專題21.10特殊三角形——二次函數(shù)的綜合典例分析典例分析【典例1】如圖，直線y=x-3與x軸、y軸分別交于點B、點C，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y=-x2（1）求3m（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使以C，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【思路點撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．（1）求出B、C的坐標，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式，即可求解；（2）分CP=PQ、CP=【解題過程】（1）直線y=x-3，令y=0，則x故點B、C的坐標分別為(3,0)、(0,-3)，將點B、C的坐標分別代入拋物線表達式得：n=-3解得：m=4則拋物線的表達式為：y=則點A坐標為(1,0)，頂點P的坐標為(2,1)，∴3m（2）設(shè)Q2,①當CP=則C點縱坐標與PQ中點的縱坐標相同，∵P∴1+t解得：t=-7故此時Q點坐標為(2,-7)；②當CP=∵P∴PQ=故此時點Q的坐標為(2,1-25)或③當CQ=∴Q∴2解得：t=-故此時點Q的坐標為(2,-3綜上所述，點Q的坐標為(2,1-25)或(2,1+25)或?qū)W霸必刷學霸必刷1．（24-25九年級上·全國·單元測試）如圖，拋物線y=-12x2+2x+c與x（1）求拋物線的解析式；（2）P是拋物線上x軸上方的一個動點，當△PAB的面積為272時，求點（3）在y軸上是否存在點D，使△BCD為等腰三角形？若存在，直接寫出點D2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，經(jīng)過點(9,13)的拋物線C1:y=ax2+bx+1（a、b為常數(shù)，且a≠0（1）求拋物線C1的函數(shù)表達式和點D（2）將拋物線C1向左平移m(m>0)個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點為E，連接CE、3．（24-25九年級上·陜西渭南·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2-4x+ca≠0與x軸分別交于點A1,0、點B3,0，與y（1）求直線BC的解析式；（2）如果以P為頂點的新拋物線經(jīng)過原點，且與x軸的另一個交點為D，若△PAB是以PA4．（24-25九年級上·江蘇蘇州·階段練習）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=-1（1）若直線y=mx+n經(jīng)過B，（2）在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M，使MA+MC（3）設(shè)P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點5．（2023九年級·遼寧鐵嶺·學業(yè)考試）如圖，一次函數(shù)y=-12x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，二次函數(shù)y=12x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=-（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P6．（23-24九年級上·廣東東莞·期中）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A-1,0，B（1）求拋物線的解析式；（2）點D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點（與點C，B不重合），連接CD、BD，求△BDC（3）若M為拋物線對稱軸上一動點，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點M7．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習）如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A-2,0、B4,0（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2所示，當點P在直線BC上方運動時，連接AC，求四邊形ABPC面積的最大值，并寫出此時P點坐標；（3）若點M是x軸上的一個動點，點P的橫坐標為3．試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B、M、P為頂點的三角形是直角三角形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．8．（23-24九年級下·山東聊城·期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+c過x軸上點A-（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）求四邊形OCPB面積的最大值；（3）當點P的橫坐標m滿足2<m<5時，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接9．（2024·山西長治·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2-2x+c與x軸交于點A-3,0和點C，與y軸交于點B（1）求拋物線的解析式；（2）動點P在拋物線上，且在直線AB上方，求△ABP面積的最大值及此時點P（3）在（2）的條件下，將該拋物線向右平移2.5個單位，點F為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點E，Q為平移后的拋物線的對稱軸上任意一點，若△QFE是以QE為腰的等腰三角形，求出所有符合條件的點Q10．（23-24九年級上·云南昆明·期末）如圖、已知直線y=43x+4與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx（1）求拋物線的表達式；（2）拋物線對稱軸上的點P，使得以點B，C，P為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的點P稱為“圣和點”、此題中，是否存在“圣和點”、若存在，請求出“圣和點”P的坐標：若不存在，請說明理由．11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）如圖，已知拋物線y=ax2-6x+c（a、c為常數(shù)，且a≠0）與x軸交于A，B(-1,0)兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，AB（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）在拋物線上是否存在點P，使得△BPE是以BE為直角邊的直角三角形?若存在，求出所有得合條件的點P12．（24-25九年級上·山西呂梁·階段練習）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A-1,0，B3,0兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC，直線l與拋物線交于B，（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求△BCD（3）若拋物線的對稱軸與直線l的交點為N，則在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△BMN是以MN為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點M13．（24-25九年級上·湖南長沙·開學考試）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過點A3,0，B0,-3兩點，點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M（1）分別求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）若S△BPO=2（3）是否存在這樣的點M，使得以A、B、M為頂點組成直角三角形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．14．（23-24九年級上·遼寧盤錦·期中）如圖，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與

（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內(nèi)，F(xiàn)為拋物線上一點，以A、E、F為頂點的三角形面積為3，求點F的橫坐標；（3）點P是對稱軸上的一動點，是否存在某一點P使P、B、C為頂點的三角形是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點坐標；不存在，說明理由．15．（24-25九年級上·湖南長沙·開學考試）如圖，已知拋物線y=ax2-2x+c與x軸交于點A，B1,0（（1）求出拋物線的表達式；（2）若∠CAB的角平分線與在第一象限的拋物線交于點P，求點P（3）若點M是拋物線對稱軸上的一點，是否存在點M．使得以點A，C，M為頂點的三角形是以AC為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖，已知直線