2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)探究性問題集錦（三）一、函數(shù)與方程綜合探究問題1：動(dòng)態(tài)絕對(duì)值函數(shù)的圖像與性質(zhì)具體問題：已知函數(shù)$f(x)=|x^2-2mx+m^2-1|+|x-m|$，其中$m$為實(shí)參數(shù)。（1）當(dāng)$m=0$時(shí)，畫出函數(shù)$f(x)$的圖像，并求出單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意$x\in[0,4]$，不等式$f(x)\leq5$恒成立，求$m$的取值范圍；（3）探究方程$f(x)=k$（$k$為常數(shù)）的實(shí)根個(gè)數(shù)與$m$、$k$的關(guān)系。解題思路：（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式：$x^2-2mx+m^2-1=(x-m)^2-1$，令$t=x-m$，則$f(x)=|t^2-1|+|t|$，轉(zhuǎn)化為關(guān)于$t$的偶函數(shù)，再分段討論去絕對(duì)值。（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于$t$的函數(shù)，結(jié)合$x\in[0,4]$確定$t$的范圍，通過分類討論$t$的區(qū)間求$f(x)$的最大值，進(jìn)而解不等式。（3）通過數(shù)形結(jié)合，分析$|t^2-1|+|t|$的圖像特征，結(jié)合$t=x-m$的平移變換，討論$k$與函數(shù)最值的關(guān)系。拓展應(yīng)用：絕對(duì)值函數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用，如物流運(yùn)輸路徑規(guī)劃中距離與成本的動(dòng)態(tài)關(guān)系模型。問題2：函數(shù)零點(diǎn)的分布與參數(shù)范圍具體問題：已知函數(shù)$f(x)=\lnx-ax+1$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若函數(shù)$f(x)$有兩個(gè)零點(diǎn)$x_1$、$x_2$（$x_1<x_2$），證明：$x_1+x_2>\frac{2}{a}$；（3）若對(duì)任意$x\in(1,+\infty)$，不等式$f(x)+e^{x-1}>0$恒成立，求$a$的取值范圍。解題思路：（1）求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}-a$，分$a\leq0$和$a>0$討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)。（2）利用零點(diǎn)滿足的方程$\lnx_1=ax_1-1$和$\lnx_2=ax_2-1$，作差后構(gòu)造函數(shù)$g(t)=\lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$（$t>1$），證明其單調(diào)性。（3）分離參數(shù)得$a<\frac{\lnx+1+e^{x-1}}{x}$，構(gòu)造新函數(shù)$h(x)=\frac{\lnx+1+e^{x-1}}{x}$，求導(dǎo)分析其最小值。拓展應(yīng)用：在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可用于分析市場(chǎng)供需平衡時(shí)價(jià)格波動(dòng)的臨界點(diǎn)，以及消費(fèi)者行為對(duì)市場(chǎng)穩(wěn)定的影響。二、三角函數(shù)與解三角形創(chuàng)新題問題3：三角恒等變換的綜合應(yīng)用具體問題：已知$\triangleABC$中，角$A$、$B$、$C$的對(duì)邊分別為$a$、$b$、$c$，且滿足$\sin^2A+\sin^2C-\sin^2B=\sinA\sinC$。（1）求角$B$的大??；（2）若$b=2$，點(diǎn)$D$為$AC$的中點(diǎn)，求$BD$長(zhǎng)度的取值范圍；（3）若$\tanA+\tanC=3$，求$\sinA\sinC$的值。解題思路：（1）利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系：$a^2+c^2-b^2=ac$，再由余弦定理求$\cosB$。（2）利用向量法：$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$，平方后結(jié)合余弦定理和基本不等式求范圍。（3）由$A+C=\pi-B$，利用$\tan(A+C)=\tan(\pi-B)$展開，結(jié)合$\tanA+\tanC=3$求出$\tanA\tanC$，再轉(zhuǎn)化為正弦值。拓展應(yīng)用：在測(cè)量學(xué)中，可用于三角高程測(cè)量中兩點(diǎn)間距離與角度的關(guān)系計(jì)算，如山體高度的間接測(cè)量。問題4：三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用模型具體問題：如圖，某游樂園有一摩天輪設(shè)施，其旋轉(zhuǎn)半徑為$20$米，中心$O$距離地面高度為$30$米，旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為$60$秒。摩天輪上點(diǎn)$P$從最低點(diǎn)$A$開始計(jì)時(shí)（$t=0$），按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。