2025年線性代數(shù)城市規(guī)劃中的優(yōu)化問題試題一、交通網(wǎng)絡(luò)流量?jī)?yōu)化問題（一）問題背景某城市核心區(qū)為緩解早晚高峰擁堵，規(guī)劃局需對(duì)以下單向交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行流量調(diào)配（如圖1所示）。圖中箭頭表示車流方向，數(shù)字為該路段每小時(shí)實(shí)測(cè)車流量（單位：輛），未知流量用(x_1,x_2,x_3,x_4)表示。際考試中此處應(yīng)有圖示，含4個(gè)交叉路口及8條單向道路，已知流量標(biāo)注為500、400、300、100、200等）（二）模型建立與求解流量守恒方程組構(gòu)建根據(jù)“每個(gè)路口流入流量=流出流量”原則，建立線性方程組：路口A：(500=x_1+x_2)路口B：(x_1+400=x_4+300)路口C：(x_2+x_3=100+200)路口D：(x_4=x_3+300)矩陣初等行變換求解將方程組轉(zhuǎn)化為增廣矩陣并化簡(jiǎn)：[\left[\begin{array}{cccc|c}1&1&0&0&500\1&0&0&-1&-100\0&1&1&0&300\0&0&-1&1&300\end{array}\right]\xrightarrow{\text{行變換}}\left[\begin{array}{cccc|c}1&0&0&-1&-100\0&1&0&1&600\0&0&1&-1&-300\0&0&0&0&0\end{array}\right]]得到通解：(\begin{cases}x_1=x_4-100\x_2=-x_4+600\x_3=x_4-300\end{cases})（(x_4)為自由變量）實(shí)際約束分析若(x_4=350)（實(shí)測(cè)某路段流量），求各未知流量；若(x_4=200)，分析是否存在負(fù)流量及解決方案。（三）拓展問題若在路段(x_3)增設(shè)傳感器，需補(bǔ)充多少個(gè)數(shù)據(jù)才能唯一確定所有流量？用矩陣秩的概念解釋“自由變量個(gè)數(shù)=道路總數(shù)-獨(dú)立路口數(shù)”的關(guān)系。二、土地利用規(guī)劃的線性規(guī)劃模型（一）問題描述某新城規(guī)劃區(qū)總面積1000公頃，需分配給工業(yè)（I）、商業(yè)（C）、住宅（R）三類用地。約束條件如下：資源約束：市政管網(wǎng)最大承載力對(duì)應(yīng)工業(yè)用地不超過300公頃，商業(yè)用地不超過200公頃；經(jīng)濟(jì)約束：每公頃工業(yè)、商業(yè)、住宅用地的年稅收分別為500萬元、1000萬元、200萬元，總稅收目標(biāo)≥30億元；環(huán)境約束：工業(yè)用地與住宅用地的面積比≤1:2，以控制污染影響。（二）建模與優(yōu)化決策變量：設(shè)(x_1,x_2,x_3)分別為工業(yè)、商業(yè)、住宅用地面積（公頃）。目標(biāo)函數(shù)：最大化總稅收(Z=500x_1+1000x_2+200x_3)（萬元）。約束條件：[\begin{cases}x_1+x_2+x_3\leq1000\x_1\leq300,\quadx_2\leq200\500x_1+1000x_2+200x_3\geq300000\2x_1-x_3\leq0\x_1,x_2,x_3\geq0\end{cases}]單純形法求解通過標(biāo)準(zhǔn)化處理（引入松弛變量），構(gòu)建初始單純形表，迭代后得最優(yōu)解：(x_1=200)公頃，(x_2=200)公頃，(x_3=400)公頃，此時(shí)(Z=380000)萬元。（三）靈敏度分析若商業(yè)用地稅收提升至1200萬元/公頃，最優(yōu)解是否改變？環(huán)境約束系數(shù)“2”調(diào)整為“1.5”時(shí)，對(duì)住宅用地面積的影響。三、公共設(shè)施布局的特征值問題（一）問題背景某區(qū)計(jì)劃新建3所社區(qū)中心，需根據(jù)人口密度（(d_1,d_2,d_3)）、交通便利性（(t_1,t_2,t_3)）、土地成本（(c_1,c_2,c_3)）三項(xiàng)指標(biāo)對(duì)5個(gè)候選地塊進(jìn)行綜合評(píng)分。已知各指標(biāo)權(quán)重向量為(\boldsymbol{w}=(0.5,0.3,0.2)^T)，地塊原始評(píng)分矩陣為：[\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}8&7&6\9&6&5\7&8&7\6&9&8\8&5&9\end{bmatrix}]（二）模型求解數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化：對(duì)(\boldsymbol{A})進(jìn)行列歸一化處理，得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣(\boldsymbol{A}')。加權(quán)得分計(jì)算：(\boldsymbol{s}=\boldsymbol{A}'\boldsymbol{w})，得到各地塊綜合得分向量。特征值排序：計(jì)算得分向量的特征值(\lambda)及對(duì)應(yīng)特征向量，按特征值模長排序選取前3個(gè)地塊。（三）問題延伸若引入“醫(yī)療資源距離”作為第四指標(biāo)，如何通過矩陣擴(kuò)展實(shí)現(xiàn)權(quán)重更新？用二次型理論證明：當(dāng)評(píng)分矩陣為正定矩陣時(shí)，綜合得分存在唯一最大值。