成考（專升本）高數(shù)（一）極值的必要條件、充分條件CONTENTS目錄極值的基本概念01極值求解方法04極值的必要條件02極值的充分條件0301極值的基本概念極大值與極小值的定義極大值是指函數(shù)在某一點(diǎn)的值大于其附近點(diǎn)的值極小值是指函數(shù)在某一點(diǎn)的值小于其附近點(diǎn)的值這些定義適用于局部范圍內(nèi)的比較局部極值與全局極值局部極值指在一點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)函數(shù)值最大或最小全局極值指在整個(gè)定義域內(nèi)函數(shù)值最大或最小局部極值不一定是全局極值極值點(diǎn)的概念極值點(diǎn)是函數(shù)取得極值的點(diǎn)該點(diǎn)的函數(shù)值在局部范圍內(nèi)是最大或最小的極值點(diǎn)可以是函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系函數(shù)在駐點(diǎn)處可能取得極值函數(shù)在不可導(dǎo)點(diǎn)也可能取得極值導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可以用來(lái)判斷極值極值的定義不可導(dǎo)點(diǎn)與極值03不可導(dǎo)點(diǎn)可能是極值點(diǎn)例如，絕對(duì)值函數(shù)在原點(diǎn)是極小值點(diǎn)但不可導(dǎo)不可導(dǎo)點(diǎn)可以是函數(shù)的尖點(diǎn)或間斷點(diǎn)端點(diǎn)與極值04函數(shù)的端點(diǎn)可能是極值點(diǎn)端點(diǎn)的函數(shù)值與內(nèi)部點(diǎn)的函數(shù)值比較確定極值端點(diǎn)極值需要單獨(dú)考慮可導(dǎo)函數(shù)與極值02可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零是極值點(diǎn)的必要條件導(dǎo)數(shù)的正負(fù)變化是判斷極值點(diǎn)的充分條件連續(xù)函數(shù)與極值01連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)必有最大值和最小值極值點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部或端點(diǎn)連續(xù)性是極值存在的基礎(chǔ)極值的存在條件01利用極值解決最大利潤(rùn)、最小成本問(wèn)題通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型求解實(shí)際問(wèn)題中的極值極值求解有助于優(yōu)化決策實(shí)際問(wèn)題的極值求解02物理學(xué)中尋找物體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)求解力學(xué)系統(tǒng)中的平衡位置利用極值原理解釋自然現(xiàn)象物理中的極值問(wèn)題03經(jīng)濟(jì)學(xué)中尋找成本最小化或收益最大化價(jià)格函數(shù)的極值分析市場(chǎng)需求和供給極值原理在經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)中的極值問(wèn)題04設(shè)計(jì)中尋找結(jié)構(gòu)的最優(yōu)參數(shù)通過(guò)極值分析提高材料的強(qiáng)度和穩(wěn)定性極值在工程優(yōu)化中的應(yīng)用工程設(shè)計(jì)中的極值問(wèn)題極值的應(yīng)用場(chǎng)景02極值的必要條件01第一導(dǎo)數(shù)定義第一導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線斜率描述了函數(shù)在該點(diǎn)的變化率是尋找極值點(diǎn)的關(guān)鍵工具02第一導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的判定若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)且第一導(dǎo)數(shù)為零，則該點(diǎn)是第一導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，但需進(jìn)一步判斷零點(diǎn)的判定依賴于導(dǎo)數(shù)的計(jì)算03第一導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與極值的關(guān)系第一導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件之一但不是所有第一導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)都是極值點(diǎn)需結(jié)合第一導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化來(lái)確定04第一導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用用于尋找函數(shù)的局部極值是求解最優(yōu)化問(wèn)題的基礎(chǔ)在實(shí)際應(yīng)用中廣泛用于各種優(yōu)化決策第一導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化與極值的關(guān)系第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)從正變負(fù)或從負(fù)變正，對(duì)應(yīng)極值點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)不變，函數(shù)無(wú)極值符號(hào)變化是極值存在的必要條件第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的意義第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化表示函數(shù)的增減性改變用于判斷函數(shù)的單調(diào)性是確定極值點(diǎn)的重要依據(jù)第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的判定方法通過(guò)計(jì)算第一導(dǎo)數(shù)在不同區(qū)間的符號(hào)觀察第一導(dǎo)數(shù)圖像的走勢(shì)利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)變化判斷第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的應(yīng)用實(shí)例在函數(shù)圖像上找極值點(diǎn)用于解決實(shí)際生活中的最大最小值問(wèn)題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中分析成本和收益的變化第一導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能是拐點(diǎn)或平穩(wěn)點(diǎn)駐點(diǎn)的判斷依賴于導(dǎo)數(shù)或微分駐點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，需進(jìn)一步分析駐點(diǎn)的性質(zhì)決定于二