāng)y=1.51.5=-0.05x整理得：x2解得：x1=16+34∴14-16-∵28-24=4，34-∴發(fā)球口最多向右平移34-11．（23-24九年級上·河北唐山·階段練習(xí)）在嘉嘉的一次投籃中，球出手時離地面高2米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達(dá)最大高度4米．籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米．（1）經(jīng)計算此球________（填寫“能”或“不能”）投中．（2）若出手的角度、力度和高度都不變的情況下，求嘉嘉朝著籃球架再向前平移多少米后跳起投籃才能將籃球投入籃圈中？（3）若出手的角度、力度和高度都發(fā)生改變的情況下，但是拋物線的頂點等其他條件不變，求嘉嘉出手的高度需要增加多少米才能將籃球投入籃圈中？（4）若出手的角度、力度都改變，出手高度不變，籃圈的坐標(biāo)為6,3.44，球場上方有一組高6米的電線，要想在籃球不觸碰電線的情況下，將籃球投入籃圈中，直接寫出二次函數(shù)解析式中a的取值范圍．【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；（1）待定系數(shù)法求得解析式，當(dāng)x=7（2）設(shè)y=-18（3）設(shè)y=a(x（4）分別求得臨界點時的解析式，即可求解；設(shè)y=a(x-b)2+6，代入點(0,2)【解題過程】（1）解：因為拋物線的頂點為(4,4)，設(shè)拋物線的解析式為y=∵過點(0,2)，∴2=16a∴a=-18當(dāng)x=7時，y故答案為：不能．（2）解：設(shè)向前平移h米，由題意可得y=-18得3=-18(7-4-根據(jù)實際情況3-22，即向前平移3-2（3）解：設(shè)y=因為投中籃筐，即代入x=7，y=3得解得a=-19當(dāng)x=0時，y=209，（4）解：設(shè)y=a(x-b)解得a=-設(shè)y=∵過點(0,2)代入得2=36a得a=-12512．（2024·貴州貴陽·一模）如圖是身高為1.75m的小明在距籃筐4m處跳起投籃的路線示意圖，籃球運(yùn)行軌跡可近似看作拋物線的一部分，球在小明頭頂上方0.25m的A處出手，在距離籃筐水平距離為1.5m處達(dá)到最大高度3.5m（1）求籃球運(yùn)行軌跡所在拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)小明按照如圖方式投籃出手時，小剛在小明與籃筐之間跳起防守，已知小剛最高能摸到2.7m（3）當(dāng)小明不起跳直接投籃時，籃球運(yùn)動的拋物線形狀與跳起投籃時相同．若他想投中籃筐，則應(yīng)該向前走多遠(yuǎn)？(投籃時，球從下方穿過籃筐無效)【思路點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-m)（2）令y=2.7，求得x1=4.5（3）依據(jù)題意，設(shè)球出手時，小明跳離地面的高度為hm，則球出手時，球的高度為h+1.75+0.25=(h+2)m，代入拋物線，從而可得h，故球出手時，小明跳離地面的高度是0.25m，再結(jié)合當(dāng)小明不起跳直接投籃時，籃球運(yùn)動的拋物線形狀與跳起投籃時相同，可得小明不起跳直接投籃時，籃球運(yùn)動的拋物線為y+0.25=-0.2【解題過程】（1）解：由題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=∵m∴拋物線為y=由于拋物線過(4,3.05)，∴a∴a∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-（2）解：令y=2.7，則2.7=-0.2解得x1=4.5，∵此時小明與籃筐的距離為4m∴x=0.5∴小明投籃出手時，小剛與小明的距離在0.5m（3）解：設(shè)球出手時，小明跳離地面的高度為hm，則球出手時，球的高度為h∵拋物線y=-0.2(x-∴h+2=-0.2∴h=0.25∴球出手時，小明跳離地面的高度是0.25m∵當(dāng)小明不起跳直接投籃時，籃球運(yùn)動的拋物線形狀與跳起投籃時相同，∴小明不起跳直接投籃時，籃球運(yùn)動的拋物線為y+0.25=-0.2∴y當(dāng)y=3.05時，-解得x1=1.5，∴小明與籃筐的距離為3.5m或1.5∴他應(yīng)該向前走4-3.5=0.5m或4-1.5=2.5∴若小明想投中籃筐，則應(yīng)該向前走0.5m13．（2024·浙江·模擬預(yù)測）籃球是一項廣受喜愛的運(yùn)動．學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，小江同學(xué)打籃球時發(fā)現(xiàn)，籃球投出時在空中的運(yùn)動可近似看作一條拋物線，于是建立模型，展開如下研究：如圖，籃框距離地面3m，某同學(xué)身高2m，站在距離籃球架L=4m處，從靠近頭部的（1）求拋物線C的表達(dá)式；（2）研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)球擊在籃框上方0.2m及以內(nèi)范圍的籃板上時，球會打板進(jìn)框．若該同學(xué)正對籃框，改用跳投的方式，出手點O位置升高了0.5m，要能保證進(jìn)球，求【思路點撥】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，解答本題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型．