2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)量綱分析初步試題一、選擇題（每題5分，共30分）下列物理量中，量綱為$L^2T^{-2}$的是（）A.速度B.加速度C.動(dòng)能D.功率答案：C解析：動(dòng)能公式為$E_k=\frac{1}{2}mv^2$，質(zhì)量量綱為$M$，速度量綱為$LT^{-1}$，則動(dòng)能的量綱為$M(LT^{-1})^2=ML^2T^{-2}$。選項(xiàng)中僅有動(dòng)能符合$L^2T^{-2}$（忽略質(zhì)量量綱$M$的干擾項(xiàng)）。用量綱分析法判斷，自由落體運(yùn)動(dòng)中下落時(shí)間$t$與高度$h$、重力加速度$g$的關(guān)系可能為（）A.$t=k\sqrt{\frac{h}{g}}$B.$t=k\sqrt{hg}$C.$t=k\frac{h}{g}$D.$t=k\frac{g}{h}$答案：A解析：設(shè)$t=kh^ag^b$，量綱方程為$T=L^a(LT^{-2})^b=L^{a+b}T^{-2b}$。對(duì)比兩邊量綱得：$\begin{cases}a+b=0\-2b=1\end{cases}$，解得$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$，故$t=k\sqrt{\frac{h}{g}}$。下列哪項(xiàng)是無(wú)量綱量（）A.頻率（$T^{-1}$）B.折射率（$n=\frac{c}{v}$）C.動(dòng)量（$MLT^{-1}$）D.體積（$L^3$）答案：B解析：折射率為光速$c$與介質(zhì)中速度$v$的比值，兩者量綱均為$LT^{-1}$，比值后量綱消去，為無(wú)量綱量。用量綱和諧原理判斷，方程$v^2=2as$（$v$為速度，$a$為加速度，$s$為位移）的量綱是否一致？（）A.一致B.僅左邊有量綱C.僅右邊有量綱D.無(wú)法判斷答案：A解析：左邊量綱$(LT^{-1})^2=L^2T^{-2}$；右邊量綱$LT^{-2}\cdotL=L^2T^{-2}$，兩邊量綱一致。若物理量$X$的量綱式為$L^1M^1T^{-2}$，則$X$可能是（）A.密度B.力C.壓強(qiáng)D.能量答案：B解析：力的定義式$F=ma$，量綱為$M\cdotLT^{-2}=LMT^{-2}$，與題干一致。在單擺周期公式$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$中，若擺長(zhǎng)$l$的單位由米改為厘米，重力加速度$g$的單位不變，則周期$T$的數(shù)值將（）A.擴(kuò)大10倍B.縮小10倍C.不變D.擴(kuò)大100倍答案：A解析：$l$單位改為厘米后，數(shù)值變?yōu)樵?00倍，代入公式$T\propto\sqrt{l}$，則$T$變?yōu)樵?\sqrt{100}=10$倍。二、填空題（每題6分，共24分）基本量綱通常包括長(zhǎng)度（$L$）、質(zhì)量（$M$）、時(shí)間（$T$），則功率（單位瓦特，$1W=1J/s$）的量綱式為________。答案：$ML^2T^{-3}$解析：功$W=Fs$的量綱為$MLT^{-2}\cdotL=ML^2T^{-2}$，功率$P=W/t$的量綱為$ML^2T^{-2}/T=ML^2T^{-3}$。已知彈簧振子周期$T$與質(zhì)量$m$、勁度系數(shù)$k$（量綱$MT^{-2}$）有關(guān)，設(shè)$T=km^ak^b$，則$a=$，$b=$。答案：$a=\frac{1}{2}$，$b=-\frac{1}{2}$解析：量綱方程$T=M^a(MT^{-2})^b=M^{a+b}T^{-2b}$，解得$\begin{cases}a+b=0\-2b=1\end{cases}$，即$a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$。無(wú)量綱量的主要作用是________和________。答案：簡(jiǎn)化物理模型；實(shí)現(xiàn)模型與原型的相似性分析解析：無(wú)量綱量消除單位影響，例如雷諾數(shù)可統(tǒng)一描述不同尺度流體運(yùn)動(dòng)的相似性。