第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分一、問題的提出二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、小結(jié)思考題一元函數(shù)微積分學(xué)一、問題的提出1.【自由落體運動的瞬時速度問題】如圖,取極限得切線的一般定義:如圖設(shè)有曲線C及C上一點M，在M點外任取C上一點N，作割線MN，當(dāng)點N沿曲線C趨向點M時，如果割線MN趨向于它的極限位置MT，則稱直線MT為曲線C在點M處的切線.TMxy0NCN2.【切線問題】割線的極限位置——切線位置LMxyoTN在點求曲線L：處切線的斜率。割線

MN

的斜率為：

2.【切線問題】割線的極限位置——切線位置切線MT

的斜率為：【兩個問題的共性】瞬時速度切線斜率所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限.則稱函數(shù)二、導(dǎo)數(shù)的定義——“點導(dǎo)數(shù)”定義1.【定義】設(shè)函數(shù)在點存在,并稱此極限是函數(shù)記作:即若的某鄰域內(nèi)有定義,在點處可導(dǎo),在點的導(dǎo)數(shù).“點導(dǎo)數(shù)”定義式常見形式【注】函數(shù)在處可導(dǎo)，也說在具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.若上述極限不存在，則說此點不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.①“點導(dǎo)數(shù)”是因變量在x0處的變化率,它反映了x0處因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.【關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明】③如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間I內(nèi)的每點處都可導(dǎo),就稱函數(shù)在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo).為方便見,往往說函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)為

,即具有無窮導(dǎo)數(shù).②若在不可導(dǎo)是由于時所至;④f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作⑤【注意】導(dǎo)函數(shù)定義式【步驟】【例1】【解】即2.【求導(dǎo)舉例】【例2】【解】更一般地［例如］常用公式即【例3】【解】即類似可得正減余在先【例4】【解】【例5】【解】即【例6

】證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).【證】不存在,由本例引出以下概念(2)右導(dǎo)數(shù):3.

【單側(cè)導(dǎo)數(shù)】(1)左導(dǎo)數(shù):(3)可導(dǎo)的充要條件【定理】【注】分段函數(shù)在分界點處的導(dǎo)數(shù)一般要用該定理判定.【例如】例6中在

x=0處有(4)閉區(qū)間可導(dǎo)(5)分段函數(shù)可導(dǎo)性

(重點

難點)試求f

(x).步驟：1.先在開區(qū)間內(nèi)求導(dǎo).2.再用導(dǎo)數(shù)定義求分界點的導(dǎo)數(shù).【補例】【解】三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.【幾何意義】曲線在點的切線斜率為若切線與x軸平行,稱為駐點;處的曲線在點切線方程:法線方程:【注】若即此示:曲線在該點有垂直于x軸的切線【例7】【解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率為切線方程為法線方程為四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系【定理】凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).【證Ⅰ】即：可導(dǎo)必連續(xù).【證Ⅱ】【注意】

逆命題不成立，即連續(xù)不一定可導(dǎo).【反例】在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).5.

求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).五、小結(jié)1.

導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):增量比的極限;（三種定義形式）3.

幾何意義:導(dǎo)數(shù)—切線的斜率;4.

可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)（兩者關(guān)系）（可導(dǎo)充要條件）已學(xué)求導(dǎo)公式第二節(jié)函數(shù)的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、例題分析三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式六、小結(jié)本節(jié)內(nèi)容【思路】(構(gòu)造性定義

)求導(dǎo)法則其它基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導(dǎo)問題一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則【定理】【證】略【推論】有限項有限項二、例題分析【例1】【解】【例2】【解】［注意］【例3】【解】同理可得即【例4】【解】同理可得即【注意】[練習(xí)]——四則運算求導(dǎo)法則的練習(xí)三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則【定理】【結(jié)論】(直接)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).【證】(自閱)【例1】【解】1)∵則類似可求得利用,則【例2】【解】特別地即小結(jié):四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對于等復(fù)合函數(shù)，存在兩個問題：(1)它們是否可導(dǎo)？(2)若可導(dǎo)，如何求導(dǎo)？以下法則回答了這兩個問題.【定理】即因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t)[例如]【推廣】此法則可推廣到多個中間變量的情形.【例3】【解】【關(guān)鍵】

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).【例4】【解】【例5】【解】【例6】【解】【例7】【解】【例8】設(shè)求【解】【證】(1)【例9】求下列導(dǎo)數(shù)(設(shè)x>0):五、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1.【常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式】2.【函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則】設(shè))(),(xvvxuu==可導(dǎo)，則（1）vuvu

￠￠=￠

)(,（2）uccu￠=￠)(（3）vuvuuv￠+￠=￠)(,

（4）)0()(21￠-￠=￠vvvuvuvu.(是常數(shù))3.【反函數(shù)的求導(dǎo)法則】4.【復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則】—充分性利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.【補例】【解】求先化簡再求導(dǎo)六、小結(jié)任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.【關(guān)鍵】正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).至此，初等函數(shù)的求導(dǎo)問題全部解決.第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例三、小結(jié)思考題一、高階導(dǎo)數(shù)的定義【問題】變速直線運動的加速度.【定義】或記作或類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為n

