行程問題（一）路程、時間、速度是行程問題的三個基本量，它們之間的關(guān)系如下：路程=時間×速度，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間。這一講就是通過例題加深對這三個基本數(shù)量關(guān)系的理解。例1一個車隊以4米/秒的速度緩緩?fù)ㄟ^一座長200米的大橋，共用115秒。已知每輛車長5米，兩車間隔10米。問：這個車隊共有多少輛車？分析與解：求車隊有多少輛車，需要先求出車隊的長度，而車隊的長度等于車隊115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時間×速度”可求出車隊115秒行的路程為4×115=460（米）。故車隊長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊共有車（260-5）÷（5+10）+1=18（輛）。例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到。如果希望中午12點到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進？分析與解：這道題沒有出發(fā)時間，沒有甲、乙兩地的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度。這就需要通過已知條件，求出時間和路程。假設(shè)A，B兩人同時從甲地出發(fā)到乙地，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到。B到乙地時，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時間B比A多行的路程。因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從甲地到乙地所用的時間是20÷（15-10）=4（時）。由此知，A，B是上午7點出發(fā)的，甲、乙兩地的距離是15×4=60（千米）。要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，速度應(yīng)為60÷（12-7）=12（千米/時）。例3劃船比賽前討論了兩個比賽方案。第一個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行賽程的一半；第二個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行比賽時間的一半。這兩個方案哪個好？分析與解：路程一定時，速度越快，所用時間越短。在這兩個方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個方案中，因為兩種速度劃行的時間相同，所以以3.5米/秒的速度劃行的路程比以2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個方案的比較圖。其中，甲段+乙段=丙段。在甲、丙兩段中，兩個方案所用時間相同；在乙段，因為路程相同，且第二種方案比第一種方案速度快，所以第二種方案比第一種方案所用時間短。綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時間比第一種方案少，即第二種方案好。例4小明去爬山，上山時每小時行2.5千米，下山時每小時行4千米，往返共用3.9時。問：小明往返一趟共行了多少千米？分析與解：因為上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的時間，則可以求出上山及下山的總路程。因為上山、下山各走1千米共需所以上山、下山的總路程為在行程問題中，還有一個平均速度的概念：平均速度=總路程÷總時間。例如，例4中上山與下山的平均速度是例5一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，如果它在三條邊上每分鐘分別爬行50，20，40厘米，那么螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？解：設(shè)等邊三角形的邊長為l厘米，則螞蟻爬行一周需要的時間為螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行在行程問題中有一類“流水行船”問題，在利用路程、時間、速度三者之間的關(guān)系解答這類問題時，應(yīng)注意各種速度的含義及相互關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度，靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。例6兩個碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時，逆流而上行完全程需19時。求這條河的水流速度。解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2=（418÷11-418÷19）÷2=（38-22）÷2=8（千米/時）答：這條河的水流速度為8千米/時。練習(xí)241.小燕上學(xué)時騎車，回家時步行，路上共用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時間。2.某人要到60千米外的農(nóng)場去，開始他以5千米/時的速度步行，后來有輛速度為18千米/時的拖拉機把他送到了農(nóng)場，總共用了5.5時。問：他步行了多遠(yuǎn)？3.已知鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒。求火車的速度和長度。4.小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？5.汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達(dá)后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度。6.兩地相距480千米，一艘輪船在其間航行，順流需16時，逆流需20時，求水流的速度。7.一艘輪船在河流的兩個碼頭間航行，順流需要6時，逆流需要8時，水流速度為2.5千米/時，求輪船在靜水中的速度。行程問題（二）本講重點講相遇問題和追及問題。在這兩個問題中，路程、時間、速度的關(guān)系表現(xiàn)為：相遇問題： 追擊問題：在實際問題中，總是已知路程、時間、速度中的兩個，求另一個。例1甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，相遇后3時，甲車到達(dá)B地。求A，B兩地的距離。