長沙市明達中學(xué)高一數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1.2無理數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)必修第一冊高一數(shù)學(xué)組新課標人教版高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標1.能結(jié)合課本探究了解無理數(shù)指數(shù)冪.2.結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).(重難點)情景引入問題1

閱讀課本108頁的探究，你發(fā)現(xiàn)了什么？提示可以發(fā)現(xiàn)，當指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)拓展到了無理數(shù)時，它是一個確定的實數(shù)，在數(shù)軸上有唯一的一個點與它對應(yīng).問題2

指數(shù)冪是怎樣從正整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪的？提示正整數(shù)指數(shù)冪和0次指數(shù)冪→自然數(shù)指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪→整數(shù)指數(shù)冪和分數(shù)指數(shù)冪→有理數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪→實數(shù)指數(shù)冪.新課探究——無理數(shù)指數(shù)冪的運算1.無理數(shù)指數(shù)冪：一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α為無理數(shù))是一個確定的

.2.實數(shù)指數(shù)冪的運算法則(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R).(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R).(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R).實數(shù)新課探究——無理數(shù)指數(shù)冪的運算注意點：特別強調(diào)底數(shù)a>0，如果a<0，比如

，無法判斷其值是1還是－1.例1

計算下列各式：(1)；原式＝

＝

＝π3.(2)(m>0).原式＝

＝

＝m2π.典例辨析——無理數(shù)指數(shù)冪的運算關(guān)于無理數(shù)指數(shù)冪的運算(1)無理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)與有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)相同.(2)若式子中含有根式，一般把底數(shù)中的根式化為指數(shù)式，指數(shù)中的根式可以保留直接運算.反思感悟——無理數(shù)指數(shù)冪的運算跟蹤訓(xùn)練1

計算下列各式：(1)

；原式＝

＝36×22＝2916.(2)

(a>0).原式＝

＝

.跟蹤訓(xùn)練——無理數(shù)指數(shù)冪的運算例2

從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升，然后加滿水，再倒出1升混合溶液后又用水填滿，以此繼續(xù)下去，則至少應(yīng)倒____次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.4所以至少應(yīng)倒4次后才能使酒精的濃度低于10%.典例辨析——實際問題中的指數(shù)運算指數(shù)運算在實際問題中的應(yīng)用在成倍數(shù)遞增(遞減)、固定增長率等問題中，常常用到指數(shù)運算，用來計算增減的次數(shù)、增減前后的數(shù)量等.反思感悟——實際問題中的指數(shù)運算跟蹤訓(xùn)練2

如果在某種細菌培養(yǎng)過程中，細菌每10分鐘分裂一次(1個分裂成2個)，那么經(jīng)過1小時，一個這種細菌可以分裂成______個.64經(jīng)過1小時可分裂6次，可分裂成26＝64(個).跟蹤訓(xùn)練——實際問題中的指數(shù)運算例3

(1)若a＞0，且ax＝3，ay＝5，則

＝_____.因為a＞0，ax＝3，ay＝5，典例辨析——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用(2)已知x＋x－1＝4，求x2＋x－2的值.∵(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2，x＋x－1＝4，∴x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2＝16－2＝14.典例辨析——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用延伸探究在本例(2)中，若不改變例題中的條件，求x2－x－2的值.由例題解析知x2＋x－2＝14，∴x4＋x－4＝(x2＋x－2)2－2＝194，∴(x2－x－2)2＝x4－2＋x－4＝192，典例辨析——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用利用整體代換法求分數(shù)指數(shù)冪(1)整體代換法是數(shù)學(xué)變形與計算常用的技巧方法，分析觀察條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，靈活運用恒等式是關(guān)鍵.(2)利用整體代換法解決分數(shù)指數(shù)冪的計算問題，常常運用完全平方公式及其變形公式.x2＋x－2＝(x±x－1)2?2，x＋x－1＝

，

.典例辨析——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用反思感悟——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用跟蹤訓(xùn)練3

(1)如果45x＝3，45y＝5，那么2x＋y＝____.1由45x＝3，得(45x)2＝9.又45y＝5，則452x×45y＝9×5＝45＝451，即452x＋y＝451，所以2x＋y＝1.跟蹤訓(xùn)練——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用－3∵＝4，∴x＋2＋x－1＝16，∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，跟蹤訓(xùn)練——實數(shù)指數(shù)冪的綜合運用1.