成考（專升本）高數(shù)（二）線性方程組01線性方程組的基本概念CONTENTS02高斯消元法與矩陣線性方程組的數(shù)值解法0301線性方程組的基本概念線性方程組的表示方法線性方程組通常由多個線性方程構(gòu)成每個方程中變量的最高次數(shù)為一系數(shù)和常數(shù)項可以是任意實數(shù)線性方程組的相關(guān)術(shù)語方程的系數(shù)：變量前的數(shù)值常數(shù)項：方程中不含變量的項未知數(shù)：需要求解的變量線性方程組的分類按方程數(shù)量分類：二元、三元等按系數(shù)是否為常數(shù)分類：線性定系數(shù)方程組、線性變系數(shù)方程組線性方程組的應(yīng)用領(lǐng)域經(jīng)濟學(xué)中的成本分析工程學(xué)中的力學(xué)問題物理學(xué)中的波動方程線性方程組的定義解的類型唯一解：方程組有唯一解無窮多解：方程組有無限多個解無解：方程組無解解的定義解是滿足方程組所有方程的變量值解可以是單個值、一組值或不存在解的判別方法系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩方程的數(shù)量與未知數(shù)的數(shù)量關(guān)系解的幾何意義二元線性方程組表示直線三元線性方程組表示平面解的集合是直線、平面的交點線性方程組的解的概念代數(shù)解法：加減消元法、代入法等圖形解法：通過圖像找解數(shù)值解法：計算機算法解法的分類01等價方程組有相同的解通過合法運算可相互轉(zhuǎn)換等價方程組的概念03通過加減乘除運算消去變量將方程組化為階梯形逐步求解得到變量值消元法的基本原理02方程組的大?。悍匠虜?shù)量和未知數(shù)的數(shù)量精度要求：數(shù)值解法的精度需求計算工具：手工計算還是計算機輔助解法的選擇依據(jù)04線性方程組的解法概述02高斯消元法與矩陣高斯消元法的步驟選擇主元，將主元所在的行交換到第一行將主元所在列下的元素消為0對剩下的子矩陣重復(fù)以上步驟，直到矩陣變?yōu)樯先切问礁咚瓜ǖ木窒扌詫τ谙禂?shù)矩陣條件數(shù)大的情況，數(shù)值穩(wěn)定性差不能處理系數(shù)矩陣為奇異矩陣的情況對于大型稀疏矩陣，效率較低高斯消元法的應(yīng)用解線性方程組求矩陣的秩求矩陣的逆高斯消元法的優(yōu)化部分主元高斯消元法完全主元高斯消元法稀疏矩陣的特殊處理高斯消元法矩陣是由數(shù)字組成的矩形陣列矩陣常用大寫字母表示，如A、B等矩陣的元素用相應(yīng)的小寫字母加下標(biāo)表示，如a_ij矩陣的定義與表示矩陣的加法和減法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的運算矩陣的秩是其最大線性無關(guān)行的數(shù)目矩陣的秩小于等于其行數(shù)和列數(shù)矩陣的秩可通過高斯消元法求得矩陣的秩線性方程組可以表示為矩陣形式Ax=b方程組的解取決于系數(shù)矩陣A和增廣矩陣的秩方程組有無窮多解、唯一解或無解取決于矩陣的秩矩陣與線性方程組的關(guān)系矩陣的基本概念01初等變換的類型行變換：包括行交換、行倍增和行相加列變換：包括列交換、列倍增和列相加矩陣的初等變換不改變矩陣的秩02初等變換的性質(zhì)初等變換是可逆的初等變換保持矩陣的秩不變?nèi)魏尉仃嚩伎梢酝ㄟ^有限次初等變換化為行簡化階梯形03初等變換在解線性方程組中的應(yīng)用將系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為上三角矩陣，便于求解通過初等行變換，將增廣矩陣化為行簡化階梯形，從而確定方程組的解利用初等變換求解矩陣方程04矩陣的行簡化階梯形行簡化階梯形是一種特殊的矩陣形式，其中非零行首個非零元素為1每個首1元素所在列的其他元素均為0行簡化階梯形便于觀察矩陣的秩和線性方程組的解的情況矩陣的初等變換03線性方程組的數(shù)值解法克萊姆法則的基本原理利用方程組的系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成行列式通過計算行列式的值和各個元素的代數(shù)余子式來求解結(jié)果顯示為方程組解的顯式表達(dá)式克萊姆法則的應(yīng)用條件方程組中的系數(shù)矩陣必須為方陣系數(shù)矩陣的行列式值不能為零方程組必須有唯一解克萊姆法則的計算步驟計算系數(shù)矩陣的行列式值計算每個方程的常數(shù)項所對應(yīng)的代數(shù)余子式將每個代數(shù)余子式除以系數(shù)矩陣的行列式值得到解克萊姆法則的優(yōu)缺點優(yōu)點：計算過程直觀，結(jié)果為顯式表達(dá)式缺點：計算量大，不適用于高階方程組缺點：當(dāng)系數(shù)矩陣行列式為零時無法使用克萊姆法則適用于求解任何線性方程組可用于矩陣求逆和線性方程組的求解在計算過程中可以減少計算量高斯-若爾當(dāng)消元法的應(yīng)用02高斯-

若爾當(dāng)消元法直接得到簡化形式高斯消元法需要額外的回代步驟高斯-

若爾當(dāng)消元法在某些情況下更高效高斯-若爾當(dāng)消元法與高斯消元法的比較03將系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)化為行階梯形式對行階梯形式的矩陣進(jìn)行進(jìn)一步的化簡最終得到簡化形式的矩陣，從而求解線性方程組高斯-若爾當(dāng)消元法的步驟01注意行變換過程中系數(shù)的精確度避免除以接近零的數(shù)適當(dāng)選擇主元以簡化計算高斯-若爾當(dāng)消元法的計算技巧02高斯-若爾當(dāng)消元法迭代法的基本原理通過逐步逼近的方式求解線性方程組每次迭代根據(jù)前一次的結(jié)果計算新的近似值最終達(dá)到一個足夠小的誤差范圍迭代法的收斂性判斷迭代法是否收斂取決于矩陣的性質(zhì)收斂的迭代法可以保證得到方程組的解非收斂迭代法可能無法得到正確結(jié)果迭代法的具體應(yīng)用適用于大型稀疏線性方程組在工程和科學(xué)計算中廣泛應(yīng)用可用于求解非線性方程組迭代法的改進(jìn)策略對系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理采用加速迭代方法如松弛法選擇合適的初始近似值迭代法向量空間的基本概念向量空間是向量集合和向量運算的體系向量空間的基是能生成整個空間的向量集合向量空間的維數(shù)是基中向量的數(shù)量線性變換的定義與性質(zhì)線性變換是向量空間到向量空間的映射線性變換保持向量加法和數(shù)乘運算線性變換可以用矩陣表示向量空間的基與