成考（專(zhuān)升本）高數(shù)（二）行列式目錄01行列式的基本概念02行列式的性質(zhì)與運(yùn)算03特殊行列式01行列式的基本概念行列式與矩陣的關(guān)系行列式是矩陣的一種屬性矩陣的行列式值反映了矩陣的某些特性不是所有的矩陣都有行列式，只有方陣才有行列式的幾何意義行列式表示了矩陣對(duì)應(yīng)線性變換下的體積縮放因子行列式的絕對(duì)值表示了平行多邊形的面積或平行多面體的體積行列式的符號(hào)表示了空間中向量的旋轉(zhuǎn)方向行列式的數(shù)學(xué)表述行列式是一個(gè)函數(shù)，將一個(gè)方陣映射到一個(gè)標(biāo)量該函數(shù)滿足線性性和交錯(cuò)性行列式通常表示為det(A)或|A|行列式的性質(zhì)行列式的值不變，當(dāng)行或列交換位置時(shí)，符號(hào)改變行列式的值為零，當(dāng)矩陣的行或列線性相關(guān)時(shí)行列式的值等于其任意一行或一列的元素與其代數(shù)余子式的乘積之和行列式的定義對(duì)角線法則對(duì)角線法則適用于二階和三階行列式計(jì)算方法為對(duì)角線元素相乘并求和，減去副對(duì)角線元素相乘并求和對(duì)角線法則不適用于四階及以上行列式拉普拉斯展開(kāi)定理拉普拉斯展開(kāi)定理可以將高階行列式展開(kāi)為多個(gè)低階行列式的乘積定理適用于任意階行列式展開(kāi)過(guò)程中，每次選擇一行或一列進(jìn)行展開(kāi)行列式的化簡(jiǎn)與計(jì)算技巧通過(guò)行變換或列變換將矩陣化為上三角或下三角形利用行列式的性質(zhì)，如行或列的倍數(shù)關(guān)系來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算使用特殊類(lèi)型的矩陣（如范德蒙德矩陣）的行列式公式高階行列式的計(jì)算方法高階行列式計(jì)算通常使用拉普拉斯展開(kāi)或遞歸方法可以通過(guò)選擇含零元素最多的行或列來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算高階行列式計(jì)算可能涉及復(fù)雜的代數(shù)操作行列式的計(jì)算方法行列式用于判斷線性方程組是否有唯一解克萊姆法則利用行列式來(lái)求解線性方程組行列式可以確定方程組的解的性質(zhì)（唯一、無(wú)解或無(wú)窮多解）行列式在解線性方程組中的應(yīng)用01行列式用于計(jì)算向量積和混合積可以確定點(diǎn)、線、面在空間中的位置關(guān)系行列式在求解幾何變換中的不變量時(shí)發(fā)揮作用行列式在幾何中的應(yīng)用02行列式用于描述物理系統(tǒng)中的變換，如電磁場(chǎng)中的變換在量子力學(xué)中，行列式與波函數(shù)的概率密度有關(guān)行列式在力學(xué)中用于求解剛體運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題行列式在物理中的應(yīng)用03行列式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中用于求解均衡問(wèn)題可以分析經(jīng)濟(jì)模型中的穩(wěn)定性和變化趨勢(shì)行列式在優(yōu)化問(wèn)題中幫助確定成本和收益的最大化或最小化行列式在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用04行列式的應(yīng)用02行列式的性質(zhì)與運(yùn)算行列式的交換性質(zhì)交換行列式的兩行，行列式的值變號(hào)交換行列式的兩列，行列式的值變號(hào)行列式的某一行或某一列元素全部為零時(shí)，行列式的值為零行列式的線性性質(zhì)行列式某一行（或列）中的每個(gè)元素都是兩個(gè)元素的線性組合，行列式可以分解為兩個(gè)行列式的和行列式某一行（或列）中的元素乘以常數(shù)k，行列式的值也乘以k行列式某一行（或列）的常數(shù)倍加到另一行（或列）上，行列式的值不變行列式的比例性質(zhì)如果行列式中有兩行（或兩列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，行列式的值為零行列式中某一行（或列）的元素與另一行（或列）的元素成比例，行列式的值也為零行列式中的某行（或列）元素與全行列式成比例，行列式值為零行列式的乘積性質(zhì)兩個(gè)行列式相乘，等于它們對(duì)應(yīng)元素的乘積所構(gòu)成的行列式行列式與其轉(zhuǎn)置的乘積是一個(gè)平方行列式行列式的乘積滿足結(jié)合律行列式的性質(zhì)行列式的除法運(yùn)算行列式的除法運(yùn)算實(shí)際上是乘以一個(gè)數(shù)的倒數(shù)除法運(yùn)算需要行列式可逆行列式除法不滿足交換律行列式的乘法運(yùn)算行列式乘以一個(gè)數(shù)，等于其每個(gè)元素乘以該數(shù)兩個(gè)行列式相乘，結(jié)果為一個(gè)新行列式行列式乘法滿足結(jié)合律和分配律行列式的減法運(yùn)算兩個(gè)行列式相減，對(duì)應(yīng)位置的元素相減行列式的減法滿足交換律和結(jié)合律行列式減法可能改變行列式的秩行列式的加法運(yùn)算兩個(gè)行列式相加，對(duì)應(yīng)位置的元素相加行列式的加法滿足交換律和結(jié)合律行列式加法不改變行列式的秩行列式的運(yùn)算規(guī)則行列式的行變換行列式行變換不改變行列式的值可以通過(guò)行變換將行列式化為上三角形式行變換包括行倍法、行加法、行減法行列式的列變換列變換不改變行列式的值可以通過(guò)列變換將行列式化為上三角形式列變換包括列倍法、列加法、列減法行列式的秩與化簡(jiǎn)行列式的秩是行列式中線性無(wú)關(guān)的行或列的最大數(shù)量化簡(jiǎn)行列式可以幫助求出行列式的秩化簡(jiǎn)方法包括初等變換和行列式分解行列式的等價(jià)變換等價(jià)變換保持行列式的秩不變行列式等價(jià)變換包括行變換和列變換等價(jià)變換可以用于解線性方程組和求矩陣的逆行列式的變換與化簡(jiǎn)03特殊行列式對(duì)角行列式的應(yīng)用在線性代數(shù)中簡(jiǎn)化矩陣運(yùn)算在求解線性方程組中的應(yīng)用在特征值和特征向量計(jì)算中的簡(jiǎn)化對(duì)角行列式是指所有非對(duì)角線元素均為0的行列式主對(duì)角線上的元素構(gòu)成行列式的唯一非零項(xiàng)對(duì)角行列式的階數(shù)等于主對(duì)角線上元素的個(gè)數(shù)對(duì)角行列式的定義對(duì)角行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積對(duì)角行列式的轉(zhuǎn)置與其本身相等對(duì)角行列式的逆等于其主對(duì)角線元素的倒數(shù)乘積對(duì)角行列式的性質(zhì)直接計(jì)算主對(duì)角線元素的乘積利用行列式的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算可以通過(guò)行變換或列變換將一般行列式轉(zhuǎn)換為對(duì)角行列式對(duì)角行列式的計(jì)算方法對(duì)角行列式01三角行列式是指主對(duì)角線一側(cè)元素全為0的行列式分為上三角和下三角兩種形式三角行列式的值不受其他元素影響三角行列式的定義03直接計(jì)算主對(duì)角線上元素的乘積通過(guò)行變換或列變換將行列式轉(zhuǎn)換為三角行列式利用行列式的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算三角行列式的計(jì)算方法02上三角行列式和下三角行列式的值相同三角行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積行列式的轉(zhuǎn)置不改變?nèi)切辛惺降闹等切辛惺降男再|(zhì)04在求解線性方程組中的簡(jiǎn)化在矩陣特征值計(jì)算中的應(yīng)用在矩陣分解中的運(yùn)用三角行列式的應(yīng)用三角行列式階梯形行列式的定義階梯形行列式是指具有明顯階梯特征的行列式階梯形行列式至少有一行（或列）元素為0階梯形行列式的非零行（或列）首元素在主對(duì)角線以下或以上階梯形行列式的性質(zhì)階梯形行列式的值受非零行（或列）的影響可以通過(guò)行（或列）變換將一般行列式轉(zhuǎn)換為階梯形行列式階梯形行列式的計(jì)算較為簡(jiǎn)單階梯形行列式的計(jì)算方法利用行（或列）變換將行列式化為上三角行列式直接按照階梯結(jié)構(gòu)計(jì)算行列式的值利用特殊性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算階梯形行列式的應(yīng)用在求解線性方程組中的簡(jiǎn)化在矩陣分析中的輔助作用在矩陣秩的計(jì)算中應(yīng)用02030401階梯形行列式循環(huán)行列式的性質(zhì)循環(huán)行列式的值不隨行列式的移位變化循環(huán)行列式的值與行列式的階數(shù)有關(guān)循環(huán)行列式可以通過(guò)特殊方法簡(jiǎn)化計(jì)算循環(huán)行列式的定義循環(huán)行列式是指行列式的每一行（或列）都是前一行（或列）經(jīng)