2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)平面向量綜合壓軸題專練一、向量模的最值與范圍問題典型例題例1已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=1$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，若向量$\vec{c}$滿足$|\vec{c}-\vec{a}-2\vec|=2$，求$|\vec{c}|$的最大值與最小值。解題思路坐標(biāo)法轉(zhuǎn)化：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)$\vec{a}=(2,0)$，$\vec=(\cos60^\circ,\sin60^\circ)=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，則$\vec{a}+2\vec=(2+1,\sqrt{3})=(3,\sqrt{3})$。軌跡方程：設(shè)$\vec{c}=(x,y)$，由$|\vec{c}-\vec{a}-2\vec|=2$得$(x-3)^2+(y-\sqrt{3})^2=4$，即$\vec{c}$的終點在以$(3,\sqrt{3})$為圓心、半徑為2的圓上。幾何意義求最值：$|\vec{c}|$表示原點到圓上點的距離，圓心到原點的距離為$\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$，故$|\vec{c}|{\text{max}}=2\sqrt{3}+2$，$|\vec{c}|{\text{min}}=2\sqrt{3}-2$。例2在$\triangleABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=60^\circ$，點$P$為平面內(nèi)一點，滿足$|\vec{PA}|=1$，求$|\vec{PB}+\vec{PC}|$的最小值。解題思路中點轉(zhuǎn)化：設(shè)$BC$中點為$M$，則$\vec{PB}+\vec{PC}=2\vec{PM}$，問題轉(zhuǎn)化為求$2|\vec{PM}|$的最小值。計算$AM$長度：在$\triangleABC$中，由余弦定理得$BC^2=2^2+3^2-2\times2\times3\cos60^\circ=7$，則$BC=\sqrt{7}$，$AM=\frac{1}{2}\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}=\frac{\sqrt{19}}{2}$。幾何最值：點$P$在以$A$為圓心、半徑為1的圓上，故$|\vec{PM}|{\text{min}}=|AM|-1=\frac{\sqrt{19}}{2}-1$，從而$|\vec{PB}+\vec{PC}|{\text{min}}=2\times(\frac{\sqrt{19}}{2}-1)=\sqrt{19}-2$。二、向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用典型例題例3已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=|\vec|=1$，且$\vec{a}\cdot\vec=-\frac{1}{2}$，若向量$\vec{c}$滿足$|\vec{c}-2\vec{a}-\vec|=1$，求$\vec{a}\cdot\vec{c}$的取值范圍。解題思路基底表示：設(shè)$\vec{a}=(1,0)$，$\vec=(\cos120^\circ,\sin120^\circ)=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，則$2\vec{a}+\vec=(2-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。參數(shù)方程設(shè)點：設(shè)$\vec{c}=(x,y)$，由$|\vec{c}-2\vec{a}-\vec|=1$得$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{\sqrt{3}}{2})^2=1$，令$x=\frac{3}{2}+\cos\theta$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin\theta$。數(shù)量積計算：$\vec{a}\cdot\vec{c}=x=\frac{3}{2}+\cos\theta$，因為$\cos\theta\in[-1,1]$，所以$\vec{a}\cdot\vec{c}\in[\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$。例4在邊長為2的正方形$ABCD$中，點$E$，$F$分別在邊$BC$，$CD$上，且$BE=CF=x$，求$\vec{AE}\cdot\vec{AF}$的最小值。解題思路坐標(biāo)建系：以$A$為原點，$AB$，$AD$為坐標(biāo)軸，設(shè)$E(2,x)$，$F(2-x,2)$。數(shù)量積表達(dá)式：$\vec{AE}=(2,x)$，$\vec{AF}=(2-x,2)$，則$\vec{AE}\cdot\vec{AF}=2(2-x)+2x=4-x^2+2x=-x^2+2x+4$。二次函數(shù)求最值：配方得$-(x-1)^2+5$，當(dāng)$x=1$時，最小值為5。三、三角形“四心”與向量綜合典型例題例5已知$O$是$\triangleABC$的外心，$AB=2$，$AC=3$，$\angleBAC=120^\circ$，求$\vec{AO}\cdot\vec{BC}$的值。解題思路外心性質(zhì)：外心是中垂線交點，$\vec{AO}\cdot\vec{AB}=\frac{1}{2}|\vec{AB}|^2=2$，$\vec{AO}\cdot\vec{AC}=\frac{1}{2}|\vec{AC}|^2=\frac{9}{2}$。向量分解：$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}$，則$\vec{AO}\cdot\vec{BC}=\vec{AO}\cdot\vec{AC}-\vec{AO}\cdot\vec{AB}=\frac{9}{2}-2=\frac{5}{2}$。例6已知$G$是$\triangleABC$的重心，且$\vec{GA}\cdot\vec{GB}=0$，$BC=2$，求$|\vec{GA}|^2+|\vec{GB}|^2$的值。解題思路重心性質(zhì)：$\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}$，則$\vec{GC}=-(\vec{GA}+\vec{GB})$。