2025年高二上冊數(shù)學(xué)秋季單元測試題庫及答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^22x3\lt0\}\)，\(B=\{x|x\gt1\}\)，則\(A\capB=(\quad)\)A.\(\{x|1\ltx\lt3\}\)B.\(\{x|x\lt3\}\)C.\(\{x|x\gt1\}\)D.\(\{x|1\ltx\lt1\}\)答案：A解析：解不等式\(x^22x3\lt0\)，即\((x3)(x+1)\lt0\)，解得\(1\ltx\lt3\)，所以\(A=\{x|1\ltx\lt3\}\)。又\(B=\{x|x\gt1\}\)，根據(jù)交集的定義，\(A\capB=\{x|1\ltx\lt3\}\)。2.若\(a\gtb\)，則下列不等式一定成立的是\((\quad)\)A.\(a^2\gtb^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)C.\(ac^2\gtbc^2\)D.\(ab\gt0\)答案：D解析：對于選項A，當(dāng)\(a=1\)，\(b=2\)時，\(a\gtb\)，但\(a^2=1\)，\(b^2=4\)，\(a^2\ltb^2\)，所以A錯誤；對于選項B，當(dāng)\(a=1\)，\(b=1\)時，\(a\gtb\)，但\(\frac{1}{a}=1\)，\(\frac{1}=1\)，\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}\)，所以B錯誤；對于選項C，當(dāng)\(c=0\)時，\(ac^2=bc^2=0\)，所以C錯誤；因為\(a\gtb\)，移項可得\(ab\gt0\)，所以D正確。3.若直線\(l_1:ax+2y+6=0\)與直線\(l_2:x+(a1)y+a^21=0\)平行，則實數(shù)\(a=(\quad)\)A.\(1\)B.\(2\)C.\(1\)或\(2\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：A解析：已知直線\(l_1:ax+2y+6=0\)與直線\(l_2:x+(a1)y+a^21=0\)平行。根據(jù)兩直線平行的條件，\(A_1B_2A_2B_1=0\)且\(A_1C_2A_2C_1\neq0\)（其中\(zhòng)(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)，\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\)）。則\(a(a1)2\times1=0\)，即\(a^2a2=0\)，因式分解得\((a2)(a+1)=0\)，解得\(a=2\)或\(a=1\)。當(dāng)\(a=2\)時，\(l_1:2x+2y+6=0\)即\(x+y+3=0\)，\(l_2:x+y+3=0\)，兩直線重合，不符合要求；當(dāng)\(a=1\)時，\(l_1:x+2y+6=0\)，\(l_2:x2y=0\)，兩直線平行，所以\(a=1\)。4.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_3+a_5+a_7=24\)，則\(S_9=(\quad)\)A.\(36\)B.\(72\)C.\(144\)D.\(288\)答案：B解析：因為\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)。所以\(a_3+a_5+a_7=3a_5=24\)，解得\(a_5=8\)。又\(S_9=\frac{9(a_1+a_9)}{2}\)，由等差數(shù)列性質(zhì)\(a_1+a_9=2a_5\)，所以\(S_9=\frac{9\times2a_5}{2}=9a_5=9\times8=72\)。5.已知圓\(C:(x1)^2+(y2)^2=25\)，直線\(l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(m\inR)\)。則直線\(l\)與圓\(C\)的位置關(guān)系是\((\quad)\)A.相切B.相交C.相離D.不確定答案：B解析：將直線\(l\)的方程\((2m+1)x+(m+1)y7m4=0\)變形為\(m(2x+y7)+(x+y4)=0\)。令\(\begin{cases}2x+y7=0\\x+y4=0\end{cases}\)，兩式相減得\(x=3\)，把\(x=3\)代入\(x+y4=0\)得\(y=1\)，所以直線\(l\)恒過定點\(P(3,1)\)。計算點\(P(3,1)\)到圓心\(C(1,2)\)的距離\(d=\sqrt{(31)^2+(12)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\lt5\)（圓\(C\)的半徑\(r=5\)），所以點\(P\)在圓\(C\)內(nèi)部，故直線\(l\)與圓\(C\)相交。6.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，則\(a_8=(\quad)\)A.\(128\)B.\(64\)C.\(32\)D.\(256\)答案：A解析：在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(m\)，\(n\)，\(p\)成等差數(shù)列，則\(a_m\)，\(a_n\)，\(a_p\)成等比數(shù)列。因為\(2\)，\(5\)，\(8\)成等差數(shù)列，所以\(a_2\)，\(a_5\)，\(a_8\)成等比數(shù)列，則\(a_5^2=a_2\timesa_8\)。已知\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，所以\(a_8=\frac{a_5^2}{a_2}=\frac{16^2}{2}=128\)。7.已知直線\(l\)過點\((2,0)\)，當(dāng)直線\(l\)與圓\(x^2+y^2=2x\)有兩個交點時，其斜率\(k\)的取值范圍是\((\quad)\)A.\((2\sqrt{2},2\sqrt{2})\)B.