2025年下學期高一數(shù)學每日一練（Day21）一、知識點講解1.1函數(shù)的單調性定義：設函數(shù)(f(x))的定義域為(I)，區(qū)間(D\subseteqI)。如果對于任意(x_1,x_2\inD)，當(x_1<x_2)時，都有(f(x_1)<f(x_2))，則稱(f(x))在區(qū)間(D)上是增函數(shù)；如果都有(f(x_1)>f(x_2))，則稱(f(x))在區(qū)間(D)上是減函數(shù)。判定方法：定義法：作差(f(x_1)-f(x_2))，判斷其正負；導數(shù)法：若(f'(x)>0)，則函數(shù)在區(qū)間內單調遞增；若(f'(x)<0)，則單調遞減（注：高一階段可暫用定義法）。常見函數(shù)單調性：一次函數(shù)(y=kx+b)：當(k>0)時單調遞增，(k<0)時單調遞減；二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)：當(a>0)時，在((-\infty,-\frac{2a}])單調遞減，在([-\frac{2a},+\infty))單調遞增；反比例函數(shù)(y=\frac{k}{x})：當(k>0)時，在((-\infty,0))和((0,+\infty))上單調遞減。1.2函數(shù)的奇偶性定義：設函數(shù)(f(x))的定義域關于原點對稱。如果對于任意(x)，都有(f(-x)=f(x))，則稱(f(x))為偶函數(shù)；如果對于任意(x)，都有(f(-x)=-f(x))，則稱(f(x))為奇函數(shù)。性質：偶函數(shù)圖像關于(y)軸對稱，奇函數(shù)圖像關于原點對稱；奇函數(shù)在(x=0)處有定義時，(f(0)=0)；奇偶函數(shù)的運算：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。1.3復合函數(shù)的單調性復合函數(shù)：設(y=f(u))，(u=g(x))，則(y=f(g(x)))稱為復合函數(shù)。單調性法則：“同增異減”，即：若(u=g(x))與(y=f(u))的單調性相同，則(y=f(g(x)))為增函數(shù)；若單調性相反，則(y=f(g(x)))為減函數(shù)。二、例題解析例1：判斷函數(shù)單調性題目：證明函數(shù)(f(x)=x^2-2x+3)在區(qū)間([1,+\infty))上單調遞增。解析：任取(x_1,x_2\in[1,+\infty))，且(x_1<x_2)，則：[\begin{align*}f(x_2)-f(x_1)&=(x_2^2-2x_2+3)-(x_1^2-2x_1+3)\&=(x_2^2-x_1^2)-2(x_2-x_1)\&=(x_2-x_1)(x_2+x_1-2)\end{align*}]因為(x_1<x_2)，所以(x_2-x_1>0)。又因為(x_1,x_2\geq1)，所以(x_2+x_1-2\geq1+1-2=0)，且當(x_1=x_2=1)時等號成立。由于(x_1<x_2)，故(x_2+x_1-2>0)。因此(f(x_2)-f(x_1)>0)，即(f(x_2)>f(x_1))。結論：函數(shù)(f(x))在([1,+\infty))上單調遞增。例2：判斷函數(shù)奇偶性題目：判斷函數(shù)(f(x)=\frac{x^3}{x^2-1})的奇偶性。解析：首先確定定義域：(x^2-1\neq0\Rightarrowx\neq\pm1)，定義域為((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty))，關于原點對稱。計算(f(-x))：[f(-x)=\frac{(-x)^3}{(-x)^2-1}=\frac{-x^3}{x^2-1}=-f(x)]結論：函數(shù)(f(x))為奇函數(shù)。例3：復合函數(shù)單調性題目：求函數(shù)(y=\sqrt{x^2-4x+3})的單調遞減區(qū)間。解析：求定義域：(x^2-4x+3\geq0\Rightarrow(x-1)(x-3)\geq0\Rightarrowx\leq1)或(x\geq3)，定義域為((-\infty,1]\cup[3,+\infty))。分解復合函數(shù)：設(u=x^2-4x+3)，則(y=\sqrt{u})。(y=\sqrt{u})在([0,+\infty))上單調遞增；(u=x^2-4x+3)的對稱軸為(x=2)，在((-\infty,2])上單調遞減，在([2,+\infty))上單調遞增。結合定義域：在((-\infty,1])上，(u=x^2-4x+3)單調遞減，而(y=\sqrt{u})單調遞增，由“同增異減”知復合函數(shù)單調遞減；在([3,+\infty))上，(u=x^2-4x+3)單調遞增，復合函數(shù)單調遞增。結論：單調遞減區(qū)間為((-\infty,1])。例4：單調性與奇偶性綜合應用題目：已知(f(x))是定義在(R)上的奇函數(shù)，且在([0,+\infty))上單調遞增，解不等式(f(x-1)<0)。解析：因為(f(x))是奇函數(shù)，所以(f(0)=0)；又(f(x))在([0,+\infty))上單調遞增，故在((-\infty,0])上也單調遞增（奇函數(shù)在對稱區(qū)間單調性一致）；不等式(f(x-1)<0=f(0))等價于(x-1<0)，解得(x<1)。結論：不等式的解集為((-\infty,1))。三、練習題基礎題判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)(f(x)=2x^3-x)(2)(g(x)=\sqrt{x^2-1}+\sqrt{1-x^2})(3)(h(x)=\frac{|x|}{x})證明函數(shù)(f(x)=\frac{1}{x})在區(qū)間((0,+\infty))上單調遞減。求函數(shù)(f(x)=-x^2+4x-5)的單調遞增區(qū)間。提升題已知函數(shù)(f(x)=x^2+ax+b)在區(qū)間((-\infty,1])上單調遞減，求實數(shù)(a)的取值范圍。若(f(x)=(m-1)x^2+mx+3)是偶函數(shù)，求(m)的值及(f(x))的單調區(qū)間。求復合函數(shù)(y=(x^2-2x)^2-3(x^2-2x)+2)的單調遞增區(qū)間。綜合題已知定義在(R)上的偶函數(shù)(f(x))在([0,+\infty))上單調遞減，且(f(2)=0)，解不等式(f(x-1)>0)。設函數(shù)(f(x)=\frac{ax+b}{x+c})（(a,b,c)為常數(shù)）是奇函數(shù)，且(f(1)=2)，(f(2)=\frac{5}{2})。(1)求(a,b,c)的值；(2)判斷(f(x))在((0,+\infty))上的單調性，并證明。已知函數(shù)(f(x)=x|x-2|)，(1)畫出函數(shù)圖像；(2)寫出函數(shù)的單調區(qū)間；(3)求(f(x))在區(qū)間([-1,3])上的最大值和最小值。拓展題定義在((0,+\infty))上的函數(shù)(f(x))滿足：對任意(x,y>0)，都有(f(xy)=f(x)+f(y))，且當(x>1)時，(f(x)>0)。(1)求(f(1))的值；(2)證明(f(x))在((0,+\infty))上單調遞增；(3)若(f(3)=1)，解不等式(f(x)+f(x-2)>1)。參考答案（部分提示）：題1：(1)奇函數(shù)；(2)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(3)奇函數(shù)。題3：單調遞增區(qū)間為((-\infty,2])。題5：(m=0)，單調遞增區(qū)間((-\infty,0])，單調遞減區(qū)間([0,+\infty))。題7：