（1）寫出點(diǎn)$P$距離地面高度$h$（米）關(guān)于時(shí)間$t$（秒）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若在距離摩天輪中心水平距離$50$米處有一觀測(cè)點(diǎn)$Q$，求$t=15$秒時(shí)點(diǎn)$P$與$Q$之間的距離；（3）在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)$P$距離地面超過$40$米？解題思路：（1）建立坐標(biāo)系，以$O$為原點(diǎn)，水平方向?yàn)?x$軸，豎直方向?yàn)?y$軸，點(diǎn)$P$的縱坐標(biāo)為$20\sin(\omegat-\frac{\pi}{2})$，其中$\omega=\frac{2\pi}{60}=\frac{\pi}{30}$，進(jìn)而得到$h=30+20\sin(\frac{\pi}{30}t-\frac{\pi}{2})$。（2）利用三角函數(shù)求出$t=15$秒時(shí)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)，再通過兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算$PQ$。（3）解不等式$30+20\sin(\frac{\pi}{30}t-\frac{\pi}{2})>40$，結(jié)合正弦函數(shù)的周期性求時(shí)間區(qū)間長(zhǎng)度。拓展應(yīng)用：三角函數(shù)在天體運(yùn)行軌道模擬中的應(yīng)用，如衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)時(shí)的高度與時(shí)間關(guān)系模型。三、數(shù)列與不等式綜合探究問題5：遞推數(shù)列的通項(xiàng)與求和具體問題：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+2}$（$n\in\mathbb{N}^$）。（1）證明：數(shù)列${\frac{1}{a_n}}$是等差數(shù)列，并求${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=a_n\cdota_{n+1}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（3）若對(duì)任意$n\in\mathbb{N}^$，不等式$S_n<\lambdaa_n$恒成立，求實(shí)數(shù)$\lambda$的最小值。解題思路：（1）對(duì)遞推式兩邊取倒數(shù)，得到$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，證明等差數(shù)列并求通項(xiàng)。（2）利用裂項(xiàng)相消法：$b_n=\frac{4}{(n+1)(n+2)}=4(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})$，進(jìn)而求和。（3）將$S_n$和$a_n$的表達(dá)式代入不等式，化簡(jiǎn)為$\lambda>\frac{2n}{n+2}$，求$\frac{2n}{n+2}$的最大值。拓展應(yīng)用：裂項(xiàng)相消法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中復(fù)利計(jì)算的應(yīng)用，如分期還款模型中利息與本金的拆分計(jì)算。問題6：數(shù)列與不等式的證明具體問題：已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且滿足$a_1=1$，$S_{n+1}=2S_n+n+1$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）證明：$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<2$；（3）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和為$T_n$，證明：$T_n<2$。解題思路：（1）由$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=2S_n+n+1-S_n=S_n+n+1$，再構(gòu)造$a_{n+1}+(n+2)=2(a_n+n+1)$，證明等比數(shù)列。（2）放縮法：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^{n+1}-n-2}<\frac{1}{2^n}$，利用等比數(shù)列求和公式證明。（3）錯(cuò)位相減法求$T_n$，再通過作差法證明$T_n<2$。拓展應(yīng)用：數(shù)列不等式在算法復(fù)雜度分析中的應(yīng)用，如遞歸算法的時(shí)間復(fù)雜度上界估計(jì)。四、立體幾何與空間向量問題7：空間幾何體的體積與距離最值具體問題：如圖，在棱長(zhǎng)為$2$的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點(diǎn)$E$為棱$BC$的中點(diǎn)，點(diǎn)$F$為棱$CC_1$上的動(dòng)點(diǎn)。（1）當(dāng)$F$為$CC_1$中點(diǎn)時(shí)，求三棱錐$A_1-AEF$的體積；（2）是否存在點(diǎn)$F$，使得平面$AEF\perp$平面$A_1BD$？