\((\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{\sqrt{2}}{4})\)C.\((\frac{\sqrt{2}}{8},\frac{\sqrt{2}}{8})\)D.\((\frac{1}{8},\frac{1}{8})\)答案：C解析：將圓\(x^2+y^2=2x\)化為標(biāo)準方程：\((x1)^2+y^2=1\)，圓心坐標(biāo)為\((1,0)\)，半徑\(r=1\)。設(shè)直線\(l\)的方程為\(y=k(x+2)\)，即\(kxy+2k=0\)。根據(jù)點到直線的距離公式，圓心\((1,0)\)到直線\(l\)的距離\(d=\frac{|k\times10+2k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|3k|}{\sqrt{k^2+1}}\)。因為直線\(l\)與圓有兩個交點，所以\(d\ltr\)，即\(\frac{|3k|}{\sqrt{k^2+1}}\lt1\)，兩邊平方得\(9k^2\ltk^2+1\)，移項得\(8k^2\lt1\)，即\(k^2\lt\frac{1}{8}\)，解得\(\frac{\sqrt{2}}{8}\ltk\lt\frac{\sqrt{2}}{8}\)。8.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+2y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值為\((\quad)\)A.\(3+2\sqrt{2}\)B.\(32\sqrt{2}\)C.\(4\)D.\(2\)答案：A解析：因為\(x+2y=1\)，\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(x+2y)=1+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}+2=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\)。根據(jù)基本不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時等號成立），則\(\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\sqrt{\frac{2y}{x}\times\frac{x}{y}}=2\sqrt{2}\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\geq3+2\sqrt{2}\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}\)且\(x+2y=1\)時等號成立。9.已知\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)的對邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=2\)，\(A=60^{\circ}\)，則\(B=(\quad)\)A.\(30^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(60^{\circ}\)D.\(90^{\circ}\)答案：A解析：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)，已知\(a=2\sqrt{3}\)，\(b=2\)，\(A=60^{\circ}\)，則\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{2\times\sin60^{\circ}}{2\sqrt{3}}=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)。因為\(a\gtb\)，根據(jù)大邊對大角，所以\(A\gtB\)，又\(B\)是三角形內(nèi)角，所以\(B=30^{\circ}\)。10.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，則\(a_5=(\quad)\)A.\(31\)B.\(32\)C.\(62\)D.\(63\)答案：A解析：由\(a_{n+1}=2a_n+1\)可得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，則\(\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2\)。又\(a_1=1\)，所以\(a_1+1=2\)，所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_n+1\}\)是以\(2\)為首項，\(2\)為公比的等比數(shù)列。根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n1}\)，可得\(a_n+1=2\times2^{n1}=2^n\)，即\(a_n=2^n1\)，所以\(a_5=2^51=31\)。11.已知圓\(C_1:x^2+y^22x4y4=0\)與圓\(C_2:x^2+y^2+4x10y+4=0\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，則線段\(AB\)的垂直平分線的方程為\((\quad)\)A.\(x+y3=0\)B.\(xy+3=0\)C.\(3xy9=0\)D.\(4x3y+1=0\)答案：A解析：兩圓相交，線段\(AB\)的垂直平分線就是兩圓的連心線。圓\(C_1:x^2+y^22x4y4=0\)的標(biāo)準方程為\((x1)^2+(y2)^2=9\)，圓心\(C_1(1,2)\)；圓\(C_2:x^2+y^2+4x10y+4=0\)的標(biāo)準方程為\((x+2)^2+(y5)^2=25\)，圓心\(C_2(2,5)\)。根據(jù)兩點式直線方程公式\(\frac{yy_1}{y_2y_1}=\frac{xx_1}{x_2x_1}\)，可得線段\(C_1C_2\)所在直線方程為\(\frac{y2}{52}=\frac{x1}{21}\)，即\(\frac{y2}{3}=\frac{x1}{3}\)，整理得\(x+y3=0\)。