階導(dǎo)數(shù),或依次類推,分別記作二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).二階導(dǎo)函數(shù):二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例【例1】【解】1.【直接法】由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).——又稱逐階求導(dǎo)法證明【例2】【解】2.【利用歸納法】特別有:設(shè)求【解】【例3】設(shè)求一般地,類似可證:利用歸納法求n階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明,可省略)【注意】【解】規(guī)定0!=1【例4】

設(shè)求【例5】【解】設(shè)求依次類推,［思考］設(shè)問可得三、內(nèi)容小結(jié)(1)直接法(又稱逐階求導(dǎo)法)(2)利用歸納法高階導(dǎo)數(shù)的求法第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、對數(shù)求導(dǎo)法三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、小結(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【定義】隱函數(shù)的顯化【問題】隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?【隱函數(shù)求導(dǎo)方法】用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).如能夠顯化.確定隱函數(shù)，但不能顯化.兩邊對

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)(注意y=y(x))【例1】【解】解得【注意】求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)果中允許含有因變量y.【例2】【解】解得【例3】［自己分析解題思路］【解】所求切線斜率解得從而于是切線方程為即二、對數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù),如何求導(dǎo)?

【對數(shù)】能夠化乘、除為加、減(和差)；而和、差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和、差,使求導(dǎo)運算簡單.【方法】先在方程兩邊取對數(shù),化為由加減項組成的隱函數(shù)，然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-----對數(shù)求導(dǎo)法【適用范圍】【例4】設(shè)【解】等式兩邊取對數(shù)得【例5】【解】兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導(dǎo)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例如】消去參數(shù)【問題】

消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?參數(shù)方程求導(dǎo)公式.【例6】【解】【例7】【解】【解】先求切點坐標(biāo)再求切線的斜率代入點斜式，得切線的方程即參數(shù)方程求導(dǎo)法練習(xí)習(xí)題2-4P111-1125、6、7本節(jié)作業(yè)題習(xí)題2-4P111-1121(2)(4)、

4(1)(3)、

5(1)、

6、

7(1).四、小結(jié)【隱函數(shù)求導(dǎo)法則】直接對方程兩邊求導(dǎo);【對數(shù)求導(dǎo)法】【參數(shù)方程求導(dǎo)】適用于冪指函數(shù)及某些用連乘、連除、乘方、開方表示的函數(shù).參數(shù)方程求導(dǎo)公式.第五節(jié)函數(shù)的微分一、問題的提出二、微分的定義三、可微的條件四、微分的幾何意義五、微分公式與微分法則六、小結(jié)思考題一、問題的提出【實例】正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.【問題】這個線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有這個特點?它是什么?如何求?二、微分的定義【定義】(微分的實質(zhì))三、可微的條件（充要性）【定理】【證】(1)(2)【例1】【解】四、微分的幾何意義MNT）【幾何意義】(如圖)PQ△y≈dy五、微分公式與微分法則【求法】計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再乘以自變量的微分.1.【基本初等函數(shù)的微分公式】2.【函數(shù)和、差、積、商的微分法則】【例2】【解】【結(jié)論】微分形式的不變性3.【復(fù)合函數(shù)的微分法則】（微分形式的不變性）對誰求導(dǎo)乘以誰的微分【例3】【解】【解】【例4】在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.六、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:★★第六節(jié)洛必達(dá)法則三、小結(jié)思考題二、0·∞,∞-∞,00,1∞,∞0型未定式解法—洛必達(dá)法則

存在(或為)[定理](洛必達(dá)法則)[推論1]定理1中換為下列過程之一:[推論2]

若必達(dá)法則條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達(dá)法則[注]（證明略）[例1][解][例2][解]例題部分[注意]

1.

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!2.

由此可見，在使用洛必達(dá)法則時應(yīng)步步整理、步步判別。如果不是未定式就堅決不能用洛必達(dá)法則。[例3][解][例4][解]或等價無窮小代換更簡單[例5][解][例6][解](1)

相繼應(yīng)用洛必達(dá)法則n次，得(2)兩例實際為無窮大的比較，高階無窮大,……[說明](1)

上兩例表明時,后者比前者趨于更快.[說明]洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.[課本例10][解]或上式二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0

型未定式解法[補例][解][關(guān)鍵]將以上類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型[解法]注：以下寫法僅是記號1.[0·∞]型轉(zhuǎn)化[課本例8][解][解法]2.

[∞－∞]型轉(zhuǎn)化[補充練習(xí)]3.

