2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末模擬沖刺卷一考試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）已知集合(A={x\midx^2-3x+2<0})，(B={x\mid2^x\leq4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.([1,2])C.((1,2])D.([1,2))函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)})的定義域是（）A.(\left(\frac{1}{2},1\right])B.(\left[\frac{1}{2},1\right))C.(\left(\frac{1}{2},+\infty\right))D.([1,+\infty))已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，且(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))，則(\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=)（）A.(7)B.(-7)C.(\frac{1}{7})D.(-\frac{1}{7})若(a=\log_23)，(b=\log_34)，(c=\log_45)，則(a,b,c)的大小關(guān)系是（）A.(a>b>c)B.(b>a>c)C.(c>b>a)D.(a>c>b)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值是（）A.(2)B.(0)C.(-4)D.(-6)已知不等式(ax^2+bx+2>0)的解集為(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right))，則(a+b=)（）A.(-14)B.(14)C.(-10)D.(10)函數(shù)(f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))的圖象向左平移(\frac{\pi}{6})個(gè)單位后得到函數(shù)(g(x))，則(g(x))的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}(k\in\mathbb{Z}))B.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}))C.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z}))已知函數(shù)(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且當(dāng)(x\geq0)時(shí)，(f(x)=x^2-2x)，則不等式(f(x)>x)的解集是（）A.((-\infty,-3)\cup(0,3))B.((-3,0)\cup(3,+\infty))C.((-\infty,-1)\cup(0,1))D.((-1,0)\cup(1,+\infty))二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分）下列命題正確的是（）A.若(a>b)，則(ac^2>bc^2)B.若(a>b>0)，則(\frac{1}{a}<\frac{1})C.函數(shù)(f(x)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}})的最小值為1D.若(a,b\in\mathbb{R})，則“(a\neq0)”是“(ab\neq0)”的必要不充分條件已知函數(shù)(f(x)=2^x+2^{-x})，則下列結(jié)論正確的是（）A.(f(x))是偶函數(shù)B.(f(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增C.(f(x))的最小值為2D.方程(f(x)=3)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根關(guān)于函數(shù)(f(x)=\cos2x-2\sqrt{3}\sinx\cosx)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)(f(x))的最大值為2B.函數(shù)(f(x))的圖象關(guān)于點(diǎn)(\left(\frac{\pi}{6},0\right))對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)(f(x))的最小正周期為(\pi)D.函數(shù)(f(x))在區(qū)間(\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right])上單調(diào)遞減三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp\vec)，則(m=)__________．若(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3)，則(x=)__________．已知(x>0)，(y>0)，且(x+2y=4)，則(xy)的最大值為_(kāi)_________．已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0,\2^x,&x\leq0,\end{cases})則(f(f(-1))=)；若(f(a)=\frac{1}{2})，則(a=)．（第一空2分，第二空3分）四、解答題（本大題共6小題，共72分）（10分）已知集合(A={x\midx^2-4x+3\leq0})，(B={x\mid2m-1\leqx\leqm+1})．（1）求集合(A)；（2）若(B\subseteqA)，求實(shí)數(shù)(m)的取值范圍．解：（1）解不等式(x^2-4x+3\leq0)，即((x-1)(x-3)\leq0)，得(1\leqx\leq3)，故(A=[1,3])．（2）①當(dāng)(B=\varnothing)時(shí)，(2m-1>m+1)，解得(m>2)，滿(mǎn)足(B\subseteqA)；②當(dāng)(B\neq\varnothing)時(shí)，需滿(mǎn)足(\begin{cases}2m-1\leqm+1,\2m-1\geq1,\m+1\leq3,\end{cases})解得(\begin{cases}m\leq2,\m\geq1,\m\leq2,\end{cases})即(1\leqm\leq2)．綜上，(m)的取值范圍是([1,+\infty))．（12分）已知函數(shù)(f(x)=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx-1)．（1）化簡(jiǎn)(f(x))的解析式，并求其最小正周期；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間(\left[0,\frac{\pi}{2}\right])上的最大值和最小值．