絕密★考試結束前

2025學年第一學期浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學學科試題

考生須知：

1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字。

3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；

4.考試結束后，只需上交答題紙。

選擇題部分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知直線1的方程為x+√3y+11=0,則1的傾斜角為()

A.D.

2.已知向量a=(2,0,1),b=(-1,1,2),且ka+b與2a-b互相垂直，則k=()

B.C.-1D.2

表示圓，且圓心位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是

()

B.

4.已知直線l?:(m-1)x+2y+m+1=0,l?:x+my+3=0,則“m=-1”是“L?//l?”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.學校書法社、繪畫社、攝影社的報名人數(shù)分別為150人，150人，75人.按社團進行分層抽樣，從

這些報名學生中抽取5人作為社團聯(lián)合活動的籌備人員.從這5人中隨機抽取2人負責物資準備，

則2名負責人至少有一名來自繪畫社的概率為()

6.已知A(1,3,0),B(2,4,-1),則點P(3,5,1)到直線AB的距離為()

A.√3B.√2C.√5D.√6

7.已知點P(a,b)滿足方程(x-12+(y-2)2=4,則下列結論正確的是()

A.a2+b2的最小值是√5-2B.a2+b2的最大值是√5+2

高二數(shù)學學科試題第1頁共4頁

C.2a+b的最小值是4-2√5D.的最小值是

8.已知橢圓,過C的左焦點F的直線1與C的一個交點為P,且與圓

0相切于點M,若,則C的離心率為()

A.√3-1B.√5-2C.3-√7D.√13-3

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某校調查了100位70歲以內的教職工(含離退休)的年齡情頻率組距

況，分成了(20,30),[30,40],[40,50],[50,60],[60,70]五組，并制作

0.040

了如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的0.035

中間值代表，則下列結論正確的是()

A.a=0.015a

B.這100位教職工中年齡在[40,70]的人數(shù)為550.005

C.這100位教職工的年齡的眾數(shù)估計值為450203040506070x

D.這100位教職工年齡的中位數(shù)的估計值為42.5

10.如圖，平行六面體ABCD-A?B?C?D?中，以A為頂點的三條

棱長均為1,且兩兩之間的夾角都是60°,則下列說法中正確

的是()

A.BD?=-AB+AD+AA

B.BD?=√6

C.BD與AC所成角的余弦值為

A

D.BD在AC方向上的投影向量是

11.已知O是坐標原點，直線l?:mx-y-2m+1=0與直線l?:x+my+2+m=0相交于點P,點

A(x?,y?),B(x?,y?)均是圓C:(x-3)2+(y-4)2=4上的動點，且|AB|=2√3,Q是AB的中點，則下列

說法正確的是()

A.|OP|=√5

B.|PQ|的最小值為2-√5

C.PA·PB的最大值為38+12√5

D.|x?+y?-1|+|x?+y?-1|的最大值為12+2√2

高二數(shù)學學科試題第2頁共4頁

非選擇題部分

三、填空題：共3小題，每小題5分，共15分.

12.在七彩陽光聯(lián)盟考試中，從某班隨機抽取8名同學的數(shù)學成績，分數(shù)從低到高為：

80,87,92,106,115,120,128,137,則第70百分位數(shù)是;

13.橢圓左右焦點為F?,F?,橢圓上點P滿足|PF?|:|PF?|=3:1,則cos∠F?PF?=;

14.若E,F為平面上兩個定點，則滿足EM·EF為常數(shù)的動點M的軌跡是直線，滿足NE·NF=0的

動點N的軌跡是圓.將此性質類比到空間中，解決下列問題：在長方體ABCD-A?B?C?D?中，

AB=2AD=2AA?=6,點E在棱AB上，BE=2AE,動點P滿足PB·PE=0,動點Q滿足

D?Q·D?B=6√6,則|PQ|的最小值是·

四、解答題：共5大題，共77分，其中第15題13分，第16題、第17題每題15分，第18題、第

19題每題17分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△ABC的三個頂點是A(2,3),B(4,1),C(0,-1).

(1)求BC邊上的高所在直線l的方程；

(2)若直線l?過點C,且點A,B到直線l?的距離相等，求直線l?的方程.

16.如圖，在三棱臺ABC-A?B?C?中，AB⊥AC,AB=AC=3,A?B?=1,AA?=2,

AA?⊥平面ABC,M為AB的三等分點(靠近A),N為線段BB?中點.

(1)證明：A?M⊥CN;

(2)求直線BC?與平面MCN所成角的正弦值.

高二數(shù)學學科試題第3頁共4頁

17.已知圓C:(x-4)2+y2=9,點D(0,3).

(1)直線l經(jīng)過點D,且與圓C交于A,B兩點，若AB=4,求l的方程；

(2)若點P是圓C上任意一點，試問：在平面上是否存在定點E,使得3PD=5PE?若存在，求出

點E的坐標；若不存在，請說明理由.

18.已知橢圓的離心率為,上頂點為D(0,1).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線1過點P(2,1)且與橢圓C交于A,B兩點，直線AD,BD與x軸交于點M,N.

(i)若直線1過點(-1,0),求△DAB的面積；

(ii)求證：M,N兩點橫坐標之和為定值.

