成考（專升本）高數(shù)（一）多元函數(shù)的極值與最值Catalogue目錄01多元函數(shù)極值與最值概述02多元函數(shù)的極值求解03多元函數(shù)的最值求解01多元函數(shù)極值與最值概述多元函數(shù)的定義多元函數(shù)指的是一個或多個自變量與一個因變量之間的依賴關(guān)系多元函數(shù)通常表示為

z

=

f(x,

y)，其中

x,

y

是自變量，z

是因變量多元函數(shù)可以是二元函數(shù)、三元函數(shù)，甚至更多元的函數(shù)01多元函數(shù)的圖像理解二元函數(shù)的圖像通常為空間中的曲面三元函數(shù)及以上多元函數(shù)的圖像難以直接在三維空間中表示多元函數(shù)的圖像可以通過等高線圖或切片圖來輔助理解02多元函數(shù)的幾何意義多元函數(shù)的幾何意義在于描述多變量之間的變化關(guān)系函數(shù)值的變化可以通過幾何圖形的形狀和位置來體現(xiàn)幾何圖形的邊界和特殊點往往對應(yīng)函數(shù)的極值和最值03多元函數(shù)的分類根據(jù)自變量的個數(shù)，可以分為二元函數(shù)、三元函數(shù)等根據(jù)函數(shù)表達(dá)式是否線性，可以分為線性函數(shù)和非線性函數(shù)根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，可以分為連續(xù)函數(shù)和可導(dǎo)函數(shù)04多元函數(shù)的概念最值是指函數(shù)在整個定義域內(nèi)的最大值或最小值最值是全局性的概念，而非局部性的最值可能出現(xiàn)在函數(shù)的邊界上或者定義域內(nèi)的特定點極值是指函數(shù)在某個局部范圍內(nèi)的最大值或最小值函數(shù)在某點取得極值，意味著在該點的函數(shù)值大于（或小于）其鄰近點的函數(shù)值極值可以是相對的，也可以是絕對的極值是局部性質(zhì)，最值是全局性質(zhì)某些極值點可能是最值點，但不是所有極值點都是最值點最值點是極值點的一個子集極值的定義最值的定義極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別求解極值通常使用偏導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)測試求解最值需要考慮函數(shù)的邊界點和內(nèi)部點求解最值問題可能需要利用拉格朗日乘數(shù)法極值與最值的求解方法概述極值與最值的區(qū)別偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)關(guān)于其中一個自變量的導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)描述了當(dāng)其他自變量保持不變時，函數(shù)值對某一自變量的變化率偏導(dǎo)數(shù)是研究多元函數(shù)極值的重要工具偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)為零的點可能是函數(shù)的極值點通過二階偏導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可以判斷極值點的類型偏導(dǎo)數(shù)在求解約束優(yōu)化問題中起著關(guān)鍵作用偏導(dǎo)數(shù)在極值求解中的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的計算可以通過直接求導(dǎo)來完成對于復(fù)合函數(shù)，可以使用鏈?zhǔn)椒▌t來求偏導(dǎo)數(shù)對于隱函數(shù)，可以通過隱函數(shù)求導(dǎo)法來求偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計算方法高階偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于多個自變量的多次偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)可以用來研究函數(shù)的凹凸性和拐點高階偏導(dǎo)數(shù)的計算需要依次對每個自變量求導(dǎo)高階偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)02多元函數(shù)的極值求解0204駐點的概念駐點是指函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零的點在駐點處，函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示該點在各個方向上的變化率為零駐點是尋找極值點的必要條件之一0103駐點與極值的關(guān)系駐點可能是極值點，也可能是鞍點或者拐點駐點是函數(shù)極值點的必要條件，但不是充分條件駐點的性質(zhì)需要進(jìn)一步判斷駐點的求解方法通過求解函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零的方程組來找到駐點對于多個變量的函數(shù)，需要解一個多變量方程組駐點的求解可能涉及線性代數(shù)的知識駐點的分類駐點可以分為極值點、鞍點和拐點極值點包括極大值點和極小值點鞍點不是極值點，但滿足駐點的條件極值的必要條件01二次導(dǎo)數(shù)判別法通過計算二次導(dǎo)數(shù)來判斷駐點的性質(zhì)如果二次導(dǎo)數(shù)在駐點正定，則該點是極小值點如果二次導(dǎo)數(shù)在駐點負(fù)定，則該點是極大值點二次導(dǎo)數(shù)判別法03使用Hessian矩陣和二次導(dǎo)數(shù)判別法判定極值點駐點處的Hessian矩陣正定，則該點為極小值點駐點處的Hessian矩陣負(fù)定，則該點為極大值點極值點的判定準(zhǔn)則02Hessian矩陣是函數(shù)二次導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣通過Hessian矩陣的正定性可以判斷駐點的極值性質(zhì)Hessian矩陣的特征值決定了駐點的性質(zhì)Hessian矩陣的應(yīng)用04通過多元函數(shù)的Taylor展開證明充分條件利用數(shù)學(xué)分析中的極限理論和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行證明證明過程涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)充分條件的證明過程極值的充分條件求解駐點求解函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零的方程組使用代數(shù)方法或數(shù)值方法求解方程組確定所有可能的駐點計算Hessian矩陣在每個駐點處計算Hessian矩陣確保Hessian矩陣的每個元素都正確計算分析Hessian矩陣的特征值和正定性判定駐點的性質(zhì)根據(jù)Hessian矩陣的正定性判定駐點的性質(zhì)分析駐點是極大值點、極小值點還是鞍點忽略非極值點010203求解極值點在判定為極值的駐點處求出函數(shù)值比較所有極值點的函數(shù)值確定函數(shù)的極大值和極小值04極值的求解步驟03多元函數(shù)的最值求解拉格朗日乘數(shù)法通過引入乘數(shù)將約束條件轉(zhuǎn)化為無約束問題利用函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于0來尋找極值點求解包含乘數(shù)的方程組得到可能的極值點拉格朗日乘數(shù)法的應(yīng)用在工程和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中尋找最大利潤或最小成本用于解決物理和化學(xué)中的最優(yōu)化問題在機(jī)器學(xué)習(xí)算法中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)約束條件的處理方法將不等式約束轉(zhuǎn)化為等式約束通過變換或參數(shù)化簡化約束條件利用罰函數(shù)法將約束問題轉(zhuǎn)化為無約束問題拉格朗日乘數(shù)法的證明利用多元函數(shù)的極值必要條件通過構(gòu)造拉格朗日函數(shù)證明極值點的存在通過微分學(xué)中的隱函數(shù)定理證明乘數(shù)的存在性約束條件下的最值無約束條件下的最值應(yīng)用在生產(chǎn)優(yōu)化中尋找最優(yōu)生產(chǎn)方案在經(jīng)濟(jì)學(xué)中求解成本最小化或收益最大化問題在工程設(shè)計中找到最優(yōu)設(shè)計參數(shù)無約束條件下的最值實例分析分析具體函數(shù)的最大值和最小值通過實例說明最值求解的步驟討論最值求解在實際問題中的應(yīng)用無約束條件下的最值定義定義全局最大值和最小值局部最大值和最小值的區(qū)別無約束條件下的最值存在的條件無約束條件下的最值求解方法利用偏導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)測試極值通過梯度下降或梯度上升法尋找最值使用數(shù)值方法如牛頓法或擬牛頓法求解無約束條件下的最值最值與極值的區(qū)別最值是全局概念，極值是局部概念最值與極值求解方法的差異最值與極值在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用最值的存在性最值存在的必要條件最值存在性的證明方法