2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示試題一、選擇題（每題5分，共30分）已知向量(\mathbf{a}=(1,-1))，(\mathbf=(2,x))，若(\mathbf{a}\cdot\mathbf=1)，則(x)等于（）A.-1B.-(\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.1在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知三點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(2,5))，若向量(\overrightarrow{AB})在(\overrightarrow{AC})上的投影向量相同，則(k)的值為（）A.-3B.0C.3D.6設(shè)(x,y\in\mathbf{R})，向量(\mathbf{a}=(x,1))，(\mathbf=(1,y))，(\mathbf{c}=(2,-4))，且(\mathbf{a}\perp\mathbf{c})，(\mathbf\parallel\mathbf{c})，則(|\mathbf{a}+\mathbf|)等于（）A.(\sqrt{5})B.(\sqrt{10})C.2(\sqrt{5})D.10已知向量(\mathbf{a}=(1,2))，(\mathbf=(2,-3))，若向量(\mathbf{c})滿(mǎn)足((\mathbf{c}+\mathbf{a})\parallel\mathbf)，(\mathbf{c}\perp(\mathbf{a}+\mathbf))，則(\mathbf{c})等于（）A.(\left(\frac{7}{9},\frac{7}{3}\right))B.(\left(-\frac{7}{3},-\frac{7}{9}\right))C.(\left(\frac{7}{3},\frac{7}{9}\right))D.(\left(-\frac{7}{9},-\frac{7}{3}\right))在直角梯形(ABCD)中，已知(AD\parallelBC)，(\angleADC=90^\circ)，(AD=2)，(BC=1)，(P)是腰(DC)上的動(dòng)點(diǎn)，則(|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|)的最小值為（）A.3B.4C.5D.6已知平面直角坐標(biāo)系中，(A(1,0))，(B(0,1))，(P(x,y))滿(mǎn)足(x^2+y^2=1)，則(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP})的取值范圍是（）A.([-1,1])B.([1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}])C.([-1,2])D.([0,2])二、填空題（每題5分，共30分）設(shè)(\mathbf{a}=(2m+1,m))，(\mathbf=(1,m))，且(\mathbf{a}\perp\mathbf)，則(m=)__________。已知向量(\mathbf{a})，(\mathbf)的夾角為(60^\circ)，(|\mathbf{a}|=2)，(|\mathbf|=1)，則(|\mathbf{a}+2\mathbf|=)__________。已知兩個(gè)單位向量(\mathbf{e}1)，(\mathbf{e}2)的夾角為(60^\circ)，則(|\mathbf{e}1+2\mathbf{e}2|=)______。在(\triangleABC)中，(M)是(BC)的中點(diǎn)，(AM=3)，(BC=10)，則(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=)__________。已知(\mathbf{a}=(2,-1))，(\mathbf=(\lambda,3))，若(\mathbf{a})與(\mathbf)的夾角為鈍角，則(\lambda)的取值范圍是__________。如圖是由六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形組成的蜂巢圖形，其中正六邊形的頂點(diǎn)稱(chēng)為“晶格點(diǎn)”，若四個(gè)不同的點(diǎn)(A,B,C,D)均為“晶格點(diǎn)”，(A(0,0))，(B(2,0))兩點(diǎn)的位置如圖所示，給出下列三個(gè)結(jié)論：①(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD})的最小值為-2；②(|\overrightarrow{AC}|)的最大值為25；③(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD})的最大值為(4\sqrt{3})。其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______。三、解答題（共40分）（10分）已知(\mathbf{a})，(\mathbf)，(\mathbf{c})是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中(\mathbf{a}=(1,2))。（1）若(|\mathbf{c}|=2\sqrt{5})，且(\mathbf{c}\parallel\mathbf{a})，求(\mathbf{c})的坐標(biāo)；（2）若(|\mathbf|=\frac{3\sqrt{5}}{2})，且(\mathbf{a}+2\mathbf)與(2\mathbf{a}-\mathbf)垂直，求(\mathbf{a})與(\mathbf)的夾角的正弦值。（10分）已知(|\mathbf{a}|=1)，(|\mathbf|=\sqrt{3})，(\mathbf{a}+\mathbf=(\sqrt{3},1))，試求：（1）(|\mathbf{a}-\mathbf|)；（2）(\mathbf{a}+\mathbf)與(\mathbf{a}-\mathbf)的夾角。（10分）已知(\mathbf{a}=(1,2))，(\mathbf=(-2,n))（(n>1)），(\mathbf{a})與(\mathbf)的夾角是(45^\circ)。（1）求(\mathbf)；（2）若(\mathbf{c})與(\mathbf)同向，且(\mathbf{a})與(\mathbf{c}-\mathbf{a})垂直，求(\mathbf{c})。（10分）在(\triangleABC)中，(AB=3)，(AC=2)，(BC=\sqrt{10})，點(diǎn)(D)在線段(BC)上。（1）若(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=-\frac{7}{2})，求(\frac{BD}{DC})的值；（2）若(\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC})，當(dāng)(\lambda\mu)取得最大值時(shí)，求(\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC})的值。參考答案及解析一、選擇題D解析：(\mathbf{a}\cdot\mathbf=1\times2+(-1)\timesx=2-x=1)，解得(x=1)。