成考（專升本）高數（一）兩個重要極限目

錄兩個重要極限的概念與意義01兩個重要極限的計算方法02兩個重要極限的應用0301兩個重要極限的概念與意義極限描述了當自變量趨近某一點時，函數值趨近某一特定值的行為極限是一種理想化的概念，用于研究函數在無限接近某一點時的變化趨勢極限分為左極限和右極限，分別表示從左側和右側趨近某點時函數的極限值極限的定義利用極限的定義和性質進行計算應用極限的四則運算法則和已知的極限公式使用無窮小替換和等價無窮小方法極限的計算方法極限具有唯一性，即當自變量趨近某一點時，極限值唯一極限具有局部保號性，即如果極限值是正數或負數，那么在這一點附近函數值也會保持同號極限具有四則運算法則，可以用于簡化極限計算極限的性質極限在微積分學中用于導數和積分的定義極限在物理學中描述物理量的變化趨勢極限在工程學中評估系統的穩(wěn)定性和響應極限的應用領域極限的基本概念$\lim_{x

\to

0}

\frac{\sin

x}{x}

=

1$$\lim_{x

\to

\infty}

(1

+

\frac{1}{x})^x

=

e$第一個重要極限的表達式利用三角函數的泰勒展開進行推導利用指數函數的泰勒展開進行推導第一個重要極限的推導過程應用在求解初等函數的極限應用在導數的定義和計算中第一個重要極限的應用實例在物理學中描述振動和波動現象在工程學中分析系統的頻率響應第一個重要極限在實際問題中的意義第一個重要極限$\lim_{x

\to

\infty}

x^a

e^{-

x}

=

0$

（其中$a$為常數）$\lim_{x

\to

0^+}

x^a

\ln

x

=

0$

（其中$a

>

0$）第二個重要極限的表達式應用在概率論中的泊松分布應用在工程學中的可靠性分析第二個重要極限的應用實例利用指數函數和對數函數的性質進行推導使用洛必達法則或者夾逼定理進行推導第二個重要極限的推導過程在統計學中描述隨機事件的概率在工程學中評估系統壽命和故障率第二個重要極限在實際問題中的意義第二個重要極限02兩個重要極限的計算方法適用于可以直接求解的極限問題要求極限表達式中不含變量變化趨向極限表達式可以直接代入求解直接計算法的適用條件確定極限表達式的形式直接代入變量的極限值計算表達式的結果直接計算法的步驟優(yōu)點：計算簡單直觀缺點：適用范圍有限注意：可能無法處理復雜極限問題直接計算法的優(yōu)缺點實例：求極限

$\lim_{x

\to

0}

x^2$分析：直接代入

$x

=

0$，得到結果

$0$結論：直接計算法得到正確結果直接計算法的實例分析直接計算法極限的四則運算法則加法法則：$\lim_{x

\to

a}

(f(x)

+

g(x))

=

\lim_{x

\to

a}

f(x)

+

\lim_{x

\to

a}

g(x)$乘法法則：$\lim_{x

\to

a}

(f(x)

\cdot

g(x))

=

\lim_{x

\to

a}

f(x)

\cdot

\lim_{x

\to

a}

g(x)$除法法則：$\lim_{x

\to

a}

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)

=

\frac{\lim_{x

\to

a}

f(x)}{\lim_{x

\to

a}

g(x)}$，$g(x)

\neq

0$復合函數的極限法則設

$f(x)$

在

$x

=

a$

連續(xù)，$g(x)$

在

$x

=

a$

極限存在，則

$\lim_{x

\to

a}

f(g(x))

=

f(\lim_{x

\to

a}

g(x))$適用于內函數極限存在且外函數連續(xù)的情況需要確保內外函數的極限和連續(xù)性條件滿足無窮小量的比較法則設

$\lim_{x

\to

a}

f(x)

=

0$

和

$\lim_{x

\to

a}

g(x)

=

0$，則

$\lim_{x

\to

a}

\frac{f(x)}{g(x)}$

存在且有確定的關系可以用于判斷無窮小量之間的階數關系常用于洛必達法則中的導數比較極限運算中的常見錯誤分析錯誤：忽視極限值的存在性錯誤：錯誤應用四則運算法則錯誤：忽略函數連續(xù)性的條件極限的運算法則定義：數列極限描述了數列項隨著項數增加趨向于某一固定值的行為性質：數列極限具有唯一性、存在性和保號性應用：數列極限是研究函數極限的基礎數列極限的定義與性質技巧：通過觀察數列的規(guī)律尋找通項公式技巧：利用數列的性質和已知的極限運算規(guī)則技巧：轉化數列極限為函數極限進行計算數列極限的計算技巧題型：求等差數列、等比數列的極限題型：求無窮大量和無窮小量的極限題型：求解涉及數列的極限定理問題數列極限的常見題型實例：求極限

$\lim_{n

\to

\infty}

\frac{1}{n}$分析：利用數列極限的定義，項數趨于無窮大時，項值趨于0結論：得到數列極限為0數列極限的計算實例數列極限的計算方法03兩個重要極限的應用極限在導數中的應用利用極限定義導數導數在某點的極限與該點的導數的關系導數的極限性質在求解復雜函數導數中的應用極限在積分中的應用定積分的定義與極限的關系變限積分的極限性質極限在積分計算中的應用，如極限換元法極限在級數中的應用極限在微分方程中的應用利用極限求解微分方程的初值問題極限在微分方程穩(wěn)定性分析中的作用極限在尋找微分方程解析解中的應用級數收斂的極限定義極限在級數收斂性判別中的應用極限在級數求和中的應用在微積分中的應用利用極限分析物理量的變化趨勢極限在物理模型建立中的作用極限在物理定律推導中的應用01極限在物理中的應用極限在經濟學模型構建中的應用極限在分析經濟變量趨勢中的作用極限在經濟學預測分析中的應用03極限在經濟學中的應用極限在工程優(yōu)化問題中的運用極限在工程風險評估中的應用極限在工程模擬分析中的價值02極限在工程中的應用極限在生物種群增長模型中的應用極限在生物化學動力學研究中的應用極限在生物信息學數據分析中的應用04極限在生物學中的應用在實際問題中的應用01020304極限與連續(xù)性的關系極限在判斷函數連續(xù)性的應用極限與連續(xù)性定理的關系極限在連續(xù)函數性質分析中的應用極限與導數的關系導數的定義與極限的關系