[00,1∞,∞0]

型——冪指函數(shù)類以下舉例說明[例9][解]第七節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

與曲線的凹凸性一、單調(diào)性的判別法二、單調(diào)區(qū)間求法三、單調(diào)性小結(jié)四、曲線凹凸的定義五、曲線凹凸的判定六、曲線的拐點及其求法七、凹凸性小結(jié)一、單調(diào)性的判別法[定理1][證]（1）應(yīng)用拉氏定理,得(2)同理可證。例題部分——單調(diào)性應(yīng)用[注]定理中區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍成立.應(yīng)用1:判斷函數(shù)的單調(diào)性(或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)[例1]判定函數(shù)y=x–sinx

在[0,2

]上的單調(diào)性.[解]因為

在(0,2

)內(nèi).故由定理1立得函數(shù)y=x–sinx

在[0,2

]上的單調(diào)增加.[例2][解][注意]函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．[說明

]1.單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.［例3］2.如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性

.［例5]

3.熟記單調(diào)區(qū)間的可能分界點(1)

駐點;(2)不可導(dǎo)點x=0不可導(dǎo)點二、單調(diào)區(qū)間求法[方法]小結(jié)：單調(diào)區(qū)間的求法步驟①求定義域②求駐點、不可導(dǎo)點(可能的分界點)④確定單調(diào)區(qū)間③列表考察f

(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號[課本例4]確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.[解]令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為[例6]證明當(dāng)x>1時,[證]應(yīng)用2:利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式三、單調(diào)性小結(jié)2.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別(充分性)在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減1.函數(shù)單調(diào)區(qū)間的可能分界點(1)

駐點;(2)不可導(dǎo)點3.單調(diào)性應(yīng)用:(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)利用單調(diào)性證明不等式.四、曲線凹凸的定義[問題]單調(diào)性不能反映曲線的彎曲方向；如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方[定義]設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱圖形是凸的.五、曲線凹凸與拐點的判定【觀察】[定理2](凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)[注]定理中區(qū)間I可以為閉區(qū)間也可為非閉區(qū)間.[例8][解][注意]這樣的點稱為曲線的拐點，［定義］連續(xù)曲線上凹凸的分界點

(x0

，f(x0))稱為拐點.內(nèi)點六、曲線的拐點及其求法1.可能(可疑)拐點的求法[分析]所以要尋求拐點,只要找出使f

(x)正負(fù)號發(fā)生變化的分界點即可.如果f

(x)連續(xù),則f

(x)的值在由負(fù)變正或由正變負(fù)的過程中,必在分界點處的值為零.即此外,f

(x)不存在的點也可能是拐點（如下圖）可能的拐點[總結(jié)]①②2.判定拐點的步驟由此可得求拐點的步驟如下:若在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)變號,則點(x0,f(x0))是拐點；

若在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,則點(x0,f(x0))不是拐點；

—可能的拐點[例11]判斷曲線的凹凸性及其拐點.[解]故曲線在上是凹的.[結(jié)論]由例8和例11可知：二階導(dǎo)數(shù)為零的點可能是拐點,

也可能不是拐點。[課本例12]

求曲線的拐點.[解]不存在因此點(0,0)

為曲線的拐點.凹凸[結(jié)論]2)此例說明了不存在的點也可能

是曲線的拐點.[課本例10]求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.[解]1)求2)求可能的拐點坐標(biāo)令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上是凹的,是凸的,點(0,1)

及均為拐點.函數(shù)的凹凸性拐點練習(xí)題習(xí)題3-4P1538(1)(3)、9(1)(2)、12函數(shù)的凹凸性拐點作業(yè)題習(xí)題3-4P1538(1)、9(1)、12七、曲線的凹凸性小結(jié)3.拐點的求法：1.找出可能拐點；2.判別.一階導(dǎo)符號定單調(diào)；二階導(dǎo)符號判凹凸可能拐點——1.

f

(x)=0的點

2.f

(x)不存在的點.1.曲線凹凸的判別2.拐點—連續(xù)曲線上的凹凸分界（內(nèi)點）點第七節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)極值的求法三、極值小結(jié)思考題四、最值的求法五、應(yīng)用舉例六、最值小結(jié)一、函數(shù)極值的定義1.[圖形分析]2.[定義]在其中當(dāng)時,(1)則稱為的極大點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點與極小點—極值點

.極大值與極小值—極值.3.[有關(guān)極值概念的幾點說明](1)極值是一個局部性的概念.且不一定唯一;不一定存在.(2)極大值不一定比極小值大，還可能相等.(3)由極值定義可知：極值只能在區(qū)間內(nèi)部取得—內(nèi)點，不能在區(qū)間的端點處取得—非邊界點.(4)對常見連續(xù)函數(shù),極值點可能出現(xiàn)在駐點或不可導(dǎo)點.為極大點為極小點不是極值點二、函數(shù)極值的求法①[定理1]②

[注意]［例如］（費瑪引理）即：可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件.(ⅰ)可導(dǎo)函數(shù)的極值點駐點,1.可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件(ⅱ)駐點極值點［例如］

y=|x|在x=0點.[定理2]

(極值第一判別法)2.判定極值的方法(1)第一充分條件(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(3)“左右不變號”,(自證)(不是極值點情形)(是極值點情形)[總結(jié)](1)可導(dǎo)函數(shù)的可能(可疑)極值點:①駐點;

(2)連續(xù)函數(shù)的可能(可疑)極值點:①駐點;②不可導(dǎo)點.

[例1]求函數(shù)的極值.[解]1)D=R，2)求極值可疑點令得是不可導(dǎo)點3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其