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)用于確定函數(shù)的局部極值是解決優(yōu)化問(wèn)題的重要步驟在工程和科學(xué)計(jì)算中廣泛應(yīng)用計(jì)算導(dǎo)數(shù)并找出為零的點(diǎn)檢查導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)利用微分方程求解駐點(diǎn)駐點(diǎn)的定義駐點(diǎn)的判定方法駐點(diǎn)在極值求解中的應(yīng)用駐點(diǎn)與極值的關(guān)系駐點(diǎn)與極值03極值的充分條件第二導(dǎo)數(shù)是一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)曲線的凹凸性是判斷函數(shù)極值的重要工具01當(dāng)?shù)诙?dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)曲線是凹的當(dāng)?shù)诙?dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)曲線是凸的當(dāng)?shù)诙?dǎo)數(shù)等于0時(shí)，需進(jìn)一步判斷02第二導(dǎo)數(shù)大于0，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是極小值點(diǎn)第二導(dǎo)數(shù)小于0，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是極大值點(diǎn)第二導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)，不能直接判斷極值03用于判斷函數(shù)的凹凸性用于求函數(shù)的極值點(diǎn)用于分析函數(shù)的變化趨勢(shì)04第二導(dǎo)數(shù)的定義第二導(dǎo)數(shù)正負(fù)的判定第二導(dǎo)數(shù)正負(fù)與極值的關(guān)系第二導(dǎo)數(shù)正負(fù)的應(yīng)用第二導(dǎo)數(shù)正負(fù)01020304第二導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的意義反映函數(shù)曲線的拐點(diǎn)表示函數(shù)的凹凸性發(fā)生改變是尋找極值點(diǎn)的重要依據(jù)第二導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的判定方法檢查第二導(dǎo)數(shù)的根判斷根的左右兩側(cè)第二導(dǎo)數(shù)的符號(hào)利用二階導(dǎo)數(shù)測(cè)試第二導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化與極值的關(guān)系第二導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化點(diǎn)可能是極值點(diǎn)符號(hào)變化前的凹凸性與符號(hào)變化后的凹凸性相反極值點(diǎn)出現(xiàn)在凹凸性改變的地方第二導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化的應(yīng)用實(shí)例解決實(shí)際問(wèn)題中的極值問(wèn)題在工程和物理學(xué)中的應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問(wèn)題第二導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化確定函數(shù)的拐點(diǎn)和拐向識(shí)別和分類極值點(diǎn)解決復(fù)雜的極值問(wèn)題04高階導(dǎo)數(shù)可以幫助判斷極值的類型某些高階導(dǎo)數(shù)的特定值可以確定極值點(diǎn)高階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可以指示極值的存在02通過(guò)高階導(dǎo)數(shù)判定定理利用泰勒展開分析函數(shù)的穩(wěn)定性03高階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)的加速度和變化率的變化是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具01高階導(dǎo)數(shù)的概念高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法高階導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)在極值求解中的應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)04極值求解方法第一導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)變號(hào)時(shí)，該點(diǎn)為極值點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)不適用于不可導(dǎo)點(diǎn)第一導(dǎo)數(shù)求解極值第二導(dǎo)數(shù)大于零時(shí)，該點(diǎn)為極小值第二導(dǎo)數(shù)小于零時(shí)，該點(diǎn)為極大值第二導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，需進(jìn)一步判斷第二導(dǎo)數(shù)求解極值高階導(dǎo)數(shù)用于判斷高次導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)高階導(dǎo)數(shù)可以幫助確定極值的類型高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算復(fù)雜，適用于特定情況高階導(dǎo)數(shù)求解極值綜合應(yīng)用求導(dǎo)法可以精確找到極值點(diǎn)結(jié)合不同導(dǎo)數(shù)可以避免誤判求導(dǎo)法在處理復(fù)雜函數(shù)時(shí)非常有效求導(dǎo)法的綜合應(yīng)用求導(dǎo)法構(gòu)造法的原理構(gòu)造法通過(guò)構(gòu)建輔助函數(shù)來(lái)求解極值原理基于函數(shù)的性質(zhì)和條件構(gòu)造法可以簡(jiǎn)化問(wèn)題求解構(gòu)造法的應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例包括不等式的證明和極值求解構(gòu)造法在優(yōu)化問(wèn)題中也有應(yīng)用實(shí)例展示了構(gòu)造法的靈活性和有效性構(gòu)造法的局限性構(gòu)造法不適用于所有類型的函數(shù)需要較強(qiáng)的邏輯思維和創(chuàng)造力結(jié)果的正確性依賴于構(gòu)造的合理性構(gòu)造法與求導(dǎo)法的結(jié)合結(jié)合構(gòu)造法和求導(dǎo)法可以提高求解精度可以相互驗(yàn)證結(jié)果的正確性結(jié)合使用可以解決更復(fù)雜的問(wèn)題構(gòu)造法圖像法的原理圖像法通過(guò)觀察函數(shù)圖像來(lái)估計(jì)極值原理基于函數(shù)圖像的凹凸性和單調(diào)性圖像法直觀但不夠精確圖像法的應(yīng)用步驟繪制函數(shù)圖像