若存在，求出$CF$的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由；（3）設(shè)點(diǎn)$G$為棱$A_1B_1$上的動(dòng)點(diǎn)，求$|FG|+|GB|$的最小值。解題思路：（1）利用等體積法：$V_{A_1-AEF}=V_{F-A_1AE}$，計(jì)算底面積和高。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)$F(2,2,t)$，求出平面$AEF$和平面$A_1BD$的法向量，令法向量數(shù)量積為$0$求解$t$。（3）通過展開正方體表面，將空間折線距離轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間直線距離，利用勾股定理計(jì)算。拓展應(yīng)用：空間幾何體在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，如不規(guī)則建筑結(jié)構(gòu)的體積計(jì)算與穩(wěn)定性分析。問題8：動(dòng)態(tài)翻折問題中的幾何量變化具體問題：如圖，在矩形$ABCD$中，$AB=4$，$AD=2$，點(diǎn)$E$為邊$CD$的中點(diǎn)，將$\triangleADE$沿$AE$翻折至$\triangleADE'$的位置（點(diǎn)$D$與$D'$重合），使得平面$ADE'\perp$平面$ABCE$。（1）求證：$BE\perp$平面$ADE'$；（2）求二面角$D'-AB-E$的余弦值；（3）在線段$BD'$上是否存在點(diǎn)$P$，使得$CP\parallel$平面$ADE'$？若存在，求出$\frac{BP}{BD'}$的值；若不存在，說明理由。解題思路：（1）折疊前證明$AE\perpBE$，折疊后利用面面垂直的性質(zhì)定理證明$BE\perp$平面$ADE'$。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以$E$為原點(diǎn)，$EA$、$EB$為坐標(biāo)軸，求出平面$D'AB$和平面$EAB$的法向量，計(jì)算法向量夾角余弦值。（3）設(shè)$P$點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)形式，利用$CP$的方向向量與平面$ADE'$法向量垂直求解參數(shù)。拓展應(yīng)用：翻折問題在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，如折疊式家具的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與空間利用率優(yōu)化。五、概率與統(tǒng)計(jì)案例分析問題9：隨機(jī)變量的分布列與期望具體問題：某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分為一等品、二等品和次品三個(gè)等級(jí)，其中一等品率為$60%$，二等品率為$30%$，次品率為$10%$。每件一等品可獲利$10$元，二等品可獲利$5$元，次品虧損$2$元。（1）若從該工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取$3$件，求至少有$2$件一等品的概率；（2）若該工廠改進(jìn)生產(chǎn)工藝，次品率降低為$5%$，但一等品率降為$55%$，二等品率為$40%$。改進(jìn)后每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本增加$1$元，問改進(jìn)工藝是否劃算？（3）若隨機(jī)抽取$n$件產(chǎn)品，記$X$為其中一等品的數(shù)量，$Y$為獲利總額，求$Y$的期望$E(Y)$與$n$的函數(shù)關(guān)系，并求當(dāng)$n=100$時(shí)$Y$的方差$D(Y)$。解題思路：（1）利用二項(xiàng)分布$X\simB(3,0.6)$，計(jì)算$P(X\geq2)=P(X=2)+P(X=3)$。（2）分別計(jì)算改進(jìn)前后每件產(chǎn)品的期望利潤(rùn)，比較大小判斷是否劃算。（3）$Y=10X+5(總件數(shù)-X-次品數(shù))-2\times次品數(shù)$，結(jié)合期望線性性質(zhì)求$E(Y)$，利用方差公式求$D(Y)$。拓展應(yīng)用：在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用，如保險(xiǎn)公司根據(jù)產(chǎn)品故障率制定保費(fèi)的數(shù)學(xué)模型。問題10：統(tǒng)計(jì)圖表的分析與應(yīng)用具體問題：某學(xué)校為了解高一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取$100$名學(xué)生的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)（滿分$150$分），得到如下頻率分布直方圖（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：（1）求頻率分布直方圖中$[120,150]$區(qū)間的頻率，并補(bǔ)全直方圖；（2）若成績(jī)不低于$120$分為“優(yōu)秀”，低于$90$分為“待提升”，現(xiàn)從“優(yōu)秀”和“待提升”的學(xué)生中分層抽樣抽取$5$人，再?gòu)倪@$5$人中隨機(jī)抽取$2$人，求至少有$1$人是“優(yōu)秀”的概率；（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（精確到$0.1$）。