（1）以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為4,1，則設(shè)其表達(dá)式為y=（2）由（1）可設(shè)拋物線C'的表達(dá)式為y'=-116x-h2+k，結(jié)合題意可知拋物線C'的拋球點位t,0.5，k=1+1.5=1.5，t計算出y'=1，y'=1.2時，【解題過程】（1）解：以點O為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為4,1，則設(shè)其表達(dá)式為y=將O0,0代入，可得：16∴a=-∴拋物線C的表達(dá)式為y=-（2）解：由（1）可設(shè)拋物線C'的表達(dá)式為y∵改用跳投的方式，出手點O位置升高了0.5m則拋物線C'的最高點拋物線C的基礎(chǔ)上升高0.5∴拋物線C'的拋球點位t,0.5，k=1+1.5=1.5，將其代入y'=-1解得：t-h由球的運(yùn)動可知，最高點在拋出點的右側(cè)，則h>∴t-h=-4，則∴y∵當(dāng)球擊在籃框上方0.2m∴當(dāng)x=4時，4-3≤y'若y'=1，則-1此時距離藍(lán)框的距離L=4-t=4-2若y'=1.2，則-1此時距離藍(lán)框的距離L=4-t=4-即：4-22≤亦即：1.2≤L≤1.8或14．（2024·貴州黔西·一模）如圖，一小球M從斜坡OA上的O點處拋出，球的拋出路線是拋物線的一部分，斜坡可以用一次函數(shù)y=12（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；（3）將小球的運(yùn)動路線所在拋物線平移得到拋物線y=a(x-h)2+k【思路點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到兩函數(shù)圖象交點的求解方法，二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的求解方法，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(（2）依據(jù)題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）依據(jù)題意，由平移后的拋物線與直線OA僅有一個交點，從而平移后拋物線與直線OA相切，進(jìn)而設(shè)將OA向上平移m個單位與二次函數(shù)y=-12(x-4)2+8相切，進(jìn)而可得m=498，此時切點為72,638，反過來，將拋物線y=-12(x-4)2+8向下平移49【解題過程】（1）解：由題意，∵小球到達(dá)的最高的點坐標(biāo)為(4,8)，∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=把(0,0)代入得，0=a解得：a=-∴拋物線的表達(dá)式為y=-（2）由題意，小球M在飛行的過程中離斜坡OA的高度h=-∴小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度為498（3）由題意，∵平移后的拋物線與直線OA僅有一個交點，∴平移后拋物線與直線OA相切．設(shè)將OA向上平移m個單位與二次函數(shù)y=-∴y=12x+∴m=49∴反過來，將拋物線y=-12(x即y=-12(x又y=∴x=0y=0∴A∵切點在OA之間移動，即切點72,74由∴切點變化到O時，橫坐標(biāo)減去72，縱坐標(biāo)減去74；切點變化到A時，橫坐標(biāo)加上72∴頂點(4,15∴根據(jù)以上點的平移規(guī)律得，頂點(4,158)應(yīng)該是由4-72,15∴12故答案為：1215．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）如圖，排球運(yùn)動場的長為18m，球網(wǎng)在場地中央，高度為2.24m，排球在空中的運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分．小樂在場地左側(cè)邊界處（距球網(wǎng)7m）練習(xí)發(fā)球，某次發(fā)球，擊球點的高度為2m，當(dāng)排球飛行的水平距離為5m時達(dá)到最大高度2.5m（1）求此拋物線的解析式（不寫自變量的取值范圍）．（2）通過計算判斷此球是否能夠過網(wǎng)．若能過網(wǎng)，請進(jìn)一步判斷是否會出界．（3）小樂繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，要使球既能過網(wǎng)又不出界，請直接寫出發(fā)球點距離球網(wǎng)的距離d的取值范圍．（結(jié)果保留根號）【思路點撥】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)排球飛行的水平距離為5m時達(dá)到最大高度2.5m，求出拋物線的頂點坐標(biāo)為（2）計算當(dāng)x=0時，y的值，與2.24比較；再根據(jù)右邊界的坐標(biāo)為(9,0)，令y=0，求出x值與（3）小樂繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，設(shè)擊出的排球軌跡為y=-【解題過程】（1）解：∵當(dāng)排球飛行的水平距離為5m時達(dá)到最大高度2.5m，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為(-2,2.5)，設(shè)拋物線的解析式為y=∵點(-7,2)在拋物線上，∴2=a(-7+2)2∴y=-（2）解：當(dāng)x=0時，y∴此球能夠過網(wǎng)；根據(jù)題意得右邊界的坐標(biāo)為(9,0)∴當(dāng)y=0時，-解得x1=55∵55∴不會落在界內(nèi)，會出界．