用量綱分析法推導(dǎo)單擺周期$T$的表達(dá)式時(shí)，若忽略重力加速度$g$，僅考慮擺長(zhǎng)$l$和質(zhì)量$m$，則得到的關(guān)系式形式為________（用$k$表示比例系數(shù)）。答案：無(wú)法推導(dǎo)（或量綱不完整）解析：$T$的量綱為$T$，而$l$（$L$）和$m$（$M$）無(wú)法組合出時(shí)間量綱，需引入$g$（$LT^{-2}$）才能構(gòu)建量綱和諧的關(guān)系式。三、計(jì)算題（共46分）（12分）已知物體所受滑動(dòng)摩擦力$f$與正壓力$N$、接觸面粗糙系數(shù)$\mu$有關(guān)，其中$\mu$為無(wú)量綱量。（1）寫出$f$的量綱式；（2）用量綱分析法證明$f=\muN$。解答：（1）摩擦力$f$的量綱與力相同，為$MLT^{-2}$。（2）設(shè)$f=k\mu^aN^b$，因$\mu$無(wú)量綱，量綱方程為$MLT^{-2}=(MLT^{-2})^b$，解得$b=1$，故$f=k\muN$。實(shí)驗(yàn)中$k=1$，即$f=\muN$。（14分）已知聲波在介質(zhì)中傳播速度$v$與介質(zhì)密度$\rho$（量綱$ML^{-3}$）、彈性模量$E$（量綱$ML^{-1}T^{-2}$）有關(guān)，（1）寫出$v$的量綱式；（2）用量綱分析法推導(dǎo)$v$的表達(dá)式。解答：（1）速度$v$的量綱為$LT^{-1}$。（2）設(shè)$v=k\rho^aE^b$，量綱方程為$LT^{-1}=(ML^{-3})^a(ML^{-1}T^{-2})^b=M^{a+b}L^{-3a-b}T^{-2b}$。對(duì)比量綱得：$\begin{cases}a+b=0\-3a-b=1\-2b=-1\end{cases}$，解得$b=\frac{1}{2},a=-\frac{1}{2}$，故$v=k\sqrt{\frac{E}{\rho}}$。（20分）物理現(xiàn)象中，球形物體在黏性流體中下落的收尾速度$v$可能與球體半徑$r$、流體密度$\rho$、黏度$\mu$（量綱$ML^{-1}T^{-1}$）、重力加速度$g$有關(guān)。（1）用$\pi$定理證明：存在無(wú)量綱量$\pi_1=\frac{v\rhor}{\mu}$和$\pi_2=\frac{v^2}{gr}$；（2）若實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)$v$與$r^2$成正比，試寫出$v$的最終表達(dá)式。解答：（1）變量總數(shù)$n=5$（$v,r,\rho,\mu,g$），基本量綱$m=3$（$L,M,T$），故無(wú)量綱量個(gè)數(shù)為$n-m=2$。選$r,\rho,\mu$為基本量，構(gòu)建無(wú)量綱量：$\pi_1=vr^a\rho^b\mu^c$，量綱方程$LT^{-1}\cdotL^a(ML^{-3})^b(ML^{-1}T^{-1})^c=1$，解得$a=-1,b=-1,c=-1$，即$\pi_1=\frac{v\rhor}{\mu}$（雷諾數(shù)）；$\pi_2=gr^d\rho^e\mu^f$，同理解得$\pi_2=\frac{v^2}{gr}$。（2）由$\pi_1=f(\pi_2)$及$v\proptor^2$，設(shè)$v=kr^2\rho^ag^b\mu^c$，結(jié)合量綱分析得$v=\frac{k\rhogr^2}{\mu}$（$k$為常數(shù)）。四、應(yīng)用題（20分）小明在實(shí)驗(yàn)室測(cè)量單擺周期，使用擺長(zhǎng)$l=1m$時(shí)，周期$T=2s$。若將擺長(zhǎng)調(diào)整為$0.25m$，重力加速度不變，求新周期$T'$；若在月球上（$g_{月}=\frac{1}{6}g_{地}$）重復(fù)原實(shí)驗(yàn)（$l=1m$），周期$T_{月}$為多少？解答：由單擺周期公式$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$：（1）$l'=0.25m=\frac{1}{4}l$，則$T'=2\pi\sqrt{\frac{l/4}{g}}=\frac{1}{2}T=1s$；（2）$g_{月}=\frac{1}{6}g_{地}$，則$T_{月}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g/6