四、動(dòng)態(tài)人口遷移的矩陣冪模型（一）問題設(shè)定某城市分為老城區(qū)（O）、新城區(qū)（N）、郊區(qū)（S）三個(gè)區(qū)域，2025年人口分布向量為(\boldsymbol{v}0=(50,30,20))（單位：萬人）。每年人口遷移比例矩陣為：[\boldsymbol{M}=\begin{bmatrix}0.7&0.2&0.1\0.1&0.6&0.2\0.2&0.2&0.7\end{bmatrix}]（其中(M{ij})表示從區(qū)域(j)遷往(i)的人口比例）（二）長期趨勢(shì)預(yù)測(cè)遞推關(guān)系：第(k)年人口分布(\boldsymbol{v}_k=\boldsymbol{M}^k\boldsymbol{v}_0)。穩(wěn)態(tài)分布求解：解特征方程(|\boldsymbol{M}-\lambda\boldsymbol{E}|=0)，得主導(dǎo)特征值(\lambda_1=1)，對(duì)應(yīng)特征向量(\boldsymbol{u}=(2,2,3)^T)，即長期人口穩(wěn)定在2:2:3的比例。（三）規(guī)劃應(yīng)用若2030年新城區(qū)規(guī)劃人口容量為40萬人，需調(diào)整遷移矩陣中哪個(gè)元素？調(diào)整方向如何？用矩陣對(duì)角化方法證明：當(dāng)(k\to\infty)時(shí)，(\boldsymbol{v}_k)收斂于(\boldsymbol{u})的倍數(shù)。五、多目標(biāo)優(yōu)化的線性方程組應(yīng)用（一）問題描述某低碳園區(qū)需同時(shí)優(yōu)化“能源消耗（(E)）”“碳排放（(C)）”“建設(shè)成本（(P)）”三個(gè)目標(biāo)，其與產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)（(x_1)：高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)占比，(x_2)：傳統(tǒng)制造業(yè)占比）的線性關(guān)系為：[\begin{cases}E=2x_1+5x_2\C=3x_1+4x_2\P=4x_1+3x_2\end{cases}]約束條件：(x_1+x_2=1)，(x_1,x_2\geq0)。（二）帕累托最優(yōu)求解目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化：將(E,C,P)轉(zhuǎn)化為無量綱指標(biāo)，構(gòu)建超平面方程(\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol)。正交投影法：通過Gram-Schmidt正交化求目標(biāo)向量在可行域上的投影點(diǎn)，得最優(yōu)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)(x_1=0.6)，(x_2=0.4)。（三）沖突分析若碳排放權(quán)交易價(jià)格上漲導(dǎo)致(C)權(quán)重增加，用向量?jī)?nèi)積解釋最優(yōu)解的偏移方向。證明：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)矩陣列滿秩時(shí)，帕累托最優(yōu)解唯一。六、空間插值的線性方程組構(gòu)建（一）問題背景某新區(qū)地形測(cè)繪中，5個(gè)已知點(diǎn)的海拔高度（單位：米）如下表，需用反距離加權(quán)法（IDW）估計(jì)中心點(diǎn)(P)的海拔。已知IDW模型公式為：[h_P=\frac{\sum_{i=1}^5w_ih_i}{\sum_{i=1}^5w_i},\quadw_i=\frac{1}{d_i^2}]其中(d_i)為點(diǎn)(i)到(P)的距離（公里）。點(diǎn)號(hào)坐標(biāo)((x,y))海拔(h_i)距離(d_i)1(0,2)12022(3,0)15033(2,4)110(\sqrt{5})4(5,5)130(\sqrt{34})5(1,1)140(\sqrt{2})（二）計(jì)算與驗(yàn)證權(quán)重計(jì)算：(w_1=1/4)，(w_2=1/9)，(w_3=1/5)，(w_4=1/34)，(w_5=1/2)。線性方程組構(gòu)建：設(shè)(S=\sumw_i)，則(Sh_P=\sumw_ih_i)，解得(h_P\approx132.6)米。誤差分析：若點(diǎn)3海拔測(cè)量值存在±2米誤差，用條件數(shù)(\text{cond}(\boldsymbol{A}))評(píng)估對(duì)(h_P)的影響。七、綜合應(yīng)用題：智慧城市交通信號(hào)控制某十字路口有東（E）、西（W）、南（S）、北（N）四個(gè)方向，每個(gè)方向分“直行（G）”“左轉(zhuǎn)（L）”“右轉(zhuǎn)（R）”三個(gè)相位。已知各相位綠燈時(shí)長(t_{EG},t_{EL},t_{ER},\dots,t_{NR})需滿足：各方向總綠燈時(shí)長≤90秒（周期時(shí)長）；沖突相位（如E-G與W-L）綠燈時(shí)長之和≤30秒；各方向直行綠燈時(shí)長≥左轉(zhuǎn)綠燈時(shí)長。（一）問題要求以“車均等待時(shí)間最小化”為目標(biāo)，建立含12個(gè)變量的線性規(guī)劃模型；用對(duì)偶理論證明：最優(yōu)解中至少有3個(gè)相位的綠燈時(shí)長取邊界值；若通過車流量檢測(cè)得到各相位需求向量(\boldsymb