2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)終極挑戰(zhàn)試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)})的定義域是（）A.((\frac{1}{2},1])B.([\frac{1}{2},1))C.((\frac{1}{2},+\infty))D.([1,+\infty))已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.(-7)D.(7)已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.(-3)B.(3)C.(-5)D.(5)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,3])上的最大值是（）A.(2)B.(0)C.(-2)D.(-4)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則公比(q=)（）A.(2)B.(-2)C.(3)D.(-3)函數(shù)(f(x)=\cos(2x-\frac{\pi}{3}))的最小正周期和對稱軸方程分別是（）A.(\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))B.(2\pi)，(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))C.(\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))D.(2\pi)，(x=k\pi+\frac{\pi}{6}(k\in\mathbb{Z}))已知直線(l:ax+y-2=0)與圓(C:(x-1)^2+(y-a)^2=4)相切，則(a=)（）A.(-\frac{3}{4})B.(0)C.(\frac{3}{4})D.(0)或(\frac{3}{4})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.(12)B.(18)C.(24)D.(36)已知(f(x))是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且當(dāng)(x>0)時，(f(x)=x^2-2x)，則(f(-1)=)（）A.(-1)B.(1)C.(3)D.(-3)已知(a=\log_23)，(b=\log_34)，(c=\log_45)，則(a)，(b)，(c)的大小關(guān)系是（）A.(a>b>c)B.(b>a>c)C.(c>b>a)D.(a>c>b)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\log_2x,&x>0\end{cases})，則方程(f(f(x))=2)的解集是（）A.({4,-1})B.({4,0})C.({4,1})D.({4,2})二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知函數(shù)(f(x)=x^3+ax^2+bx+c)在(x=-1)處取得極值，且(f(1)=0)，則(a+b=)________。已知(\triangleABC)的內(nèi)角(A)，(B)，(C)的對邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(C=60^\circ)，則(c=)________。已知直線(l_1:2x+y-4=0)與直線(l_2:x-y+1=0)的交點(diǎn)為(P)，則過點(diǎn)(P)且與直線(3x-4y+5=0)垂直的直線方程是________。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，則數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式(a_n=)________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知函數(shù)(f(x)=2\sinx\cosx+2\cos^2x-1)。（1）求函數(shù)(f(x))的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([0,\frac{\pi}{2}])上的最大值和最小值。（本小題滿分12分）已知數(shù)列({a_n})是等差數(shù)列，且(a_1=1)，(a_3=5)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列({b_n})滿足(b_n=2^{a_n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)。（1）求證：(BC\perp)平面(PAB)；（2）求三棱錐(P-ABC)的體積；（3）求直線(PC)與平面(PAB)所成角的正切值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2-9x+1)。（1）求函數(shù)(f(x))的導(dǎo)數(shù)(f'(x))；（2）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-2,4])上的極值和最值。（本小題滿分12分）已知圓(C:x^2+y^2-2x-4y+1=0)。（1）求圓(C)的圓心坐標(biāo)和半徑；（2）若直線(l:y=kx+b)與圓(C)相交于(A)，(B)兩點(diǎn)，且(|AB|=2\sqrt{3})，求(k)與(b)的關(guān)系；（3）在（2）的條件下，若直線(l)過點(diǎn)((0,1))，求直線(l)的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=\log_a(x+1))，(g(x)=\log_a(1-x))（其中(a>0)且(a\neq1)）。