解題思路：（1）利用頻率分布直方圖的面積和為$1$，計(jì)算缺失區(qū)間的頻率，進(jìn)而確定矩形高度。（2）先計(jì)算“優(yōu)秀”和“待提升”的人數(shù)，按分層抽樣比例確定抽取人數(shù)，再利用古典概型計(jì)算概率。（3）利用組中值乘以頻率求和得平均數(shù)，通過累計(jì)頻率確定中位數(shù)所在區(qū)間，解方程求中位數(shù)。拓展應(yīng)用：統(tǒng)計(jì)圖表在教育評(píng)估中的應(yīng)用，如學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)分析與教學(xué)質(zhì)量評(píng)價(jià)模型。六、數(shù)學(xué)建模與跨學(xué)科綜合問題11：函數(shù)模型在環(huán)境科學(xué)中的應(yīng)用具體問題：某湖泊因污染導(dǎo)致水質(zhì)下降，水中溶解氧濃度$C$（單位：mg/L）與污染治理時(shí)間$t$（單位：天）的關(guān)系滿足模型$C(t)=10-8e^{-kt}+2e^{-2kt}$（$k>0$）。（1）求污染治理初期（$t=0$）和長(zhǎng)期治理（$t\to+\infty$）時(shí)的溶解氧濃度；（2）若當(dāng)溶解氧濃度達(dá)到$6$mg/L時(shí)水質(zhì)達(dá)標(biāo)，求達(dá)標(biāo)所需的最短時(shí)間（精確到$0.1$天）；（3）為加快治理速度，現(xiàn)調(diào)整模型為$C(t)=10-8e^{-kt}+2e^{-2kt}+mt$（$m>0$），若要求$t=30$天時(shí)$C(t)\geq8$，求$m$的最小值。解題思路：（1）直接代入$t=0$和$t\to+\infty$求極限值。（2）令$C(t)=6$，換元$u=e^{-kt}$，轉(zhuǎn)化為二次方程$2u^2-8u+4=0$，求解$u$后反求$t$。（3）代入$t=30$，解不等式$10-8e^{-30k}+2e^{-60k}+30m\geq8$，結(jié)合$k>0$時(shí)$e^{-30k}<1$放縮求$m$的最小值。拓展應(yīng)用：微分方程模型在生態(tài)修復(fù)中的應(yīng)用，如河流污染擴(kuò)散的動(dòng)態(tài)模擬與治理方案優(yōu)化。問題12：數(shù)列模型在金融投資中的應(yīng)用具體問題：某投資者有本金$10$萬元，計(jì)劃進(jìn)行為期$5$年的投資，現(xiàn)有兩種方案：方案一：購(gòu)買年利率為$r$的定期存款，按復(fù)利計(jì)算（每年計(jì)息一次）；方案二：購(gòu)買某理財(cái)產(chǎn)品，第$1$年收益為本金的$5%$，從第$2$年起，每年收益比上一年減少$0.5%$（即第$2$年收益為$4.5%$，第$3$年為$4%$，以此類推，收益不足$0$時(shí)按$0$計(jì)算）。（1）若$r=4%$，分別計(jì)算兩種方案$5$年后的本息和（精確到$1$元）；（2）若方案二的總收益不低于方案一，求$r$的最大值（精確到$0.1%$）；（3）若投資者將本金按比例$x$、$1-x$分別投入兩種方案（$0<x<1$），求$5$年后總本息和關(guān)于$x$的函數(shù)，并求使總本息和最大的$x$值。解題思路：（1）方案一：$10(1+0.04)^5$；方案二：逐年計(jì)算收益，累加本金與各年收益。（2）列出不等式$10[1+0.05+0.045+\cdots+(0.05-0.005\times4)]\geq10(1+r)^5$，解出$r$。（3）建立總本息和函數(shù)$S(x)=10x(1+r)^5+10(1-x)(1+\sum_{i=0}^{4}(0.05-0.005i))$，求導(dǎo)或利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值。拓展應(yīng)用：金融投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益分析，如資產(chǎn)配置中復(fù)利模型與線性遞減收益模型的優(yōu)化組合。七、拓展探究題問題13：數(shù)學(xué)文化與歷史名題具體問題：古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出“圓柱容球”定理：球與其外切圓柱的體積之比為$\frac{2}{3}$，表面積之比也為$\frac{2}{3}$。（1）已知球的半徑為$R$，驗(yàn)證該定理的體積關(guān)系；（2）類比“圓柱容球”模型，探究“正方體容球”（球內(nèi)切于正方體）和“正四面體容球”（球內(nèi)切于正四面體）中，球與幾何體的體積比；（3）若球與一個(gè)直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，且該三棱柱的體積為$48\pi$，求球的表面積。解題思路：（1）分別計(jì)算球的體積$\frac{4}{3}\piR^3$和外切圓柱體積$\piR^2\cdot2R=2\piR^3$，求比值。（2）正方體容球：球直徑等于正方體棱長(zhǎng)$a$，體積比為$\frac{\frac{4}{3}\pi(\frac{a}{2})^3}{a^3}=\frac{\pi}{6}$；正四面體容球：利用內(nèi)切球半徑與棱長(zhǎng)的關(guān)系推導(dǎo)體積比。（3）設(shè)球半徑為$r$，則三棱柱高為$2r$，底面內(nèi)切圓半徑為$r$，設(shè)底面三角形邊長(zhǎng)為$a