C解析：設(shè)(C(k,0))，(\overrightarrow{AB}=(-1,1))，(\overrightarrow{AC}=(k-1,0))，(\overrightarrow{AD}=(k-1,5))。由投影向量公式得(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|^2}\overrightarrow{AC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|^2}\overrightarrow{AD})，解得(k=3)。B解析：由(\mathbf{a}\perp\mathbf{c})得(2x-4=0\Rightarrowx=2)；由(\mathbf\parallel\mathbf{c})得(-4=2y\Rightarrowy=-2)。則(\mathbf{a}=(2,1))，(\mathbf=(1,-2))，(\mathbf{a}+\mathbf=(3,-1))，(|\mathbf{a}+\mathbf|=\sqrt{10})。D解析：設(shè)(\mathbf{c}=(x,y))，則(\mathbf{c}+\mathbf{a}=(x+1,y+2))，(\mathbf{a}+\mathbf=(3,-1))。由((\mathbf{c}+\mathbf{a})\parallel\mathbf)得(-3(x+1)-2(y+2)=0)；由(\mathbf{c}\perp(\mathbf{a}+\mathbf))得(3x-y=0)，聯(lián)立解得(x=-\frac{7}{9})，(y=-\frac{7}{3})。C解析：以(D)為原點(diǎn)，(DA,DC)為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，設(shè)(D(0,0))，(A(2,0))，(B(1,t))，(C(0,t))，(P(0,y))。則(\overrightarrow{PA}=(2,-y))，(\overrightarrow{PB}=(1,t-y))，(|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|=\sqrt{(5)^2+(3t-4y)^2}\geq5)。B解析：(\overrightarrow{AP}=(x-1,y))，(\overrightarrow{BP}=(x,y-1))，(\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BP}=x^2+y^2-x-y=1-(x+y))。由(x+y\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}])，得取值范圍為([1-\sqrt{2},1+\sqrt{2}])。二、填空題-1或(\frac{1}{2})解析：((2m+1)\times1+m\timesm=m^2+2m+1=0\Rightarrow(m+1)^2=0\Rightarrowm=-1)（注：原解析有誤，正確方程為((2m+1)\cdot1+m\cdotm=m^2+2m+1=0)，解得(m=-1)）。(2\sqrt{3})解析：(|\mathbf{a}+2\mathbf|^2=|\mathbf{a}|^2+4|\mathbf|^2+4\mathbf{a}\cdot\mathbf=4+4+4\times2\times1\times\cos60^\circ=12)，故(|\mathbf{a}+2\mathbf|=2\sqrt{3})。(\sqrt{7})解析：(|\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2|^2=4+4+4\times2\times1\times\cos60^\circ=7)，故模長(zhǎng)為(\sqrt{7})。-16解析：(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB})\cdot(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC})=|\overrightarrow{AM}|^2-|\overrightarrow{MB}|^2=9-25=-16)。((-\infty,-6)\cup(-6,\frac{3}{2}))解析：(\mathbf{a}\cdot\mathbf=2\lambda-3<0\Rightarrow\lambda<\frac{3}{2})，且(\mathbf{a})與(\mathbf)不共線，即(2\times3-(-\lambda)\neq0\Rightarrow\lambda\neq-6)。①③解析：①當(dāng)(C(1,\sqrt{3}))，(D(-1,\sqrt{3}))時(shí)，(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=-2)；②(|\overrightarrow{AC}|)最大值為(2\sqrt{7}\approx5.29)；③當(dāng)(C(3,0))，(D(0,2\sqrt{3}))時(shí)，(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=4\sqrt{3})。三、解答題（1）設(shè)(\mathbf{c}=\lambda\mathbf{a}=(\lambda,2\lambda))，(|\mathbf{c}|=\sqrt{\lambda^2+4\lambda^2}=|\lambda|\sqrt{5}=2\sqrt{5}\Rightarrow\lambda=\pm2)，故(\mathbf{c}=(2,4))或((-2,-4))。（2）由((\mathbf{a}+2\mathbf)\cdot(2\mathbf{a}-\mathbf)=0\Rightarrow2|\mathbf{a}|^2+3\mathbf{a}\cdot\mathbf-2|\mathbf|^2=0)，代入得(10+3\mathbf{a}\cdot\mathbf-\frac{45}{2}=0\Rightarrow\mathbf{a}\cdot\mathbf=\frac{25}{6})。設(shè)夾角為(\theta)，則(\cos\theta=\frac{5}{9})，(\sin\theta=\frac{2\sqrt{14}}{9})。（1）(|\mathbf{a}+\mathbf|^2=4\Rightarrow|\mathbf{a}|^2+|\mathbf|^2+2\mathbf{a}\cdot\mathbf=4\Rightarrow\mathbf{a}\cdot\mathbf=0)，(|\mathbf{a}-\mathbf|^2=1+3-0=4\Rightarrow|\mathbf{a}-\mathbf|=2)。（2）((\mathbf{a}+\mathbf)\cdot(\mathbf{a}-\mathbf)=|\mathbf{a}|^2-|\mathbf|^2=1-3=-2)，(\cos\theta=\frac{-2}{2\times2}=-\frac{1}{2})，故夾角為(120^\circ)。（1）(\mathbf{a}\cdot\mathbf=-2+2n=|\mathbf{a}||\mathbf|\cos45^\circ\Rightarrow-2+2n=\sqrt{5}\times\frac{3\