2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)藝術(shù)素養(yǎng)評(píng)估試題一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共30分）敦煌藻井中的幾何對(duì)稱(chēng)：敦煌莫高窟第285窟的藻井圖案由正六邊形和正三角形嵌套而成。若該圖案中最小正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則與其外接的正三角形邊長(zhǎng)為（）A.√3B.2C.2√3D.3建筑中的黃金分割：巴黎埃菲爾鐵塔總高324米，其塔身與塔基的高度比接近黃金分割比0.618。若塔基高度為x米，則可列方程（）A.x/324=0.618B.(324-x)/x=0.618C.x/(324-x)=0.618D.(324+x)/x=0.618音樂(lè)中的函數(shù)圖像：鋼琴上的C大調(diào)音階頻率（單位：Hz）滿足f(n)=261.63×2^(n/12)，其中n=0,1,2,…,11對(duì)應(yīng)C到B的12個(gè)半音。則高音C（n=12）的頻率是中音C（n=0）的（）A.1倍B.2倍C.12倍D.24倍繪畫(huà)中的透視原理：達(dá)芬奇《最后的晚餐》采用單點(diǎn)透視法，使所有透視線匯聚于基督頭部后方的滅點(diǎn)。若畫(huà)面中餐桌邊緣AB與滅點(diǎn)O的連線與水平線夾角為30°，AB長(zhǎng)2米，其在視網(wǎng)膜上的投影A'B'長(zhǎng)10厘米，則觀察者與畫(huà)面的距離為（）A.10√3米B.20米C.10米D.5√3米剪紙藝術(shù)中的對(duì)稱(chēng)群：將正方形紅紙對(duì)折兩次后剪出的圖案，展開(kāi)后至少具有的對(duì)稱(chēng)性是（）A.1條對(duì)稱(chēng)軸B.2條對(duì)稱(chēng)軸C.4條對(duì)稱(chēng)軸D.中心對(duì)稱(chēng)舞蹈隊(duì)形的排列組合：8名舞者表演圓形隊(duì)列，其中領(lǐng)舞必須站在固定位置，則不同的排列方式有（）A.7!種B.8!種C.8^2種D.7^2種二、填空題（每題6分，共30分）分形幾何與雪花曲線：科赫雪花曲線由等邊三角形迭代生成，第1次迭代將每條邊三等分并以中間段為底邊作新等邊三角形（如圖1）。若原始三角形邊長(zhǎng)為1，則第3次迭代后曲線的總長(zhǎng)度為_(kāi)_____。書(shū)法中的概率分布：某同學(xué)練習(xí)毛筆字，寫(xiě)對(duì)“永”字八法中“側(cè)”筆的概率為0.8，獨(dú)立書(shū)寫(xiě)5次，恰好寫(xiě)對(duì)3次的概率是______（用數(shù)字作答）。刺繡中的向量運(yùn)算：繡品上兩點(diǎn)A(1,2)、B(4,6)，若繡線從A到B的方向向量為a，再沿b=(2,-1)繡至點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_____。電影中的分鏡頭計(jì)算：某動(dòng)畫(huà)電影每秒播放24幀，若一個(gè)鏡頭包含函數(shù)f(x)=sin(πx)在[0,4]內(nèi)的完整圖像，則至少需要______幀畫(huà)面才能表現(xiàn)該函數(shù)的周期性變化。園林設(shè)計(jì)中的幾何規(guī)劃：蘇州拙政園“與誰(shuí)同坐軒”為扇形建筑，其圓心角120°，半徑6米。若要在軒內(nèi)鋪設(shè)圓形地磚，最大地磚的直徑為_(kāi)_____米。三、解答題（共40分）（12分）敦煌壁畫(huà)中的幾何圖案莫高窟第323窟壁畫(huà)繪有“伏羲女?huà)z執(zhí)規(guī)矩圖”，其中伏羲手持矩（曲尺），女?huà)z手持規(guī)（圓規(guī)）。（1）若女?huà)z用圓規(guī)畫(huà)半徑為r的圓，其弦AB長(zhǎng)√3r，求弦AB所對(duì)的圓心角α；（2）伏羲用矩測(cè)量直角三角形土地，其三邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)，求該三角形的面積；（3）若壁畫(huà)中某圖案由12個(gè)全等菱形組成正十二邊形，每個(gè)菱形銳角為30°，邊長(zhǎng)為2，求正十二邊形的面積。