2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)簡單的三角恒等變換試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，則$\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$的值為（）A.$\frac{7\sqrt{2}}{10}$B.$-\frac{7\sqrt{2}}{10}$C.$\frac{\sqrt{2}}{10}$D.$-\frac{\sqrt{2}}{10}$化簡$\sin15^\circ\cos75^\circ+\cos15^\circ\sin105^\circ$的結(jié)果是（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$C.$1$D.$-\frac{1}{2}$若$\tan\theta=2$，則$\tan\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$的值為（）A.$-\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.$-3$D.$3$函數(shù)$f(x)=\sin2x+\cos2x$的最小正周期是（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$已知$\cos2\alpha=\frac{1}{3}$，則$\sin^4\alpha-\cos^4\alpha$的值為（）A.$-\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{3}$C.$-\frac{2}{3}$D.$\frac{2}{3}$函數(shù)$f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$的最大值為（）A.$1$B.$\sqrt{2}$C.$\sqrt{3}$D.$2$若$\alpha$，$\beta$均為銳角，且$\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，則$\alpha+\beta$的值為（）A.$\frac{\pi}{4}$B.$\frac{\pi}{2}$C.$\frac{3\pi}{4}$D.$\pi$化簡$\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{1+\cos\alpha}$的結(jié)果是（）A.$\tan\frac{\alpha}{2}$B.$\cot\frac{\alpha}{2}$C.$\sin\alpha$D.$\cos\alpha$已知函數(shù)$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，則下列說法正確的是（）A.$f(x)$的圖象關(guān)于點$\left(\frac{\pi}{6},0\right)$對稱B.$f(x)$的圖象關(guān)于直線$x=\frac{\pi}{6}$對稱C.$f(x)$在$\left[-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\right]$上單調(diào)遞增D.$f(x)$的最小正周期為$2\pi$若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{1}{3}$，則$\sin2\alpha$的值為（）A.$\frac{8}{9}$B.$-\frac{8}{9}$C.$\frac{4}{9}$D.$-\frac{4}{9}$在$\triangleABC$中，若$\sinA\cosB+\sinB\cosA=\frac{\sqrt{3}}{2}$，則角$C$的大小為（）A.$\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{3}$C.$\frac{2\pi}{3}$D.$\frac{5\pi}{6}$已知$\tan\alpha=3$，則$\frac{\sin2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\cos2\alpha}$的值為（）A.$\frac{7}{2}$B.$\frac{5}{2}$C.$3$D.$4$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}$，則$\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=$________。函數(shù)$f(x)=\sinx\cosx+\sqrt{3}\cos^2x-\frac{\sqrt{3}}{2}$的單調(diào)遞減區(qū)間是________。若$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，且$\sin2\alpha=\frac{1}{2}$，則$\alpha=$________。在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，若$\tanA+\tanB+\sqrt{3}=\sqrt{3}\tanA\tanB$，則角$C$的大小為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知$\tan\alpha=2$，求下列各式的值：（1）$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$；（2）$\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha$。（12分）化簡下列各式：（1）$\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$；（2）$\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin\alpha}-2\cos(\alpha+\beta)$。（12分）已知函數(shù)$f(x)=\sin2x-2\sin^2x$。（1）求$f(x)$的最小正周期；（2）求$f(x)$在區(qū)間$\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$上的最大值和最小值。（12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$，且$\cosA=\frac{3}{5}$，$\cosB=\frac{5}{13}$。（1）求$\sinC$的值；（2）若$a=13$，求$\triangleABC$的面積。（12分）已知函數(shù)$f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)\left(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$的部分圖象如圖所示（圖略，可根據(jù)條件推導(dǎo)），且$f(0)=1$，$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=0$，最小正周期為$\pi$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$上的值域。（12分）某游樂場有一個半徑為$10$米的圓形草坪，現(xiàn)要在草坪中心安裝一個旋轉(zhuǎn)噴水裝置，其噴水區(qū)域為一個扇形，設(shè)扇形的圓心角為$\theta$（弧度），且$\theta\in(0,\pi)$。若噴出的水流到草坪邊緣的距離為$10$米，水流的射程（即扇形半徑）為$r$米，且$r=10\sin\frac{\theta}{2}+5$。（1）求噴水區(qū)域面積$S$關(guān)于$\theta$的函數(shù)關(guān)系式；（2）當$\theta$為何值時，噴水區(qū)域的面積最大？最大面積是多少？參考答案及評分標準（部分提示）一、選擇題D2.C3.B4.B5.A6.A7.A8.A9.B10.B11.B12.A二、填空題$\frac{1}{3}$14.$\leftk\pi+\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{7\pi}{12}\right$15.$\frac{\pi}{12}$或$\frac{5\pi}{12}$16.$\frac{\pi}{3}$三、解答題（部分詳解）（1）原式$=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$；（2）原式$=\frac{\tan^2\alpha+\tan\alpha-2}{\tan^2\alpha+1}=\frac{4+2-2}{4+1}=\frac{4}{5}$。（1）原式$=\sin\left[\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right]=\sin\frac{\pi}{2}=1$；（2）原式$=\frac{\sin[(\alpha+\beta)+\alpha]-2\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin(\alpha+\beta)\cos\alpha-\cos(\alpha+\beta)\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}$。（1）$f(x)=\sin2x+\cos2x-1=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-1$，最小正周期$T=\pi$；（2）最大值為$\sqrt{2}-1$，最小值為$-2$。（1）$\sinA=\frac{4}{5}$，$\sinB=\frac{12}{13}$，$\sinC=\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB=\frac{56}{65}$；（2）由正弦定理得$b=15$，面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC=84$。（1）$A=2$，$\omega=2$，$\varphi=\frac{\pi}{6}$，$f(x)=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$；（2）值域為$[1,2]$。（1）$S=\frac{