分析與解：先畫示意圖如下：圖中C點為相遇地點。因為從C點到B點，甲車行3時，所以C，B兩地的距離為40×3=120（千米）。這120千米乙車行了120÷60=2（時），說明相遇時兩車已各行駛了2時，所以A，B兩地的距離是（40+60）×2=200（千米）。例2小明每天早晨按時從家出發(fā)上學(xué)，李大爺每天早晨也定時出門散步，兩人相向而行，小明每分鐘行60米，李大爺每分鐘行40米，他們每天都在同一時刻相遇。有一天小明提前出門，因此比平時早9分鐘與李大爺相遇，這天小明比平時提前多少分鐘出門？分析與解：因為提前9分鐘相遇，說明李大爺出門時，小明已經(jīng)比平時多走了兩人9分鐘合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），所以小明比平時早出門900÷60=15（分）。例3小剛在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，這時迎面開來一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用18秒。已知火車全長342米，求火車的速度。分析與解：在上圖中，A是小剛與火車相遇地點，B是小剛與火車離開地點。由題意知，18秒小剛從A走到B，火車頭從A走到C，因為C到B正好是火車的長度，所以18秒小剛與火車共行了342米，推知小剛與火車的速度和是342÷18=19（米/秒），從而求出火車的速度為19-2=17（米/秒）。例4鐵路線旁邊有一條沿鐵路方向的公路，公路上一輛拖拉機正以20千米/時的速度行駛。這時，一列火車以56千米/時的速度從后面開過來，火車從車頭到車尾經(jīng)過拖拉機身旁用了37秒。求火車的全長。分析與解與例3類似，只不過由相向而行的相遇問題變成了同向而行的追及問題。由上圖知，37秒火車頭從B走到C，拖拉機從B走到A，火車比拖拉機多行一個火車車長的路程。用米作長度單位，用秒作時間單位，求得火車車長為速度差×追及時間=[（56000-20000）÷3600]×37=370（米）。例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā)。已知甲每分走90米，乙每分走70米。問：至少經(jīng)過多長時間甲才能看到乙？分析與解：當(dāng)甲、乙在同一條邊（包括端點）上時甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需300÷（90-70）=15（分），此時甲、乙的距離是一條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條邊），位于某條邊的中點，乙位于另一條邊的中點，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需例6獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠(yuǎn)才能追上野兔？分析與解：這道題條件比較隱蔽，時間、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關(guān)系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣變換）：（1）獵狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；（2）獵狗跑12步的時間等于兔子跑16步的時間。由此知，在獵狗跑12步的這段時間里，獵狗能跑12步，相當(dāng)于兔子跑也就是說，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。練習(xí)251.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發(fā)步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發(fā)，又經(jīng)過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？2.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。3.小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發(fā)，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠(yuǎn)？4.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒？5.甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結(jié)果在甲即將休息的時刻兩人同時到達(dá)B地。問：A，B兩地相距多遠(yuǎn)？6.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個頂點同時出發(fā)逆時針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發(fā)后多長時間兩人第一次在同一邊上行走？7.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出多遠(yuǎn)將被獵狗追上？行程問題（三）在行程問題中，經(jīng)常會碰到相遇問題、追及問題、時間路程速度的關(guān)系問題等交織在一起的綜合問題，這類問題難度較大，往往需要畫圖幫助搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，并把綜合問題分解成幾個單一問題，然后逐次求解。例1兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發(fā)12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發(fā)后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時他們距十字路口多少米？分析與解：如左下圖所示，出發(fā)12分鐘后，甲由A點到達(dá)B點，乙由O點到達(dá)C點，且OB=OC。如果乙改為向南走，那么這個條件相當(dāng)于“兩人相距1800米，12分鐘相遇”的相遇問題，所以每分鐘兩人一共行1800÷12=150（米）。如右上圖所示，出發(fā)75分鐘后，甲由A點到達(dá)E點，乙由O點到達(dá)F點，且OE=OF。如果乙改為向北走，那么這個條件相當(dāng)于“兩人相距1800米，75分鐘后甲追上乙”的追及問題，所以每分鐘兩人行走的路程差是1800÷75=24（米）。再由和差問題，可求出乙每分鐘行（150-24）÷2=63（米），出發(fā)后75分鐘距十字路口63×75=4725（米）。