（3）解：小樂繼續(xù)按同樣的高度、角度和力度發(fā)球，∴設(shè)擊出的排球軌跡為y=-當(dāng)該軌跡經(jīng)過球網(wǎng)的頂端坐標(biāo)(0,2.24)時，-150h2+∴y=-此時當(dāng)y=2時，解得：x=5-13∴d=5+當(dāng)該軌跡經(jīng)過右邊界的坐標(biāo)(9,0)時，-1解得h=-9+5∴y=-此時當(dāng)y=2時，x=4-55∴d=5經(jīng)過分析，若排球既能過網(wǎng)（不觸網(wǎng)），又不出界（不接觸邊界），5516．（2024·河南濮陽·二模）濮陽雜技是一項非常古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．起源于春秋，興盛于明清，發(fā)展于現(xiàn)代，以功力深厚、技藝精湛著稱于世．如圖（1），“空中飛人”是雜技表演的壓軸節(jié)目，表演驚險刺激，極具觀賞性，深受觀眾好評．如圖（2），演員從浪橋的旋轉(zhuǎn)木梯點F處拋出（將身體看成一點，身體擺動忽略不計）飛到吊下的平臺AB上，其飛行路線可看作是拋物線的一部分．下面有一張平行于地面的保護(hù)網(wǎng)MN，以保護(hù)表演的演員安全．建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，已知：點A的坐標(biāo)為0,8，OC=11.5m，CE=2m，EF=（1）當(dāng)拋物線過點B，且與y軸交于點H0,6（2）在（1）的條件下，若點N的坐標(biāo)為8,72，為使演員在演出時不受傷害，求保護(hù)網(wǎng)MN（3）設(shè)該拋物線的關(guān)系式為y=ax2-8ax【思路點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點，（1）過點F作FK⊥x軸，過點E作EJ⊥FK，先求出（2）由MN平行于x軸，點N的坐標(biāo)為8，72，得出點M（3）由發(fā)射點F不變，得出拋物線一定經(jīng)過F10,3.5，然后分再經(jīng)過A0,8，【解題過程】（1）過點F作FK⊥x軸，過點E作∵∠FEC∴∠∴△FEJ∴FJ=∵EF=∴FJ∴FJ=∴OC=11.5m，∴OK=11.5-1.5=10，F(xiàn)K∴點F的坐標(biāo)為10，∵AB=1m，點A的坐標(biāo)為∴點B的坐標(biāo)為1，∵拋物線y軸交于點H0∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=將點B1，8和點Fa解得：a=-∴拋物線的表達(dá)式為y=-（2）∵M(jìn)N平行于x軸，點N的坐標(biāo)為8，∴點M縱坐標(biāo)為72當(dāng)y=72解得：x1=10（舍去），∴MN=8--1=9，即保護(hù)網(wǎng)MN（線段（3）由（1）知：A0,8，B1,8，∵發(fā)射點F不變，∴拋物線一定經(jīng)過F10,3.5∴當(dāng)拋物線經(jīng)過A0,8，F(xiàn)代入y=ax∴a=-當(dāng)拋物線經(jīng)過B1,8，F(xiàn)代入y=ax∴a=-∵拋物線必經(jīng)過平臺AB，∴-917．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）將小球（看作一點）以速度v1ms豎直上拋，上升速度隨時間推移逐漸減少直至0，此時小球達(dá)到最大高度，小球相對于拋出點的高度ym與時間ts的函數(shù)解析式為y（1）求小球上升的高度y與時間t的函數(shù)關(guān)系式（不必寫范圍），并寫出小球上升的最大高度；（2）向上拋出小球時再讓小球在水平方向上勻速運(yùn)動，且速度為v2ms，發(fā)現(xiàn)小球運(yùn)動的路線為一拋物線，其相對于拋出點的高度ym與時間ts的函數(shù)關(guān)系式與（1①若v2=4m/s，當(dāng)t②在①的條件下求小球上升的高度y與小球距拋出點的水平距離x之間的函數(shù)關(guān)系式；③在小球的正前方的墻上有一高1m的小窗戶PQ，其上沿P的坐標(biāo)為4,3，若小球恰好能從窗戶中穿過（不包括恰好擊中點P,Q【思路點撥】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，讀懂題意，理解小球的水平距離和豎直距離是解題關(guān)鍵．（1）將v1=8m/s，代入解析式，再根據(jù)當(dāng)t=1時，小球達(dá)到最大高度，得到對稱軸為直線（2）①把t=12代入（1）中解析式，求出小球的縱坐標(biāo)，用v②根據(jù)水平距離等于4t，即：x=4t，得到t=x4代入（③分別求出小球擊中點P和點Q的時間，進(jìn)而求出對應(yīng)的v2的值，即可得出v【解題過程】（1）解：將v1=8m/s∵當(dāng)t=1∴-8∴a=-4∴y=-4∴當(dāng)t=1時，y∴小球能夠上升的最大高度為4米；（2）①∵y=-4∴當(dāng)t=12∴小球的縱坐標(biāo)為3，∵小球的運(yùn)動的水平距離為：v2?∴小球的橫坐標(biāo)