2025年線性代數(shù)產(chǎn)品研發(fā)中的數(shù)學(xué)模型試題一、矩陣運(yùn)算在智能硬件資源調(diào)度中的應(yīng)用1.1動(dòng)態(tài)內(nèi)存分配模型某消費(fèi)電子企業(yè)研發(fā)的智能手表需優(yōu)化內(nèi)存資源調(diào)度，其核心芯片包含3個(gè)物理內(nèi)存模塊（M1、M2、M3）。根據(jù)用戶行為分析，內(nèi)存塊在不同任務(wù)場(chǎng)景下的遷移概率如下：當(dāng)運(yùn)行健康監(jiān)測(cè)任務(wù)時(shí)，M1有20%內(nèi)存遷移至M2，15%遷移至M3；M2有10%遷移至M1，25%遷移至M3；M3有5%遷移至M1，10%遷移至M2。初始狀態(tài)下，M1、M2、M3的內(nèi)存分配分別為8GB、4GB、2GB。問題：（1）建立內(nèi)存遷移的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，計(jì)算第3個(gè)任務(wù)周期結(jié)束時(shí)各模塊的內(nèi)存容量；（2）若系統(tǒng)要求任一模塊內(nèi)存不得低于1.5GB，判斷是否需要觸發(fā)內(nèi)存保護(hù)機(jī)制。解答：（1）設(shè)狀態(tài)向量$\boldsymbol{x}_k=[x_1,x_2,x_3]^T$表示第k周期的內(nèi)存分配，轉(zhuǎn)移矩陣$\boldsymbol{P}$為：$$\boldsymbol{P}=\begin{bmatrix}0.65&0.10&0.05\0.20&0.65&0.10\0.15&0.25&0.85\end{bmatrix}$$初始向量$\boldsymbol{x}_0=[8,4,2]^T$，通過(guò)矩陣乘法得：$$\boldsymbol{x}_1=\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}_0=[5.9,4.1,4.0]^T\\boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}_1=[4.74,4.13,5.13]^T\\boldsymbol{x}_3=\boldsymbol{P}\boldsymbol{x}_2=[4.03,4.08,5.89]^T$$（2）各模塊內(nèi)存均高于1.5GB，無(wú)需觸發(fā)保護(hù)機(jī)制。1.2供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)流優(yōu)化某新能源車企的電池組件供應(yīng)鏈包含4個(gè)供應(yīng)商（S1-S4）和3個(gè)生產(chǎn)基地（P1-P3），運(yùn)輸成本矩陣$\boldsymbol{C}$（單位：百元/箱）及產(chǎn)能限制如下：$$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}3&5&4\2&4&3\5&3&6\4&2&5\end{bmatrix}$$供應(yīng)商月產(chǎn)能分別為200、150、180、220箱，基地月需求分別為300、250、200箱。問題：（1）建立線性規(guī)劃模型，以最小化運(yùn)輸成本；（2）用單純形法求解最優(yōu)運(yùn)輸方案，寫出基可行解對(duì)應(yīng)的基矩陣。解答：（1）設(shè)$x_{ij}$為供應(yīng)商i向基地j的運(yùn)輸量，目標(biāo)函數(shù)：$$\minZ=3x_{11}+5x_{12}+4x_{13}+2x_{21}+4x_{22}+3x_{23}+5x_{31}+3x_{32}+6x_{33}+4x_{41}+2x_{42}+5x_{43}$$約束條件：$$\begin{cases}x_{11}+x_{12}+x_{13}\leq200\x_{21}+x_{22}+x_{23}\leq150\x_{31}+x_{32}+x_{33}\leq180\x_{41}+x_{42}+x_{43}\leq220\x_{11}+x_{21}+x_{31}+x_{41}=300\x_{12}+x_{22}+x_{32}+x_{42}=250\x_{13}+x_{23}+x_{33}+x_{43}=200\x_{ij}\geq0\end{cases}$$（2）通過(guò)單純形法迭代，最優(yōu)解中基變量為$x_{13}=200,x_{21}=150,x_{32}=180,x_{41}=150,x_{42}=70$，基矩陣由對(duì)應(yīng)系數(shù)列向量構(gòu)成。二、特征值理論在信號(hào)處理中的應(yīng)用2.1圖像降噪的主成分分析某醫(yī)療設(shè)備公司研發(fā)的超聲成像系統(tǒng)需對(duì)圖像數(shù)據(jù)降噪。采集的100×100像素超聲圖像可表示為10000維向量，經(jīng)協(xié)方差矩陣計(jì)算得到前5個(gè)特征值為：λ?=1250,λ?=820,λ?=310,λ?=95,λ?=42。問題：（1）計(jì)算保留90%信息所需的最小主成分?jǐn)?shù)量；（2）若采用低秩近似重構(gòu)圖像，寫出基于SVD分解的圖像壓縮表達(dá)式。解答：（1）總方差$\sum_{i=1}^{5}\lambda_i=2517$，前3個(gè)主成分累計(jì)方差占比：$$\frac{1250+820+310}{2517}\approx94.5%>90%$$故需保留3個(gè)主成分。（2）設(shè)圖像矩陣為$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{100\times100}$，SVD分解$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{V}^T$，壓縮重構(gòu)為：$$\boldsymbol{A}_k=\boldsymbol{U}_k\boldsymbol{\Sigma}_k\boldsymbol{V}_k^T$$其中$\boldsymbol{U}_k$取前k列，$\boldsymbol{\Sigma}_k$為k階對(duì)角陣，$\boldsymbol{V}_k^T$取前k行。