2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.在數(shù)軸上有M，N，P三點(diǎn)，其中點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別是2和－3，且滿足MN＝3NP，則點(diǎn)N的坐標(biāo)可以是（）A.$\frac{7}{4}$B.$-\frac{7}{4}$C.$-\frac{11}{2}$D.$-\frac{1}{3}$解析：設(shè)N的坐標(biāo)為x，由數(shù)軸上向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式得：MN=x-2，NP=-3-x。根據(jù)MN=3NP，可得x-2=3(-3-x)，解得x=$-\frac{7}{4}$；若考慮向量方向相反的情況，MN=2-x，NP=x-(-3)=x+3，則2-x=3(x+3)，解得x=$-\frac{7}{4}$。綜上，N的坐標(biāo)為$-\frac{7}{4}$，答案選B。2.已知A(2，3)，B(4，2)，C(1，$\frac{1}{2}$)，D為線段AB的中點(diǎn)，則|CD|＝（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{2}$C.$2\sqrt{2}$D.$\sqrt{5}$解析：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D的坐標(biāo)為$\left(\frac{2+4}{2},\frac{3+2}{2}\right)=(3,\frac{5}{2})$。向量$\overrightarrow{CD}=(3-1,\frac{5}{2}-\frac{1}{2})=(2,2)$，則|CD|=$\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，答案選C。3.已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(-1,2)$，則$\vec{a}-2\vec$的坐標(biāo)為（）A.(4，－1)B.(3，－1)C.(4，1)D.(3，1)解析：$\vec{a}-2\vec=(2,3)-2(-1,2)=(2+2,3-4)=(4,-1)$，答案選A。4.已知點(diǎn)A(1，2)，將向量$\overrightarrow{OA}$繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到$\overrightarrow{OB}$，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A.(－2，1)B.(2，－1)C.(－1，2)D.(1，－2)解析：設(shè)$\overrightarrow{OA}=(a,b)$，旋轉(zhuǎn)90°后坐標(biāo)變?yōu)?-b,a)。$\overrightarrow{OA}=(1,2)$，則$\overrightarrow{OB}=(-2,1)$，答案選A。5.已知向量$\vec{a}=(m,1)$，$\vec=(1,-2)$，若$\vec{a}\parallel\vec$，則m的值為（）A.1B.2C.$-\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{2}$解析：向量共線的坐標(biāo)條件為$m\times(-2)-1\times1=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$，答案選C。6.已知向量$\vec{a}=(3,4)$，則與$\vec{a}$方向相反的單位向量為（）A.$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$B.$\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$C.$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$D.$\left(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5}\right)$解析：$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，單位向量為$\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$，方向相反則為$\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$，答案選B。7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,3)，若向量$\overrightarrow{AB}=(1,-2)$，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A.(1，5)B.(3，1)C.(1，1)D.(3，5)解析：設(shè)A(x,y)，則$\overrightarrow{AB}=(2-x,3-y)=(1,-2)$，解得$x=1$，$y=5$，答案選A。8.已知點(diǎn)A(－1,2)，B(3,4)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和向量$\overrightarrow{AB}$的坐標(biāo)分別為（）A.(1，3)，(4，2)B.(1，3)，(2，2)C.(2，3)，(4，2)D.(2，3)，(2，2)解析：中點(diǎn)坐標(biāo)為$\left(\frac{-1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=(1,3)$，$\overrightarrow{AB}=(3-(-1),4-2)=(4,2)$，答案選A。9.已知向量$\vec{a}=(2,1)$，$\vec=(x,-2)$，若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則x的值為（）A.1B.－1C.4D.－4解析：數(shù)量積公式$\vec{a}\cdot\vec=2x+1\times(-2)=0$，解得$x=1$，答案選A。10.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，C(2,6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A.(0，4)B.(4，4)C.(0，8)D.(4，8)解析：設(shè)D(x,y)，由平行四邊形性質(zhì)得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。$\overrightarrow{AB}=(2,2)$，$\overrightarrow{DC}=(2-x,6-y)$，則$2=2-x$，$2=6-y$，解得$x=0$，$y=4$，答案選A。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.已知向量$\vec{a}=(3,-4)$，則|$\vec{a}$|＝________。解析：$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，答案：5。12.已知點(diǎn)P(2,－3)，Q(－1,1)，則向量$\overrightarrow{PQ}$的坐標(biāo)為________。解析：$\overrightarrow{PQ}=(-1-2,1-(-3))=(-3,4)$，答案：(-3,4)。13.已知向量$\vec{a}=(m,2)$，$\vec=(2,3)$，若$\vec{a}+\vec$與$\vec{a}-\vec$垂直，則m＝________。解析：$\vec{a}+\vec=(m+2,5)$，$\vec{a}-\vec=(m-2,-1)$，垂直條件：$(m+2)(m-2)+5\times(-1)=0$，即$m^2-4-5=0$，解得$m=\pm3$，答案：±3。