（14分）音樂(lè)中的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)古希臘畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)，弦長(zhǎng)比為簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)發(fā)出和諧音：|音程|純八度|純五度|純四度|大三度||----|------|------|------|------||弦長(zhǎng)比|1:2|2:3|3:4|4:5|（1）若某弦長(zhǎng)60cm發(fā)出“do”音，求發(fā)出“sol”（純五度）的弦長(zhǎng)；（2）證明：純五度與純四度的頻率比為9:8（提示：頻率與弦長(zhǎng)成反比）；（3）鋼琴的平均律將八度分為12個(gè)半音，每個(gè)半音的頻率比為2^(1/12)。計(jì)算平均律中大三度（4個(gè)半音）的頻率比，并與畢達(dá)哥拉斯的4:5比較，差值百分比是多少？（14分）建筑與藝術(shù)的綜合應(yīng)用某藝術(shù)館設(shè)計(jì)螺旋樓梯，其側(cè)面輪廓為對(duì)數(shù)螺線r=e^θ（極坐標(biāo)方程，θ單位：弧度），樓梯每旋轉(zhuǎn)180°升高2米。（1）計(jì)算θ從0到π時(shí)螺線的弧長(zhǎng)（弧長(zhǎng)公式：L=∫√(r2+(dr/dθ)2)dθ）；（2）若樓梯臺(tái)階寬度為0.3米，求θ=π處的臺(tái)階高度；（3）為增強(qiáng)美感，在樓梯扶手上安裝LED燈帶，當(dāng)θ=2π時(shí)燈帶長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，θ=4π時(shí)為L(zhǎng)2，比較L2與2L1的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由。四、實(shí)踐創(chuàng)作題（共20分）校園藝術(shù)節(jié)設(shè)計(jì)任務(wù)學(xué)校計(jì)劃用以下要求設(shè)計(jì)舞臺(tái)背景：（1）圖案由函數(shù)f(x)=|sinx|+|cosx|（x∈[0,2π]）與x軸圍成的封閉圖形經(jīng)過(guò)伸縮、旋轉(zhuǎn)后形成；（2）使用至少3種顏色，且相鄰區(qū)域顏色不同；（3）融入至少1種傳統(tǒng)文化元素（如剪紙、書(shū)法、臉譜等）。請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）畫(huà)出f(x)在[0,2π]的圖像，并求出其與x軸圍成的面積；（2）說(shuō)明圖形變換的具體步驟（如：橫向拉伸為原來(lái)2倍，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°等）；（3）用文字描述設(shè)計(jì)方案，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題B提示：正六邊形外接正三角形邊長(zhǎng)為2倍六邊形邊長(zhǎng)C提示：黃金分割比為較長(zhǎng)線段與較短線段之比B提示：f(12)=261.63×2^(12/12)=2×f(0)A提示：利用相似三角形，tan30°=0.1/d，解得d=10√3C提示：兩次對(duì)折后剪出的圖案具有4條對(duì)稱(chēng)軸A提示：圓形排列公式為(n-1)!二、填空題64/9提示：第n次迭代后長(zhǎng)度為3×(4/3)^n0.2048提示：C(5,3)×0.83×0.22=10×0.512×0.04=0.2048(7,5)提示：向量AB=(3,4)，OC=OA+AB+b=(1+3+2,2+4-1)=(6,5)48提示：函數(shù)周期為2，需2×24=48幀2提示：扇形內(nèi)接圓半徑r=6/(1+1/sin60°)=2三、解答題（12題示例）12.（1）由余弦定理cosα=(r2+r2-(√3r)2)/(2r2)=-1/2，得α=120°（4分）（2）設(shè)三邊長(zhǎng)為n-1,n,n+1，由勾股定理(n-1)2+n2=(n+1)2，解得n=4，面積6（4分）（3）每個(gè)菱形面積S=2×2×sin30°=2，總面積12×2=24（4分）（注：完整試題含詳細(xì)解析、評(píng)分細(xì)則及實(shí)踐題評(píng)價(jià)量表，此處從略）命題說(shuō)明：素養(yǎng)導(dǎo)向：覆蓋數(shù)學(xué)抽象（分形幾何）、邏輯推理（建筑透視）、數(shù)學(xué)建模（音樂(lè)頻率）等6大核心素養(yǎng)；跨學(xué)科融合：涉及藝術(shù)史（達(dá)芬奇作品）、