2025年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)第十一章章節(jié)小測一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共60分）1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征題目：下列關(guān)于棱柱的說法正確的是（）A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B.棱柱的側(cè)面都是矩形C.棱柱的側(cè)棱都相等且互相平行D.底面是正多邊形的棱柱是正棱柱解析：A項(xiàng)忽略了“其余各面的公共邊互相平行”的條件，反例如兩個(gè)底面平行但側(cè)面不平行的擬柱體；B項(xiàng)僅直棱柱的側(cè)面是矩形，斜棱柱側(cè)面為平行四邊形；D項(xiàng)需同時(shí)滿足“側(cè)棱垂直于底面”才是正棱柱，僅底面正多邊形的棱柱可能為斜棱柱；答案：C2.三視圖與直觀圖題目：某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（注：此處假設(shè)三視圖為：正視圖和側(cè)視圖均為邊長2的正方形，俯視圖為邊長2的正三角形）A.(2\sqrt{3}\\text{cm}^3)B.(4\sqrt{3}\\text{cm}^3)C.(\frac{4\sqrt{3}}{3}\\text{cm}^3)D.(\frac{2\sqrt{3}}{3}\\text{cm}^3)解析：由三視圖可知該幾何體為正三棱柱，底面正三角形邊長為2，高為2。底面面積(S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times2^2=\sqrt{3})，體積(V=S\timesh=\sqrt{3}\times2=2\sqrt{3})。答案：A3.空間幾何體的表面積題目：已知圓錐的母線長為5，底面半徑為3，則其表面積為（）A.(15\pi)B.(24\pi)C.(30\pi)D.(39\pi)解析：圓錐表面積(S=\pir^2+\pirl)（(r)為底面半徑，(l)為母線長）。代入得(S=\pi\times3^2+\pi\times3\times5=9\pi+15\pi=24\pi)。答案：B4.空間幾何體的體積題目：棱長為2的正方體中，一個(gè)三棱錐的頂點(diǎn)為正方體的三個(gè)頂點(diǎn)，底面為正方體底面的對角線，則該三棱錐的體積為（）A.(\frac{4}{3})B.(\frac{8}{3})C.4D.(\frac{16}{3})解析：設(shè)正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)，三棱錐頂點(diǎn)為(A_1)，底面為(\triangleABC)（(ABC)為底面正方形的三個(gè)頂點(diǎn)）。底面面積(S=\frac{1}{2}\times2\times2=2)，高為正方體棱長2，體積(V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3})。答案：A5.平面的基本性質(zhì)題目：下列命題正確的是（）A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.四邊形一定是平面圖形C.梯形一定是平面圖形D.平面(\alpha)和平面(\beta)有且只有一條公共直線解析：A項(xiàng)需“不共線三點(diǎn)”；B項(xiàng)空間四邊形不是平面圖形；D項(xiàng)兩平面平行時(shí)無公共直線；C項(xiàng)梯形有一組對邊平行，根據(jù)平面基本性質(zhì)，平行直線確定一個(gè)平面，故梯形是平面圖形。答案：C6.空間中直線與直線的位置關(guān)系題目：在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，直線(AB)與(C_1D_1)的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.異面D.無法確定解析：(AB)與(C_1D_1)既不相交也不平行，且不在同一平面內(nèi)，故為異面直線。答案：C7.直線與平面平行的判定題目：已知平面(\alpha)外一條直線(l)平行于平面(\alpha)內(nèi)的一條直線(m)，則直線(l)與平面(\alpha)的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.在平面內(nèi)D.無法確定解析：由直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。答案：A8.平面與平面平行的性質(zhì)題目：已知平面(\alpha\parallel\beta)，直線(a\subset\alpha)，直線(b\subset\beta)，則直線(a)與(b)的位置關(guān)系是（）A.平行B.異面C.平行或異面D.相交解析：兩平行平面內(nèi)的直線可能平行（如兩平面間的平行線）或異面（如不在同一方向的直線），但不可能相交（若相交則兩平面有公共點(diǎn)，與平行矛盾）。答案：C9.直線與平面垂直的判定題目：在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perpAB)，(PA\perpAC)，則直線(PA)與平面(ABC)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.斜交D.在平面內(nèi)解析：由題意，(PA)垂直于平面(ABC)內(nèi)兩條相交直線(AB)和(AC)，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，(PA\perp)平面(ABC)。答案：B10.平面與平面垂直的性質(zhì)題目：已知平面(\alpha\perp\beta)，(\alpha\cap\beta=l)，直線(a\subset\alpha)，且(a\perpl)，則直線(a)與平面(\beta)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.斜交D.在平面內(nèi)解析：由平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。答案：B11.空間向量的數(shù)量積題目：已知空間向量(\vec{a}=(1,2,3))，(\vec=(2,-1,1))，則(\vec{a}\cdot\vec=)（）A.3B.4C.5D.6解析：空間向量數(shù)量積公式(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)。代入得(1\times2+2\times(-1)+3\times1=2-2+3=3)。答案：A12.利用空間向量求線面角題目：已知直線(l)的方向向量為(\vec{u}=(1,1,1))，平面(\alpha)的法向量為(\vec{n}=(1,-1,0))，則直線(l)與平面(\alpha)所成角的正弦值為（）A.(\frac{\sqrt{6}}{6})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(\frac{\sqrt{6}}{3})解析：設(shè)線面角為(\theta)，則(\sin\theta=|\cos\langle\vec{u},\vec{n}\rangle|=\frac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|})。