19.在平面四邊形ABCD中，AB=AC=CD=1,∠ADC=30°,∠DAB=120°,將△ACD沿AC翻折至

△ACP,Q為AP上的動點(不包含端點).

(1)設PC⊥AB,三棱錐Q-ABC的各個頂點都在球O的球面上.

(i)證明：平面PAC⊥平面ABC;

(ii)若球O的半徑為求PQ的長度；

(2)若AQ=QP,求二面角A-CQ-B的余弦值的最小值.

高二數(shù)學學科試題第4頁共4頁

2025學年第一學期浙江“七彩陽光”新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學學科參考答案

一、單選題

12345678

CBACADCD

二、多選題

91011

ABADACD

三、填空題

12.14.

四、解答題

15.(1)因為,所以BC邊上的高所在直線li的斜率為k=-2..............................2

由于直線Li過點A(2,3),所以Li的直線方程為y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0...............5

(2)因為點A,B到直線l?的距離相等，所以直線l?與AB平行或過線段AB的中點.

①當直線l?與AB平行時，因為且l2過點C(0,-1),

所以l2的直線方程為y+1=-(x-0),即x+y+1=0......................................................................9

②直線l2過線段AB的中點D(3,2)時，

所以l2的直線方程為y+1=x-0,即x-y-1=0........................................................................13

綜上所述：直線l2方程為x+y+1=0或x-y-1=0.

16.如圖，由題意知AA⊥平面ABC,AB⊥AC,故以A為坐標原點，以直線AB,AC,AAI

為x,y,z軸建立空間直角坐標系((1)問和(2)問建系分只給一次)..................................1

所以A?M·CN=1×2+0×(-3)+(-2)×1=0

所以AM⊥CN,即A?M⊥CN.…………………7

法二：

BL

連接AN交A?M于O,∵∴∠AA?M=∠NAM

∵∠AA?M+∠AMA?=90°∴∠NAM+∠AMA?=90°∴A?M⊥AN...............................................2

∵AA⊥平面ABC∴AA⊥AC∵AB⊥AC,AA?∩AB=A∴AC⊥平面AA?B?B

∴A?Mc平面AA?B?B∴AC⊥A?M.................................................................................................4

∵ACnAN=A∴A?M⊥平面ANC∴A?M⊥CN,得證.......................................................6

(2)由三棱臺ABC-A?B?C?可知

依題有B(3,0,0),Ci(0,1,2),M(1,0,0),C(0,1,0),N(2,0,1),

所以MN=(1,0,1),CN=(2,-3,1),BCi=(-3,1,2……9

設平面MCN的法向量為n=(x,y,z),直線BC?與平面MCN所成角為θ,

,取n=(3,1,-3),…………………12

因為

所以直線BC?與平面MCN所成角的正弦值為.…………………15

17.(1)由弦長AB=4,可知圓心C到直線1的距離

①當直線l的斜率不存在時，且直線l過點D(0,3),即直線l的方程為x=0不符合題意；

②當直線l的斜率k存在時，且直線l過點D(0,3),

高二數(shù)學學科答案第2頁共6頁

則直線l的方程為y=kx+3,即kx-y+3=0,所以

即11k2+24k+4=0,解得k=-2或

...............................................................6

所以直線l的方程為2x+y-3=0或2x+11y-33=0...................................................................7

(2)依題有D(0,3),設點E(m,n),P(x,y),其中點P(x,y)滿足(x-4)2+y2=9,即x2+y2-8x+7=0,

.........................................................................................................................................................9

由3PD=5PE可知3√(x-0)2+(y-3)2=5√(x-m2+(y-n)2,

即16x2+16y2-50mx+(54-50n)y+25m2+25n2-81=0,

…………12

則故有即.................................15

18.(1)依題有橢圓離心率,上頂點D(0,1)即b=1,

由a2=b2+c2可知a=2,c=√3,故橢圓C的方程為.......................................3

(2)(i)直線I過點(-1,0)和P(2,1),則直線l的斜率為

故直線l的方程為即x-3y+1=0,即

設A(x?,y?),B(x?,y?),由得13x2+8x-32=0,

由韋達定理可知，

點D(0,1)到直線I的距離為

高二數(shù)學學科答案第3頁共6頁

所以△DAB的面積為

........................................9

(ii)已知A(x?,y?),B(x?,y?),D(0,1),則

令yAD=yBD=0,有............................................................11

①當直線l的斜率不存在時，即直線l的方程為x=2,不符合題意；

②當直線l的斜率k存在時，則直線l的方程為y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1

由,得(4k2+1)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k=0.

由韋達定理可知

因為,其中y?=kx?-2k+1,y?=kx?-2k+1,

故M,N兩點的橫坐標之和為定值，得證.………17

19.(1)(i)在平面四邊形ABCD中，∵AC=CD=1,∴∠CAD=∠ADC=30°,

∴∠BAC=∠BAD-∠ADC=120°-30°=90°,∴AC⊥AB

在空間中，∵PC⊥AB,AC⊥AB,PCnAC=C,∴AB⊥面PAC

又∵ABc面ABC,:.面ABC⊥面PAC,得證.……………………4

(ii)由(i)可知AC⊥AB,面ABC⊥面PAC,如圖，作Az⊥平面ABC

高二數(shù)學學科答案第4頁