初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊XJ湖南專用5.2勾股定理及其逆定理課時(shí)1勾股定理1.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是

(

)A.任何情況下,都有a2+b2=c2B.若△ABC是直角三角形,則a2+b2=c2C.若∠A=90°,則a2+b2=c2D.若∠C=90°,則a2+b2=c2

D知識(shí)點(diǎn)1勾股定理新教材知識(shí)優(yōu)化練2.(教材變式·P166練習(xí)T1)當(dāng)直角三角形的三邊長都是正整數(shù)時(shí),稱這三個(gè)數(shù)為勾

股數(shù).例如:3,4,5都是正整數(shù),且32+42=52,所以3,4,5是勾股數(shù).下列各組數(shù)是勾股數(shù)的

是

(

)A.2,3,4

B.9,12,15C.1,

,

D.0.3,0.4,0.5B3.(新考法·操作實(shí)踐)小明在學(xué)習(xí)了勾股定理后,想要用學(xué)過的知識(shí)來驗(yàn)證一下勾

股定理,他的驗(yàn)證過程如下:他用4個(gè)全等的直角三角形拼成了如圖1所示的圖形,

想用面積法證明直角三角形三邊長a,b,c之間的關(guān)系.

圖1知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證

圖2(1)如圖1,請用兩種不同的方法表示大正方形的面積.方法一:S大正方形=______________;方法二:S大正方形=________________.

4×

ab+c2

(a+b)2

方法一和方法二所得結(jié)果相等,整理可以得到等式________________,故驗(yàn)證了勾股定理.(2)小楠把這4個(gè)全等的直角三角形拼成了如圖2所示的圖形也能驗(yàn)證勾股定理.請

你利用圖1和圖2寫出驗(yàn)證過程.

a2+b2=c2

解:(2)根據(jù)題意得,涂色部分的面積為4×

ab=2ab.觀察題圖1和題圖2可以發(fā)現(xiàn),它們整體上都是邊長為a+b的正方形,且涂色部分都

是由4個(gè)全等的直角三角形組成,所以題圖1中空白部分的面積用不同的方法表示可以得到等式c2=(a+b)2-2ab,題圖

2中空白部分的面積用不同的方法表示可以得到等式a2+b2=(a+b)2-2ab,所以a2+b2=c2.4.(2024邵陽邵東市期末)如圖,已知∠C=90°,AB=12,BC=3,CD=4,∠ABD=90°,則AD

=__________.

13

知識(shí)點(diǎn)3勾股定理的應(yīng)用5.(新趨勢·新定義)(2024湘西華鑫教育集團(tuán)月考)我們把對角線互相垂直的四邊形

叫作“垂美四邊形”.如圖,四邊形ABCD是“垂美四邊形”,它的對角線AC,BD交

于點(diǎn)O,若AB=5,CD=4,則AD2+BC2=__________.

41

解析因?yàn)锽D⊥AC,所以∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°.在Rt△AOB和Rt△COD中,根據(jù)勾股定理可知,BO2+AO2=AB2=52=25,OD2+OC2=CD2=42=16,所以BO2

+AO2+OD2+OC2=25+16=41.因?yàn)锳D2=OD2+AO2,BC2=OC2+BO2,所以AD2+BC2=41.6.如圖,點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直

角三角形,若AM=2,MN=3,則BN的長為___________.

?或?

7.如圖,折疊長方形的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,BC=10cm,AB=8cm.求

FC和EF的長.

解:由折疊可得,AF=AD=BC=10cm.在Rt△ABF中,因?yàn)锳B=8cm,所以BF=

=6(cm),所以FC=BC-BF=10-6=4(cm).由折疊可得,EF=DE,可設(shè)DE的長為xcm,則EC的長為(8-x)cm.在Rt△EFC中,由勾股定理得(8-x)2+42=x2,解得x=5,即EF的長為5cm.8.(2024衡陽月考)已知在△ABC中,AB=15,AC=6

,且BC邊上的高AD=12,則BC的長為

(

)A.2

B.3

C.15

D.15或3D新中考能力強(qiáng)化練解析如圖1,在銳角△ABC中,AB=15,AC=6

,BC邊上的高AD=12,所以BD=

=

=9,CD=

=

=6,所以BC=BD+CD=15;如圖2,在鈍角△ABC中,AB=15,AC=6

,BC邊上的高AD=12,BD=

=

=9,CD=

=

=6,所以BC=BD-CD=9-6=3.綜上所述,BC的長為15或3.故選D.

圖1

圖29.如圖,用7個(gè)棱長為1的正方體搭成一個(gè)幾何體,沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)

N的所有路徑中,最短路徑的長是_________.

5

解析如圖,連接MN,則MN=

=5.

10.(新素材·數(shù)學(xué)文化)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分別以各邊為直徑作半圓,

圖中涂色部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”.若BC=5,AC=6,則圖中涂色部

分的面積為__________.

15

啟發(fā)與線索用以BC和AC為直徑的半圓與Rt△ABC的面積之和減去以AB為直徑

的半圓的面積即可得解.11.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=60°,∠A=∠C=90°,AB=8,BC=10,求AD與CD的長度

之和.

解:如圖,作AE⊥CB于點(diǎn)E,DF⊥AE于點(diǎn)F.

因?yàn)锳E⊥CB,∠B=60°,所以∠AEB=∠CEF=90°,所以∠BAE=30°.因?yàn)锳B=8,所以EB=

AB=4.由勾股定理得AE=

=

=4

.又因?yàn)锽C=10,所以CE=BC-EB=10-4=6.因?yàn)镈F⊥AE,所以∠EFD=∠AFD=90°.因?yàn)椤螩=∠CEF=∠EFD=90°,所以∠CDF=90°,即四邊形CDFE是長方形,所以DF=CE=6.因?yàn)椤螧AD=90°,∠BAE=30°,所以∠FAD=∠BAD-∠BAE=60°,所以∠ADF=30°,所以AD=2AF.在Rt△AFD中,由勾股定理得AF2+DF2=AD2,即AF2+62=(2AF)2,解得AF=2

,所以AD=2AF=4

,CD=EF=AE-AF=4

-2

=2

,所以AD+CD=4

+2

=6

.12.如圖,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC,EF交AC于點(diǎn)M,若

CM=5,求CE2+CF2的值.

解:因?yàn)镃E平分∠ACB,CF平分∠ACD,所以∠ACE=

∠ACB,∠ACF=

∠ACD,即∠ECF=

(∠ACB+∠ACD)=90°,所以△EFC為直角三角形.又因?yàn)镋F∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,所以∠MEC=∠ECB=∠ECM,∠CFM=∠DCF=∠MCF,所以CM=EM=MF=5,EF=10.由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100.13.(新素養(yǎng)·推理能力)如圖,正方形ABCD的邊長為2,其面積標(biāo)記為S1,以AB為斜邊

向外作等腰直角三角形,再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形,

其面積標(biāo)記為S2……按照此規(guī)律繼續(xù)下去,則S8的值為

(

)

A新情境素養(yǎng)提升練A.