模長平方轉(zhuǎn)化：$|\vec{BC}|^2=|\vec{GC}-\vec{GB}|^2=|\vec{GA}+2\vec{GB}|^2=|\vec{GA}|^2+4|\vec{GB}|^2+4\vec{GA}\cdot\vec{GB}=|\vec{GA}|^2+4|\vec{GB}|^2=4$。同理$|\vec{AC}|^2=|\vec{GA}|^2+4|\vec{GA}|^2=4|\vec{GA}|^2+|\vec{GB}|^2=4$，聯(lián)立解得$|\vec{GA}|^2+|\vec{GB}|^2=\frac{8}{5}$。四、動態(tài)幾何與向量最值典型例題例7在梯形$ABCD$中，$AB\parallelCD$，$AB=2CD=2$，$\angleDAB=60^\circ$，點$P$在線段$BC$上運動，求$\vec{AP}\cdot\vec{DP}$的最小值。解題思路坐標(biāo)建系：設(shè)$A(0,0)$，$B(2,0)$，$D(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$C(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$，$BC$方程為$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-2)$，設(shè)$P(t,-\frac{\sqrt{3}}{3}(t-2))$，$t\in[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。數(shù)量積表達(dá)式：$\vec{AP}=(t,-\frac{\sqrt{3}}{3}(t-2))$，$\vec{DP}=(t-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{3}(t-2)-\frac{\sqrt{3}}{2})$，化簡得$\vec{AP}\cdot\vec{DP}=t^2-t+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}(t-2)(t+\frac{1}{2})=\frac{4}{3}t^2-\frac{5}{3}t+\frac{5}{6}$。二次函數(shù)求最值：對稱軸$t=\frac{5}{8}\in[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$，代入得最小值為$\frac{15}{16}$。例8已知點$A$，$B$在單位圓上，且$\angleAOB=120^\circ$，點$C$在劣弧$AB$上運動，求$\vec{OA}\cdot\vec{OC}+\vec{OB}\cdot\vec{OC}$的最大值。解題思路參數(shù)表示：設(shè)$\angleAOC=\theta$，$\theta\in[0,120^\circ]$，則$\vec{OA}\cdot\vec{OC}=\cos\theta$，$\vec{OB}\cdot\vec{OC}=\cos(120^\circ-\theta)$。三角恒等變換：和差化積得$\cos\theta+\cos(120^\circ-\theta)=\cos\theta+\cos120^\circ\cos\theta+\sin120^\circ\sin\theta=\frac{1}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta=\sin(\theta+30^\circ)$。最值分析：當(dāng)$\theta=60^\circ$時，最大值為1。五、新定義與創(chuàng)新題型典型例題例9定義向量$\vec{a}$，$\vec$的“向量積”為$|\vec{a}||\vec|\sin\theta$（$\theta$為夾角），已知$|\vec{a}|=2$，$|\vec|=3$，$\vec{a}\cdot\vec=-3$，求$\vec{a}$與$\vec$的“向量積”。解題思路求夾角余弦：$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}=-\frac{1}{2}$，則$\theta=120^\circ$。計算向量積：$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故“向量積”為$2\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$。例10在平面內(nèi)，若點$P$滿足$|\vec{OP}|=1$，定義$d(P)=\min{|\vec{PA}|,|\vec{PB}|}$，其中$A(1,0)$，$B(-1,0)$，求$d(P)$的最大值。解題思路分類討論：設(shè)$P(\cos\theta,\sin\theta)$，則$|\vec{PA}|=\sqrt{(\cos\theta-1)^2+\sin^2\theta}=2|\sin\frac{\theta}{2}|$，$|\vec{PB}|=2|\cos\frac{\theta}{2}|$。最小值函數(shù)：$d(P)=\min{2|\sin\frac{\theta}{2}|,2|\cos\frac{\theta}{2}|}$，當(dāng)$|\sin\frac{\theta}{2}|=|\cos\frac{\theta}{2}|$時，最大值為$\sqrt{2}$。六、高頻易錯點警示向量夾角范圍：兩向量夾角$\theta\in[0^\circ,180^\circ]$，若$\vec{a}\cdot\vec>0$，則$\theta\in[0^\circ,90^\circ)$；若$\vec{a}\cdot\vec=0$，則$\theta=90^\circ$；若$\vec{a}\cdot\vec<0$，則$\theta\in(90^\circ,180^\circ]$。投影與數(shù)量積區(qū)別：向量$\vec{a}$在$\vec$上的投影為$|\vec{a}|\cos\theta$，而非$\vec{a}\cdot\vec$。零向量特殊性：零向量方向任意，與任意向量共線且垂直，解題時需單獨討論。七、強化訓(xùn)練題填空題（1）已知$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(m,1)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec)$，則$m=$。（2）在$\triangleABC$中，$O$為重心，$\vec{AO}=\lambda\vec{AB}+\mu\vec{AC}$，則$\lambda+\mu=$。解答題（1）已知向量$\vec{a}$，$\vec$滿足$|\vec{a}|=1$，$|\vec|=2$，且$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$60^\circ$，若$(\vec{a}+k\vec)\perp(2\vec{a}-\vec)$，求$k$的值。（2）在$