西南師大版高二數(shù)學(xué)上冊第四單元測試卷考試時間：120分鐘滿分：150分姓名：________班級：________得分：________第一部分選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.函數(shù)\(y=2\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)\)的最小正周期是（）A.\(\frac{2\pi}{3}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(2\pi\)D.\(\pi\)2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間\(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=\cosx\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)3.函數(shù)\(y=\sinx+\cosx\)的最大值是（）A.1B.\(\sqrt{2}\)C.2D.\(\sqrt{3}\)4.函數(shù)\(y=\cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)的圖像的對稱軸方程為（）A.\(x=k\pi-\frac{\pi}{6}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)B.\(x=k\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)C.\(x=k\pi-\frac{\pi}{3}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)D.\(x=k\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)5.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)\)（\(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的圖像過點\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\)，且最小正周期為\(\pi\)，則\(\omega\)和\(\varphi\)的值分別為（）A.\(\omega=2\)，\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.\(\omega=2\)，\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)C.\(\omega=\frac{1}{2}\)，\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.\(\omega=\frac{1}{2}\)，\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)6.函數(shù)\(y=3\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)的圖像可由函數(shù)\(y=3\sin2x\)的圖像（）A.向左平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位長度得到B.向右平移\(\frac{\pi}{6}\)個單位長度得到C.向左平移\(\frac{\pi}{12}\)個單位長度得到D.向右平移\(\frac{\pi}{12}\)個單位長度得到7.若\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)，且\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\)的值為（）A.\(-\frac{\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\)D.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)8.函數(shù)\(f(x)=\sinx\cosx+\cos^2x-\frac{1}{2}\)的最小正周期和奇偶性分別是（）A.\(\pi\)，奇函數(shù)B.\(\pi\)，偶函數(shù)C.\(2\pi\)，奇函數(shù)D.\(2\pi\)，偶函數(shù)9.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A>0\)，\(\omega>0\)）的部分圖像如圖所示（圖略），則該函數(shù)的解析式為（）A.\(y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)\)B.\(y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\)C.\(y=2\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right)\)D.\(y=2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{3}\right)\)10.若函數(shù)\(f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cosx+a\)的最大值為1，則實數(shù)\(a\)的值為（）A.-1B.0C.1D.211.已知函數(shù)\(f(x)=\cos^2x-\sin^2x+2\sinx\cosx\)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期為\(2\pi\)B.函數(shù)\(f(x)\)的圖像關(guān)于點\(\left(\frac{\pi}{8},0\right)\)對稱C.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(\left[-\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{8}\right]\)上單調(diào)遞增D.函數(shù)\(f(x)\)的最大值為212.已知函數(shù)\(f(x)=\sin\left(\omegax+\frac{\pi}{4}\right)\)（\(\omega>0\)）在區(qū)間\(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)上單調(diào)遞減，則\(\omega\)的取值范圍是（）A.\(\left[\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right]\)B.\(\left[\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right]\)C.\(\left[0,\frac{1}{2}\right]\)D.\(\left[\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right]\)第二部分填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\)________。14.函數(shù)\(y=\sqrt{2\sinx-1}\)的定義域為________。15.已知\(\sin\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{3}\)，則\(\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2\alpha\right)=\)________。16.給出下列四個命題：①函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)上是增函數(shù)；②函數(shù)\(y=\cos\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\)是奇函數(shù)；③函數(shù)\(y=\sin2x\)的圖像關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{4}\)對稱；④函數(shù)\(y=\tanx\)的圖像的對稱中心是\(\left(\frac{k\pi}{2},0\right)\)，\(k\in\mathbb{Z}\)。其中正確命題的序號是________。第三部分解答題（共6小題，滿分70分）17.（本小題滿分10分）已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)，\(\cos\beta=-\frac{12}{13}\)，\(\beta\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\)，求\(\sin(\alpha+\beta)\)和\(\cos(\alpha-\beta)\)的值。18.（本小題滿分12分）化簡下列各式：（1）\(\sin\left(\theta+75^\circ\right)+\cos\left(\theta+45^\circ\right)-\sqrt{3}\cos\left(\theta+15^\circ\right)\)；（2）\(\frac{\sin2x}{1+\cos2x}\cdot\frac{\cosx}{1+\cosx}\)。19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx-1\)，\(x\in\mathbb{R}\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)上的最大值和最小值。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\)（\(A>0\)，\(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的圖像與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為\(\frac{\pi}{2}\)，且圖像過點\(\left(\frac{\pi}{6},2\right)\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的解析式；（2）求函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\)上的單調(diào)區(qū)間和值域。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)\(f(x)=\cos^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+1\)，\(x\in\mathbb{R}\)。