2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)經(jīng)濟生活背景試題（二）一、單利與復(fù)利的對比應(yīng)用題目：某家庭為孩子教育儲備資金，有兩種理財方案可選：方案A：存入銀行，采用單利計息，本金10000元，年利率2.5%，存期3年；方案B：購買理財產(chǎn)品，采用復(fù)利計息，本金10000元，年利率2.2%，每年復(fù)利一次，存期3年。（1）分別計算兩種方案的到期本利和；（2）若考慮通貨膨脹率每年1.5%（即實際購買力=名義本利和÷(1+通脹率)^存期），哪種方案的實際收益更高？解答：（1）方案A（單利）：單利本利和公式為(S=P(1+nr))，其中(P=10000)元，(r=2.5%=0.025)，(n=3)年。代入得(S_A=10000\times(1+3\times0.025)=10000\times1.075=10750)元。方案B（復(fù)利）：復(fù)利本利和公式為(S=P(1+r)^n)，其中(r=2.2%=0.022)。代入得(S_B=10000\times(1+0.022)^3\approx10000\times1.067=10670)元（精確計算：(1.022^3=1.022\times1.022\times1.022\approx1.067)）。（2）實際購買力計算：方案A實際購買力(=\frac{10750}{(1+0.015)^3}\approx\frac{10750}{1.0457}\approx10279)元；方案B實際購買力(=\frac{10670}{1.0457}\approx10203)元。因此，方案A的實際收益更高。二、等差數(shù)列與分期還款模型題目：某同學(xué)購買一臺售價5000元的筆記本電腦，采用分期付款方式：首付1000元，剩余欠款分12個月等額償還，每月還款額包括剩余本金的500元及欠款產(chǎn)生的月利息（月利率0.8%）。（1）求每月還款額構(gòu)成的數(shù)列通項公式；（2）計算全部付清后實際支付的總金額。解答：（1）欠款總額為(5000-1000=4000)元，分12期，每月償還本金(\frac{4000}{12}\approx333.33)元（此處題干“每月償還剩余本金的500元”可能為筆誤，按4000元分12期修正為每月本金333.33元，或按原題“500元”則需8期，此處按12期邏輯修正）。設(shè)第(n)個月還款額為(a_n)，剩余本金為(4000-333.33(n-1))，則：(a_n=333.33+[4000-333.33(n-1)]\times0.8%)化簡得(a_n=333.33+32-2.6666(n-1)=365.33-2.6666n)（首項(a_1=333.33+4000\times0.8%=333.33+32=365.33)元）。（2）總還款額=首付+12期還款總和。12期還款構(gòu)成等差數(shù)列，首項(a_1=365.33)，末項(a_{12}=365.33-2.6666\times12\approx365.33-32=333.33)元。總和(S_{12}=\frac{12\times(365.33+333.33)}{2}=6\times698.66\approx4192)元。總支付金額=1000+4192=5192元。三、等比數(shù)列與人口增長模型題目：某城市2025年人口為100萬，若人口年增長率為1.2%，資源環(huán)境承載力上限為120萬。（1）建立人口數(shù)(P_n)與年份(n)（以2025年為第0年）的函數(shù)關(guān)系；（2）估算哪一年人口將突破資源環(huán)境承載力上限？解答：（1）人口增長為等比數(shù)列模型，公式(P_n=P_0(1+r)^n)，其中(P_0=100)萬，(r=1.2%=0.012)。故(P_n=100\times(1.012)^n)。（2）令(100\times(1.012)^n\geq120)，兩邊取對數(shù)得(n\geq\frac{\ln1.2}{\ln1.012}\approx\frac{0.1823}{0.0119}\approx15.3)。因此，第16年（2025+16=2041年）人口將突破上限。四、函數(shù)模型與成本利潤分析題目：某工廠生產(chǎn)一種智能手環(huán)，固定成本為20萬元，每生產(chǎn)1千只需另投入3萬元，且總收益(R(x))（萬元）與產(chǎn)量(x)（千只）的關(guān)系為：[R(x)=\begin{cases}8x-0.5x^2&(0\leqx\leq8)\48&(x>8)\end{cases}]（1）求利潤函數(shù)(L(x))（利潤=總收益-總成本）；（2）產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？解答：（1）總成本(C(x)=20+3x)（萬元），故：當(0\leqx\leq8)時，(L(x)=R(x)-C(x)=(8x-0.5x^2)-(20+3x)=-0.5x^2+5x-20)；當(x>8)時，(L(x)=48-(20+3x)=28-3x)。（2）當(0\leqx\leq8)時，(L(x)=-0.5x^2+5x-20)，對稱軸(x=-\frac{5}{2\times(-0.5)}=5)（千只）。此時(L(5)=-0.5\times25+25-20=-12.5+5=-7.5)萬元（虧損）。當(x>8)時，(L(x)=28-3x)單調(diào)遞減，最大利潤在(x=9)時為(28-27=1)萬元。因此，產(chǎn)量為9千只時利潤最大，最大利潤1萬元。五、統(tǒng)計與概率在風(fēng)險決策中的應(yīng)用題目：某投資者有A、B兩個項目可選，收益（單位：萬元）與市場狀態(tài)的概率分布如下表：市場狀態(tài)概率項目A收益項目B收益繁榮0.31015平穩(wěn)0.555衰退0.2-2-5（1）計算兩個項目的期望收益；（2）若投資者風(fēng)險厭惡，選擇方差較小的項目，應(yīng)選哪個？（方差公式：(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2)）解答：（1）期望收益(E(X)=\sump_ix_i)項目A：(E(A)=0.3\times10+0.5\times5+0.2\times(-2)=3+2.5-0.4=5.1)萬元；項目B：(E(B)=0.3\times15+0.5\times5+0.2\times(-5)=4.5+2.5-1=6)萬元。（2）方差計算：項目A：(E(A^2)=0.3\times100+0.5\times25+0.2\times4=30+12.5+0.8=43.3)，(D(A)=43.3-(5.1)