(\vec{u}\cdot\vec{n}=1\times1+1\times(-1)+1\times0=0)，故(\sin\theta=0)，但選項(xiàng)中無0，推測題目應(yīng)為法向量(\vec{n}=(1,1,0))，則(\vec{u}\cdot\vec{n}=2)，(|\vec{u}|=\sqrt{3})，(|\vec{n}|=\sqrt{2})，(\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3})。答案：D二、填空題（每題5分，共20分）13.空間幾何體的體積計(jì)算題目：一個(gè)球的表面積為(16\pi)，則其體積為________。解析：由表面積(S=4\piR^2=16\pi)，得(R=2)，體積(V=\frac{4}{3}\piR^3=\frac{4}{3}\pi\times8=\frac{32\pi}{3})。答案：(\frac{32\pi}{3})14.異面直線所成角題目：在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，異面直線(A_1B)與(AD_1)所成角的大小為________。解析：連接(D_1C)和(AC)，易證(A_1B\parallelD_1C)，故(\angleAD_1C)為異面直線所成角。(\triangleAD_1C)為等邊三角形，故(\angleAD_1C=60^\circ)。答案：(60^\circ)15.平面與平面垂直的判定題目：已知三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，則平面(PAB)與平面(PBC)的位置關(guān)系是________。解析：(PA\perp)平面(ABC)得(PA\perpBC)，又(AB\perpBC)，且(PA\capAB=A)，故(BC\perp)平面(PAB)。因?yàn)?BC\subset)平面(PBC)，所以平面(PAB\perp)平面(PBC)。答案：垂直16.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算題目：已知空間三點(diǎn)(A(1,0,0))，(B(0,1,0))，(C(0,0,1))，則向量(\overrightarrow{AB})與(\overrightarrow{AC})的數(shù)量積為________。解析：(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0))，(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1))，數(shù)量積為((-1)(-1)+1\times0+0\times1=1)。答案：1三、解答題（共70分）17.（10分）空間幾何體的表面積與體積題目：已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為5，求該棱錐的表面積和體積。解析：表面積：底面正方形面積(S_{\text{底}}=4^2=16)；側(cè)面為4個(gè)全等的等腰三角形，斜高(h'=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21})，側(cè)面積(S_{\text{側(cè)}}=4\times\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{21}=8\sqrt{21})，表面積(S=16+8\sqrt{21})。體積：高(h=\sqrt{5^2-(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{25-8}=\sqrt{17})，體積(V=\frac{1}{3}\times16\times\sqrt{17}=\frac{16\sqrt{17}}{3})。答案：表面積(16+8\sqrt{21})，體積(\frac{16\sqrt{17}}{3})。18.（12分）直線與平面平行的判定與性質(zhì)題目：如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(D)為(AC)的中點(diǎn)，求證：(B_1C\parallel)平面(A_1BD)。證明：連接(AB_1)交(A_1B)于點(diǎn)(O)，連接(OD)。因?yàn)?ABC-A_1B_1C_1)是三棱柱，所以四邊形(ABB_1A_1)為平行四邊形，(O)為(AB_1)中點(diǎn)。又(D)為(AC)中點(diǎn)，所以(OD\parallelB_1C)。因?yàn)?OD\subset)平面(A_1BD)，(B_1C\not\subset)平面(A_1BD)，所以(B_1C\parallel)平面(A_1BD)。19.（12分）平面與平面垂直的判定題目：已知四棱錐(P-ABCD)的底面(ABCD)為菱形，且(PA\perp)平面(ABCD)，求證：平面(PAC\perp)平面(PBD)。證明：因?yàn)?PA\perp)平面(ABCD)，(BD\subset)平面(ABCD)，所以(PA\perpBD)。底面(ABCD)為菱形，所以(AC\perpBD)。因?yàn)?PA\capAC=A)，所以(BD\perp)平面(PAC)。又(BD\subset)平面(PBD)，所以平面(PAC\perp)平面(PBD)。20.（14分）利用空間向量求二面角題目：在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，棱長為2，(E)為(BB_1)的中點(diǎn)，求平面(AEC_1)與平面(ABCD)所成二面角的余弦值。解析：以(D)為原點(diǎn)，(DA,DC,DD_1)為(x,y,z)軸建立坐標(biāo)系，得(A(2,0,0))，(E(2,2,1))，(C_1(0,2,2))，平面(ABCD)的法向量(\vec{n_1}=(0,0,1))。設(shè)平面(AEC_1)的法向量(\vec{n_2}=(x,y,z))，(\overrightarrow{AE}=(0,2,1))，(\overrightarrow{AC_1}=(-2,2,2))。由(\vec{n_2}\cdot\overrightarrow{AE}=2y+z=0)，(\vec{n_2}\cdot\overrightarrow{AC_1}=-2x+2y+2z=0)，取(y=1)，得(z=-2)，(x=-1)，(\vec{n_2}=(-1,1,-2))。二面角余弦值(|\cos\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle|=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3})。答案：(\frac{\sqrt{6}}{3})21.（18分）綜合應(yīng)用題題目：如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(M)為(A_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(BM\perp)平面(A_1BC)；（2）求三棱錐(M-ABC)的體積。解析：（1）證明：以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為(x,y,z)軸建立坐