（1）將函數(shù)\(f(x)\)化為\(A\sin(\omegax+\varphi)+B\)（\(A>0\)，\(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)）的形式；（2）若存在\(x_0\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)，使得\(f(x_0)=m\)成立，求實數(shù)\(m\)的取值范圍。22.（本小題滿分12分）某實驗室一天的溫度（單位：℃）隨時間\(t\)（單位：h）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：\(f(t)=10-2\sin\left(\frac{\pi}{12}t+\frac{\pi}{3}\right)\)，\(t\in[0,24)\)。（1）求實驗室這一天的最大溫差；（2）若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？參考答案一、選擇題1.A2.C3.B4.A5.A6.D7.A8.A9.B10.A11.C12.D二、填空題13.314.\(\left[2k\pi+\frac{\pi}{6},2k\pi+\frac{5\pi}{6}\right]\)，\(k\in\mathbb{Z}\)15.\(-\frac{7}{9}\)16.①②③④三、解答題17.解：因為\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\)，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\frac{4}{5}\)。（2分）又因為\(\cos\beta=-\frac{12}{13}\)，\(\beta\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\)，所以\(\sin\beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta}=-\frac{5}{13}\)。（4分）則\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}\times\left(-\frac{12}{13}\right)+\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{5}{13}\right)=-\frac{36}{65}+\frac{20}{65}=-\frac{16}{65}\)。（7分）\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\left(-\frac{4}{5}\right)\times\left(-\frac{12}{13}\right)+\frac{3}{5}\times\left(-\frac{5}{13}\right)=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65}\)。（10分）18.解：（1）設(shè)\(\theta+15^\circ=\alpha\)，則原式\(=\sin(\alpha+60^\circ)+\cos(\alpha+30^\circ)-\sqrt{3}\cos\alpha\)（2分）\(=\sin\alpha\cos60^\circ+\cos\alpha\sin60^\circ+\cos\alpha\cos30^\circ-\sin\alpha\sin30^\circ-\sqrt{3}\cos\alpha\)（4分）\(=\frac{1}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha-\frac{1}{2}\sin\alpha-\sqrt{3}\cos\alpha=0\)。（6分）（2）原式\(=\frac{2\sinx\cosx}{2\cos^2x}\cdot\frac{\cosx}{1+\cosx}=\frac{\sinx}{\cosx}\cdot\frac{\cosx}{1+\cosx}=\frac{\sinx}{1+\cosx}\)（9分）\(=\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{2\cos^2\frac{x}{2}}=\tan\frac{x}{2}\)。（12分）19.解：（1）\(f(x)=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx-1=1-\cos2x+\sqrt{3}\sin2x-1=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\)。（4分）所以函數(shù)\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（6分）（2）因為\(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)，所以\(2x-\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right]\)。（8分）當(dāng)\(2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{3}\)時，\(f(x)\)取得最大值\(2\sin\frac{\pi}{2}=2\)；（10分）當(dāng)\(2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}\)，即\(x=0\)時，\(f(x)\)取得最小值\(2\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-1\)。（12分）20.解：（1）由函數(shù)\(f(x)\)的圖像與x軸相鄰兩個交點之間的距離為\(\frac{\pi}{2}\)，可知函數(shù)的最小正周期\(T=2\times\frac{\pi}{2}=\pi\)，所以\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\)。（3分）又因為函數(shù)圖像過點\(\left(\frac{\pi}{6},2\right)\)，且\(A>0\)，所以\(A=2\)，且\(2\sin\left(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=2\)，即\(\sin\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=1\)。（5分）則\(\frac{\pi}{3}+\varphi=2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，又\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)。（7分）故函數(shù)\(f(x)\)的解析式為\(f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)\)。（8分）（2）當(dāng)\(x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\)時，\(2x+\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]\)。（9分）令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，結(jié)合\(x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\)，得單調(diào)遞增區(qū)間為\(\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{6}\right]\)；（10分）令\(2k\pi+\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{3\pi}{2}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，解得\(k\pi+\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{2\pi}{3}\)，\(k\in\mathbb{Z}\)，結(jié)合\(x\in\left[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right]\)，得單調(diào)遞減區(qū)間為\(\left[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right]\)。（11分）當(dāng)\(2x+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{3}\)時，\(f(x)=2\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\)；當(dāng)\(2x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)時，\(f(x)=2\)，所以值域為\([-\sqrt{3},2]\)。（12分）21.解：（1）\(f(x)=\cos^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx+1=\frac{1+\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+1=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{3}{2}=\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{3}{2}\)。（6分）（2）因為\(x_0\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)，所以\(2x_0+\frac{\pi}{6}\in\left[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\right]\)。（8分）當(dāng)\(2x_0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x_0=\frac{\pi}{6}\)時，\(\sin\left(2x_0+\frac{\pi}{6}\right)\)取得最大值1；當(dāng)\(2x_0+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\)，即\(x_0=\