2.2振動(dòng)模態(tài)分析某航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的振動(dòng)測(cè)試數(shù)據(jù)可表示為二階系統(tǒng)：$\boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{x}}+\boldsymbol{K}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}(t)$，其中質(zhì)量矩陣$\boldsymbol{M}=\text{diag}(2,3)$，剛度矩陣$\boldsymbol{K}=\begin{bmatrix}5&-2\-2&4\end{bmatrix}$。問題：（1）計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率（特征值平方根）；（2）若阻尼矩陣$\boldsymbol{C}=\alpha\boldsymbol{M}+\beta\boldsymbol{K}$，確定α,β使系統(tǒng)臨界阻尼比為0.05。解答：（1）特征方程$|\boldsymbol{K}-\omega^2\boldsymbol{M}|=0$：$$\begin{vmatrix}5-2\omega^2&-2\-2&4-3\omega^2\end{vmatrix}=6\omega^4-22\omega^2+16=0$$解得$\omega_1^2=1,\omega_2^2=8/3$，固有頻率$\omega_1=1\text{Hz},\omega_2\approx1.63\text{Hz}$。三、線性方程組在工業(yè)控制中的應(yīng)用3.1溫度場(chǎng)分布計(jì)算某半導(dǎo)體晶圓的熱傳導(dǎo)模型可簡(jiǎn)化為4節(jié)點(diǎn)網(wǎng)格，節(jié)點(diǎn)溫度$T_1-T_4$滿足穩(wěn)態(tài)熱方程：$$\begin{cases}4T_1-T_2-T_3=100\-T_1+4T_2-T_4=80\-T_1+4T_3-T_4=60\-T_2-T_3+4T_4=40\end{cases}$$問題：（1）用高斯消元法求解各節(jié)點(diǎn)溫度；（2）若節(jié)點(diǎn)2溫度實(shí)測(cè)值為32.5℃，計(jì)算殘差向量的2-范數(shù)。解答：（1）系數(shù)矩陣$\boldsymbol{A}$和右端項(xiàng)$\boldsymbol$：$$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}4&-1&-1&0\-1&4&0&-1\-1&0&4&-1\0&-1&-1&4\end{bmatrix},\boldsymbol=[100,80,60,40]^T$$通過(guò)高斯消元得解$\boldsymbol{T}=[30,32,28,25]^T$。（2）殘差向量$\boldsymbol{r}=[0,0.5,0,0]^T$，2-范數(shù)$||\boldsymbol{r}||_2=0.5$。3.2機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解某協(xié)作機(jī)器人的3關(guān)節(jié)手臂（旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)θ?-θ?）末端位姿滿足：$$\begin{cases}L_1\cos\theta_1+L_2\cos(\theta_1+\theta_2)+L_3\cos(\theta_1+\theta_2+\theta_3)=X\L_1\sin\theta_1+L_2\sin(\theta_1+\theta_2)+L_3\sin(\theta_1+\theta_2+\theta_3)=Y\end{cases}$$其中$L_1=0.5m,L_2=0.4m,L_3=0.3m$，目標(biāo)位姿$(X,Y)=(0.8,0.6)m$。問題：（1）當(dāng)θ?=0時(shí)，建立關(guān)于$\cos\theta_1,\sin\theta_1$的線性方程組；（2）用克拉默法則求解θ?的可能取值。解答：（1）令$\phi=\theta_1+\theta_2$，方程簡(jiǎn)化為：$$(0.5+0.4\cos\phi)\cos\theta_1-0.4\sin\phi\sin\theta_1=0.8\(0.5+0.4\cos\phi)\sin\theta_1+0.4\sin\phi\cos\theta_1=0.6$$平方相加得$(0.5+0.4\cos\phi)^2+(0.4\sin\phi)^2=1\Rightarrow\cos\phi=0.125$。（2）代入得$0.55\cos\theta_1-0.396\sin\theta_1=0.8$，解得$\theta_1\approx36.87^\circ$或$-53.13^\circ$。四、向量空間理論在生物醫(yī)藥研發(fā)中的應(yīng)用4.1藥物成分線性表示某藥企研發(fā)的7種抗癌藥物由9種中藥成分（A-I）復(fù)配而成，成分矩陣$\boldsymbol{D}\in\mathbb{R}^{9\times7}$部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：$$\boldsymbol{D}=\begin{bmatrix}10&2&14&12&20&38&100\12&0&12&25&35&60&55\5&3&11&0&5&14&0\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\end{bmatrix}$$問題：（1）判斷3號(hào)藥物（第3列）能否由1,2,4號(hào)藥物線性表示；（2）若需研發(fā)含成分A=18mg、B=20mg的新藥物，寫出線性方程組并判斷可解性。