14.已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$，則λ的值為________（注：原題中λ缺失，此處假設(shè)為$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$）。解析：$\overrightarrow{AB}=(-1,1)$，$\overrightarrow{AC}=(1,5)$，若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$，則$(-1)\times1+1\times5=4\neq0$，題目可能存在表述誤差，若為$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$，則$-1=\lambda\times1$，$1=\lambda\times5$，無解。此處按垂直條件修正后答案：無解（或題目條件需補(bǔ)充）。15.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(x,1)$，若$\vec{a}$與$\vec$的夾角為銳角，則x的取值范圍是________。解析：夾角為銳角需滿足$\vec{a}\cdot\vec>0$且$\vec{a}$與$\vec$不共線。$\vec{a}\cdot\vec=x+2>0\Rightarrowx>-2$；共線條件：$1\times1-2x=0\Rightarrowx=\frac{1}{2}$，故x的范圍是$x>-2$且$x\neq\frac{1}{2}$，答案：$(-2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$。三、解答題（本大題共3小題，共45分）16.（15分）已知點(diǎn)A(－2,1)，B(1,3)，C(3,－2)。（1）求向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)；（2）求$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)；（3）求$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$及|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|。解析：（1）$\overrightarrow{AB}=(1-(-2),3-1)=(3,2)$，$\overrightarrow{AC}=(3-(-2),-2-1)=(5,-3)$；（2）$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(3+5,2+(-3))=(8,-1)$，$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(3-5,2-(-3))=(-2,5)$；（3）$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times5+2\times(-3)=15-6=9$，|$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{8^2+(-1)^2}=\sqrt{65}$。17.（15分）已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,1)，B(－1,3)。（1）求線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是線段AB的一個(gè)三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)A，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）求證：△OAB是直角三角形。解析：（1）M的坐標(biāo)為$\left(\frac{2+(-1)}{2},\frac{1+3}{2}\right)=\left(\frac{1}{2},2\right)$；（2）$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AB}=(-3,2)$，則$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(2,1)+\left(-1,\frac{2}{3}\right)=\left(1,\frac{5}{3}\right)$，即P$\left(1,\frac{5}{3}\right)$；（3）$\overrightarrow{OA}=(2,1)$，$\overrightarrow{OB}=(-1,3)$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2\times(-1)+1\times3=1\neq0$，$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{10}$，$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{13}$，由勾股定理逆定理：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{10})^2=15\neq13$，題目可能存在誤差，若改為證明△OAM為直角三角形，可證$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OM}=2\times\frac{1}{2}+1\times2=3\neq0$，此處按原題條件，結(jié)論不成立，需檢查題目表述。18.（15分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(k,1)$，且$\vec{a}+2\vec$與$2\vec{a}-\vec$平行。（1）求k的值；（2）求向量$\vec{a}$與$\vec$的夾角θ的余弦值；（3）若向量$\vec{c}=(m,3)$與$\vec{a}$共線，求m的值及|$\vec{c}$|。解析：（1）$\vec{a}+2\vec=(1+2k,4)$，$2\vec{a}-\vec=(2-k,3)$，共線條件：$(1+2k)\times3-4\times(2-k)=0$，解得$k=\frac{1}{2}$；（2）$\vec=\left(\frac{1}{2},1\right)$，$\vec{a}\cdot\vec=1\times\frac{1}{2}+2\times1=\frac{5}{2}$，$|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec|=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\cos\theta=\frac{\frac{5}{2}}{\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{5}}{2}}=1$，即θ=0°；（3）$\vec{c}$與$\vec{a}$共線，則$\frac{m}{1}=\frac{3}{2}\Rightarrowm=\frac{3}{2}$，|$\vec{c}$|=$\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$。四、綜合題（本大題共1小題，共20分）19.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(0,－1)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=k$（k為常數(shù)）。（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若k＝－1，求△PAB面積的最大值；（3）若點(diǎn)P在圓x2+y2=4上，求k的值及|$\overrightarr