分解質因數(shù)自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成若干個質因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質因數(shù)乘積的形式叫做分解質因數(shù)。例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。例1一個正方體的體積是13824厘米3，它的表面積是多少？分析與解：正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，現(xiàn)在已知正方體的體積是13824厘米3，若能把13824寫成三個相同的數(shù)相乘，則可求出棱長。為此，我們先將13824分解質因數(shù)：把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），于是，得到棱長是23×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米2）。例2學區(qū)舉行團體操表演，有1430名學生參加，分成人數(shù)相等的若干隊，要求每隊人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？分析與解：按題意，每隊人數(shù)×隊數(shù)=1430，每隊人數(shù)在100至200之間，所以問題相當于求1430有多少個在100至200之間的約數(shù)。為此，先把1430分解質因數(shù)，得1430＝2×5×11×13。從這四個質數(shù)中選若干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數(shù)，其余的質因數(shù)之積便是隊數(shù)。2×5×11=110，13；2×5×13=130，11；11×13=143，2×5=10。所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。例31×2×3×…×40能否被90909整除？分析與解：首先將90909分解質因數(shù)，得90909=33×7×13×37。因為33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3×…×40能被90909整除。例4求72有多少個不同的約數(shù)。分析與解：將72分解質因數(shù)得到72=23×32。根據(jù)72的約數(shù)含有2和3的個數(shù)，可將72的約數(shù)列表如下：上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對應數(shù)字乘以3和32，第三、四、五列的數(shù)字分別是第二列對應數(shù)字乘以2，22和23。對比72=23×32，72的任何一個約數(shù)至多有兩個不同質因數(shù)：2和3。因為72有3個質因數(shù)2，所以在某一個約數(shù)的質因數(shù)中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4種情況；同理，因為72有兩個質因數(shù)3，所以3可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。根據(jù)乘法原理，72的不同約數(shù)共有4×3=12（個）。從例4可以歸納出求自然數(shù)N的所有不同約數(shù)的個數(shù)的方法：一個大于1的自然數(shù)N的約數(shù)個數(shù)，等于它的質因數(shù)分解式中每個質因數(shù)的個數(shù)加1的連乘積。例如，2352=24×3×72，因為2352的質因數(shù)分解式中有4個2，1個3，2個7，所以2352的不同約數(shù)有（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（個）；又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的約數(shù)有（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（個）。例5試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。分析與解：這是求一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。因為這個數(shù)有六個約數(shù)，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，當這個數(shù)只有一個質因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當這個數(shù)有兩個質因數(shù)a和b時，這個數(shù)是a2×b。因為這個數(shù)不大于50，所以對于a5，只有a=2，即25=32；對于a2×b，經試算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，32×2=18，32×5=45，52×2=50。所以滿足題意的數(shù)有八個：32，12，20，28，44，18，45，50。練習111.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質數(shù)，那么這個長方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個零件，如果平均分成若干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學數(shù)學競賽，她說：“我得的成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是3916，滿分是100分?！蹦芊裰佬∮⒌哪挲g、考試成績及名次？5.舉例回答下面各問題：（1）兩個質數(shù)的和仍是質數(shù)嗎？（2）兩個質數(shù)的積能是質數(shù)嗎？（3）兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？（4）兩個合數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）仍是合數(shù)嗎？（5）一個質數(shù)與一個合數(shù)的和是質數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學們去射箭，規(guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。練習111.374分米3提示：長方體正面和上面的面積和是：長×高+長×寬=長×（高+寬）=209=11×19=11×（2+7），所求體積為11×2×17=374（分米3）。2.9歲，77歲。提示：693=32×7×11，因為爺孫的歲數(shù)都大于4歲，693分解成兩個大于4的約數(shù)的乘積，有693=7×99=9×77=11×63=21×33，相乘的兩個約數(shù)減4都是質數(shù)的有9×77和21×33，但爺孫的年齡不可能是21歲和33歲，所以是9歲和77歲。3.5種。提示：216=23×33，216的介于5與20之間的約數(shù)有6，8，9，12和18五個。4.11歲，87分，第四名。提示：3916=22×11×89，小英的年齡應在7～12歲。5.（1）不一定；（2）不能；（3）不一定；（4）不一定；（5）不一定。6.72，60，84，90。提示：只有一個質因數(shù)時，約數(shù)最多的是26=64，有7個約數(shù)；有兩個質因數(shù)時，約數(shù)最多的是23×32=72，有12個約數(shù)；有三個質因數(shù)時，約數(shù)最多的是22×3×5=60，22×3×7=84，2×32×5=90，各有12個約數(shù)。7.甲24環(huán)，乙28環(huán)。解：因為環(huán)數(shù)之積都是1764，說明他們的環(huán)數(shù)中沒有0環(huán)和10環(huán)，環(huán)數(shù)都是1764的大于0小于10的約數(shù)。1764=2×2×3×3×7×7。五箭的環(huán)數(shù)可能的情況有：（1）1，2×2，3×3，7，7即1，4，9，7，7環(huán)，和是28；（2）1，2×3，2×3，7，7即1，6，6，7，