解答：（1）構(gòu)造增廣矩陣$[\boldsymbold3bdvz1_1,\boldsymbol5zt5jrn_2,\boldsymbolrhtfl5j_4|\boldsymbolxh3dxdl_3]$，通過(guò)行最簡(jiǎn)形變換得秩為3，等于系數(shù)矩陣秩，故可線性表示。（2）設(shè)新藥物為$\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7]^T$，方程組：$$10x_1+2x_2+14x_3+12x_4+20x_5+38x_6+100x_7=18\12x_1+0x_2+12x_3+25x_4+35x_5+60x_6+55x_7=20$$系數(shù)矩陣秩為2，增廣矩陣秩為2，方程組有無(wú)窮多解。4.2基因表達(dá)譜降維某基因測(cè)序儀采集的腫瘤樣本表達(dá)譜$\boldsymbol{X}\in\mathbb{R}^{20000\times500}$，經(jīng)PCA變換后得到主成分向量$\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\boldsymbol{u}_3$。問題：（1）證明主成分向量組正交性；（2）計(jì)算樣本$\boldsymbol{x}$在主成分空間的坐標(biāo)$\boldsymbol{y}=[y_1,y_2,y_3]^T$。解答：（1）協(xié)方差矩陣$\boldsymbol{\Sigma}=\frac{1}{n-1}\boldsymbol{X}\boldsymbol{X}^T$為對(duì)稱矩陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，即$\boldsymbol{u}_i^T\boldsymbol{u}_j=0(i\neqj)$。（2）坐標(biāo)$y_i=\boldsymbol{u}_i^T(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})$，其中$\boldsymbol{\mu}$為樣本均值向量。五、優(yōu)化算法中的線性代數(shù)實(shí)現(xiàn)5.1梯度下降法參數(shù)更新某自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的路徑規(guī)劃模型目標(biāo)函數(shù)$J(\boldsymbol{\theta})=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(h_\boldsymbol{\theta}(\boldsymbol{x}_i)-y_i)^2$，參數(shù)$\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{R}^{4}$，學(xué)習(xí)率$\alpha=0.01$。問題：（1）寫出梯度$\nablaJ(\boldsymbol{\theta})$的矩陣表達(dá)式；（2）若當(dāng)前參數(shù)$\boldsymbol{\theta}=[1,0.5,-0.3,2]^T$，梯度$\nablaJ=[0.2,-0.1,0.3,-0.4]^T$，計(jì)算下一輪參數(shù)值。解答：（1）$\nablaJ(\boldsymbol{\theta})=\frac{1}{m}\boldsymbol{X}^T(\boldsymbol{X}\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{y})$，其中$\boldsymbol{X}\in\mathbb{R}^{m\times4}$為特征矩陣，$\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^m$為標(biāo)簽向量。（2）參數(shù)更新$\boldsymbol{\theta}:=\boldsymbol{\theta}-\alpha\nablaJ$，得：$$\boldsymbol{\theta}_{new}=[1-0.002,0.5+0.001,-0.3-0.003,2+0.004]^T=[0.998,0.501,-0.303,2.004]^T$$5.2魯棒優(yōu)化模型構(gòu)建某無(wú)人機(jī)電池的能量密度受溫度（T）和濕度（H）影響，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)滿足線性模型$E=aT+bH+c+\epsilon$，誤差$\epsilon\in[-0.5,0.5]$。問題：（1）建立極小化最大能量誤差的魯棒優(yōu)化模型；（2）用線性規(guī)劃對(duì)偶理論將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)型。解答：（1）魯棒模型：$$\min_{a,b,c}\max_{\epsilon\in[-0.5,0.5]}|aT+bH+c+\epsilon-E|$$（2）轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃：$$\mint\\text{s.t.}aT+bH+c-E\leqt+0.5\-E+aT+bH+c\leqt+0.5\t\geq0$$六、張量分解在推薦系統(tǒng)中的應(yīng)用6.1三階用戶-物品-時(shí)間張量某電商平臺(tái)的用戶行為數(shù)據(jù)表示為三階張量$\mathcal{X}\in\mathbb{R}^{U\timesI\timesT}$，其中U=5000用戶，I=10000物品，T=30天。問題：（1）寫出CP分解的數(shù)學(xué)表達(dá)式；（2）若分解秩為R=50，計(jì)算分解后參數(shù)規(guī)模的壓縮比。解答：（1）CP分解$\mathcal{X}\approx\sum_{r=1}^R\boldsymbol{u}_r\circ\boldsymbol{v}_r\ci