例2小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠(yuǎn)？分析與解：如下圖所示，面包車與小轎車在A點相遇，此時大客車到達(dá)B點，大客車與面包車行BA這段路程共需30分鐘。由大客車與面包車的相遇問題知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；小轎車比大客車多行BA（45千米）需要的時間，由追及問題得到45÷（60-42）=2.5（時）；在這2.5時中，小轎車與面包車共行甲、乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地相距（60+48）×2.5=270（千米）。由例1、例2看出，將較復(fù)雜的綜合問題分解為若干個單一問題，可以達(dá)到化難為易的目的。例3小明放學(xué)后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發(fā)一次車？分析與解：這是一道數(shù)量關(guān)系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數(shù)解法復(fù)雜且不易理解。為了搞清各數(shù)量之間的關(guān)系，我們對題目條件做適當(dāng)變形。假設(shè)小明在路上向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于[7，9]=63。這時在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，后63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那么在兩個63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，則發(fā)車的時間間隔為例4甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時分別從水池的兩端出發(fā)，來回共游了11分鐘，如果不計轉(zhuǎn)向的時間，那么在這段時間里，他們共相遇了多少次？分析與解：甲游一個單程需30÷1=30（秒），乙游一個單程需30÷0.6=50（秒）。甲游5個單程，乙游3個單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個過程的時間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實折線與虛折線的交點表示相遇點。以2.5分鐘為一個周期，11分鐘包含4個周期零1分鐘，而在一個周期中的第1分鐘內(nèi)，從圖中看出兩人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。例4用畫圖的方法，直觀地看出了一個周期內(nèi)相遇的次數(shù)，由此可見畫圖的重要性。例5甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時乙距山頂還有400米，甲回到山腳時乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x。分析與解：本題的難點在于上山與下山的速度不同，如果能在不改變題意的前提下，變成上山與下山的速度相同，那么問題就可能變得容易些。如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，那么題中“甲回到山腳時山頂?shù)木嚯x是練習(xí)261.甲、乙二人上午8時同時從東村騎車到西村去，甲每小時比乙快6千米，中午12點甲到達(dá)西村后立即返回東村，在距西村15千米處遇到乙。問：東、西兩村相距多遠(yuǎn)？2.紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊步行去郊游，步行的速度是1米/秒，隊尾的王老師以2.5米/秒的速度趕到排頭，然后立即返回隊尾，共用10分鐘。求隊伍的長度。3.甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距離。4.某人沿公路前進，迎面來了一輛汽車，他問司機：“后面有騎自行車的人嗎？”司機回答：“10分鐘前我超過一個騎自行車的人?！边@人繼續(xù)走了10分鐘，遇到了這個騎自行車的人。如果自行車的速度是人步行速度的3倍，那么，汽車速度是人步行速度的多少倍？5.某人沿著電車道旁的便道以4.5千米/時的速度步行，每7.2分鐘有一輛電車迎面開過，每12分鐘有一輛電車從后面追過。如果電車按相等的時間間隔發(fā)車，并以同一速度不停地往返運行，那么電車的速度是多少？電車發(fā)車的時間間隔是多少？6.鐵路旁有一條小路，一列長110米的火車以30千米/時的速度向南駛?cè)ィ?點時追上向南行走的一名工人，15秒后離他而去，8點6分迎面遇到一個向北行走的農(nóng)民，12秒后離開這個農(nóng)民。問：工人與農(nóng)民何時相遇？7.小紅從家到火車站趕乘火車，每小時行4千米，火車開時她還離車站1千米；每小時行5千米，她就早到車站12分鐘。小紅家離火車站多少千米？

練習(xí)241.30分。提示：騎車比步行單程少用70-50=20（分）。2.15千米。解：設(shè)他步行了x千米，則有x÷5+（60-x）÷18=5.5。解得x=15（千米）。3.10米/秒；200米。解：設(shè)火車長為x米。根據(jù)火車的速度得（1000+x）÷120=（1000-x）÷80。解得x=200（米），火車速度為（1000+200）÷120=10（米/秒）。4.2時15分。解：上山用了60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）。因為下山的速度是上山的1.5倍，所以下山走了180÷1.5=120（分）。由120÷30=40知，下山途中休息了3次，所以下山共用120+5×3=135（分）=2時15分。5.57.6千米/時。6.3千米/時。解：（480÷16-480÷20）÷2=3（千米/時）。7.17.5千米/時。解：設(shè)兩碼頭之間的距離為x千米。由水流速度得解得x=120（千米）。所以輪船在靜水中的速度為120÷6-2.5=17.5（千米/時）。練習(xí)251.60米。解：（2800-130×10）÷（10×2+5）=60（米）。2.176千米。3.2196米。解：因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）。4.8秒。提示：快車上的人看見慢車的速度與慢車上的人看見快車的速度相同，（秒）。5.10000米。解：出發(fā)后10分鐘兩人相距（250-100）×10=1500（米）。米，需