（1）求函數(shù)(h(x)=f(x)+g(x))的定義域；（2）判斷函數(shù)(h(x))的奇偶性，并說明理由；（3）求使(f(x)-g(x)>0)成立的(x)的取值范圍。參考答案及解析一、選擇題A解析：解不等式(x^2-3x+2<0)得(1<x<2)，即(A=(1,2))；解(2^x>4)得(x>2)，即(B=(2,+\infty))，故(A\capB=\varnothing)。（注：原選項(xiàng)無正確答案，推測題目中(B)應(yīng)為(2^x<4)，此時(B=(-\infty,2))，則(A\capB=(1,2))，選A）A解析：要使函數(shù)有意義，需滿足(\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)\geq0)，即(0<2x-1\leq1)，解得(\frac{1}{2}<x\leq1)，選A。A解析：由(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))得(\cos\alpha=-\frac{4}{5})，(\tan\alpha=-\frac{3}{4})，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{1}{7})，選B。（注：原計算有誤，正確結(jié)果應(yīng)為(\frac{1}{7})，選B）D解析：(\vec{a}-\vec=(1-m,3))，由(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))得(1\times(1-m)+2\times3=0)，解得(m=7)，選D。（注：原計算有誤，正確結(jié)果應(yīng)為(m=7)，選D）A解析：(f'(x)=3x^2-6x)，令(f'(x)=0)得(x=0)或(x=2)，計算(f(-1)=-2)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，(f(3)=2)，最大值為2，選A。A解析：(S_6-S_3=56)，則(q^3=\frac{S_6-S_3}{S_3}=8)，故(q=2)，選A。A解析：(T=\frac{2\pi}{2}=\pi)，令(2x-\frac{\pi}{3}=k\pi)得(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6})，選A。D解析：圓心((1,a))到直線(ax+y-2=0)的距離(d=\frac{|a+a-2|}{\sqrt{a^2+1}}=2)，解得(a=0)或(a=\frac{3}{4})，選D。B解析：由三視圖可知幾何體為長方體截去一個三棱錐，體積(V=3\times3\times2-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times3\times3\times2=18-3=15)。（注：原選項(xiàng)無正確答案，推測題目數(shù)據(jù)有誤）B解析：(f(1)=1-2=-1)，由奇函數(shù)性質(zhì)得(f(-1)=-f(1)=1)，選B。A解析：(a=\log_23\approx1.585)，(b=\log_34\approx1.262)，(c=\log_45\approx1.161)，故(a>b>c)，選A。A解析：令(f(x)=t)，則(f(t)=2)。若(t\leq0)，則(t+1=2)得(t=1)（舍）；若(t>0)，則(\log_2t=2)得(t=4)。再解(f(x)=4)：若(x\leq0)，(x+1=4)得(x=3)（舍）；若(x>0)，(\log_2x=4)得(x=16)。（注：原選項(xiàng)無正確答案，推測題目中(f(x)=\log_2x)應(yīng)為(\log_{\frac{1}{2}}x)，此時(t=\frac{1}{4})，解得(x=-\frac{3}{4})或(x=\sqrt{2})，無對應(yīng)選項(xiàng)）二、填空題-3解析：(f'(-1)=3-2a+b=0)，(f(1)=1+a+b+c=0)，兩式相減得(a+b=-3)。(\sqrt{7})解析：由余弦定理得(c^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos60^\circ=7)，故(c=\sqrt{7})。(4x+3y-6=0)解析：聯(lián)立(l_1)與(l_2)得交點(diǎn)(P(1,2))，所求直線斜率為(-\frac{4}{3})，方程為(4x+3y-10=0)。（注：原計算有誤，正確方程為(4x+3y-10=0)）(2^n-1)解析：由(a_{n+1}+1=2(a_n+1))得({a_n+1})是等比數(shù)列，(a_n+1=2^n)，故(a_n=2^n-1)。三、解答題（1）(f(x)=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin(2x+\frac{\pi}{4}))，最小正周期(T=\pi)，單調(diào)遞增區(qū)間為([-\frac{3\pi}{8}+k\pi,\frac{\pi}{8}+k\pi](k\in\mathbb{Z}))；（2）當(dāng)(x=\frac{\pi}{8})時，(f(x){\text{max}}=\sqrt{2})；當(dāng)(x=\frac{\pi}{2})時，(f(x){\text{min}}=-1)。（1）公差(d=2)，(a_n=2n-1)；（2）(b_n=2^{2n-1}=\frac{1}{2}\times4^n)，(S_n=\frac{2(4^n-1)}{3})。（1）由(PA\perpBC)，(AB\perpBC)得(BC\perp)平面(PAB)；（2）體積(V=\frac{1}{3}\timesS_{\t