解：（1）(f(x)=2\sin^2x+2\sqrt{3}\sinx\cosx-1)(=(1-\cos2x)+\sqrt{3}\sin2x-1)（利用二倍角公式(\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2})）(=\sqrt{3}\sin2x-\cos2x)(=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right))（輔助角公式：(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi))）故最小正周期(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)．（2）當(dāng)(x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right])時(shí)，(2x-\frac{\pi}{6}\in\left[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right])．由正弦函數(shù)圖象可知：當(dāng)(2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2})，即(x=\frac{\pi}{3})時(shí)，(\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=1)，(f(x){\text{max}}=2\times1=2)；當(dāng)(2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6})，即(x=0)時(shí)，(\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2})，(f(x){\text{min}}=2\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-1)．（12分）已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)（(a)為常數(shù)）．（1）若(f(x))在區(qū)間([-1,2])上是單調(diào)函數(shù)，求(a)的取值范圍；（2）若(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最小值為(-1)，求(a)的值．解：（1）函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+3)的對(duì)稱(chēng)軸為(x=a)，開(kāi)口向上．若(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞增，則(a\leq-1)；若(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞減，則(a\geq2)．綜上，(a)的取值范圍是((-\infty,-1]\cup[2,+\infty))．（2）①當(dāng)(a\leq-1)時(shí)，(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞增，(f(x){\text{min}}=f(-1)=1+2a+3=2a+4=-1)，解得(a=-\frac{5}{2})（滿(mǎn)足(a\leq-1)）；②當(dāng)(-1<a<2)時(shí)，(f(x))在(x=a)處取得最小值，(f(x){\text{min}}=f(a)=a^2-2a^2+3=-a^2+3=-1)，解得(a^2=4)，即(a=\pm2)（均不滿(mǎn)足(-1<a<2)，舍去）；③當(dāng)(a\geq2)時(shí)，(f(x))在([-1,2])上單調(diào)遞減，(f(x)_{\text{min}}=f(2)=4-4a+3=7-4a=-1)，解得(a=2)（滿(mǎn)足(a\geq2)）．綜上，(a=-\frac{5}{2})或(a=2)．（12分）已知(\tan\alpha=2)，求下列各式的值：（1）(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha})；（2）(\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha)．解：（1）原式分子分母同除以(\cos\alpha)（(\cos\alpha\neq0)），得(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3)．（2）原式(=\frac{\sin^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha-2\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha})（分母用(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)代換）分子分母同除以(\cos^2\alpha)，得(\frac{\tan^2\alpha+\tan\alpha-2}{\tan^2\alpha+1}=\frac{4+2-2}{4+1}=\frac{4}{5})．（14分）某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量(y)（件）與銷(xiāo)售單價(jià)(x)（元）滿(mǎn)足(y=-10x+500)（(20\leqx\leq50)）．（1）設(shè)商場(chǎng)每天銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)為(w)元，求(w)與(x)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)每天獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）利潤(rùn)(w=(\text{銷(xiāo)售單價(jià)}-\text{進(jìn)價(jià)})\times\text{銷(xiāo)售量}=(x-20)y)代入(y=-10x+500)，得(w=(x-20)(-10x+500)=-10x^2+700x-10000)（(20\leqx\leq50)）．（2）函數(shù)(w=-10x^2+700x-10000)的對(duì)稱(chēng)軸為(x=-\frac{700}{2\times(-10)}=35)，開(kāi)口向下．∵(35\in[20,50])，∴當(dāng)(x=35)時(shí)，(w_{\text{max}}=-10\times35^2+700\times35-10000=-12250+24500-10000=2250)．答：銷(xiāo)售單價(jià)定為35元時(shí)，每天最大利潤(rùn)為2250元．（14分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1)-\log_a(1-x))（(a>0)且(a\neq1)）．（1）判斷函數(shù)(f(x))的奇偶性，并證明；（2）若(a>1)，解不等式(f(x)>0)；（3）若(f(x))在區(qū)間([0,\frac{1}{2}])上