12.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，若不等式\(\frac{1}{a}+\frac{4}\geqm\)恒成立，則\(m\)的最大值為\((\quad)\)A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)答案：A解析：因為\(a+b=1\)，\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{4}=(\frac{1}{a}+\frac{4})(a+b)=1+\frac{a}+\frac{4a}+4=5+\frac{a}+\frac{4a}\)。根據(jù)基本不等式\(\frac{a}+\frac{4a}\geq2\sqrt{\frac{a}\times\frac{4a}}=4\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{a}=\frac{4a}\)且\(a+b=1\)時等號成立，所以\(\frac{1}{a}+\frac{4}=5+\frac{a}+\frac{4a}\geq5+4=9\)。因為不等式\(\frac{1}{a}+\frac{4}\geqm\)恒成立，所以\(m\leq9\)，則\(m\)的最大值為\(9\)。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=3\)，\(a_4=7\)，則\(a_6=\)______。答案：\(11\)解析：因為\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：若\(m\)，\(n\)，\(p\)成等差數(shù)列，則\(a_m\)，\(a_n\)，\(a_p\)成等差數(shù)列。因為\(2\)，\(4\)，\(6\)成等差數(shù)列，所以\(2a_4=a_2+a_6\)。已知\(a_2=3\)，\(a_4=7\)，則\(a_6=2a_4a_2=2\times73=11\)。14.已知直線\(l\)過點\((1,2)\)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線\(l\)的方程為______。答案：\(2xy=0\)或\(x+y3=0\)解析：當(dāng)直線\(l\)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為\(0\)時，設(shè)直線\(l\)的方程為\(y=kx\)，因為直線過點\((1,2)\)，所以\(2=k\times1\)，即\(k=2\)，此時直線\(l\)的方程為\(y=2x\)，即\(2xy=0\)；當(dāng)直線\(l\)在兩坐標(biāo)軸上的截距不為\(0\)時，設(shè)直線\(l\)的方程為\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1\)（\(a\neq0\)），因為直線過點\((1,2)\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{2}{a}=1\)，解得\(a=3\)，此時直線\(l\)的方程為\(x+y3=0\)。綜上，直線\(l\)的方程為\(2xy=0\)或\(x+y3=0\)。15.已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，若\(a_1=1\)，\(S_3=7\)，則公比\(q=\)______。答案：\(2\)或\(3\)解析：等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和公式為\(S_n=\begin{cases}na_1,q=1\\\frac{a_1(1q^n)}{1q},q\neq1\end{cases}\)。當(dāng)\(q=1\)時，\(S_3=3a_1=3\times1=3\neq7\)，不符合題意；當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_3=\frac{1\times(1q^3)}{1q}=7\)，即\(1q^3=7(1q)\)，展開得\(1q^3=77q\)，移項得\(q^37q+6=0\)，因式分解得\((q1)(q2)(q+3)=0\)，因為\(q\neq1\)，所以\(q=2\)或\(q=3\)。16.已知圓\(x^2+y^2=4\)上有且僅有三個點到直線\(l:y=x+b\)的距離為\(1\)，則實數(shù)\(b=\)______。答案：\(\pm\sqrt{2}\)解析：圓\(x^2+y^2=4\)的圓心坐標(biāo)為\((0,0)\)，半徑\(r=2\)。因為圓上有且僅有三個點到直線\(l:y=x+b\)即\(xy+b=0\)的距離為\(1\)，所以圓心到直線的距離\(d=r1=21=1\)。根據(jù)點到直線的距離公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為點的坐標(biāo)，\(Ax+By+C=0\)為直線方程），可得\(\frac{|00+b|}{\sqrt{1^2+(1)^2}}=1\)，即\(\frac{|b|}{\sqrt{2}}=1\)，解得\(b=\pm\sqrt{2}\)。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）已知集合\(A=\{x|x^25x+6\leq0\}\)，集合\(B=\{x|2x1\gt3\}\)。（1）求\(A\capB\)；（2）求\((\complement_{R}A)\cupB\)。答案：（1）\(\{x|2\ltx\leq3\}\)；（2）\(\{x|x\lt2或x\gt2\}\)解析：（1）解不等式\(x^25x+6\leq0\)，即\((x2)(x3)\leq0\)，解得\(2\leqx\leq3\)，所以\(A=\{x|2\leqx\leq3\}\)。解不等式\(2x1\gt3\)，移項得\(2x\gt4\)，解得\(x\gt2\)，所以\(B=\{x|x\gt2\}\)。則\(A\capB=\{x|2\ltx\leq3\}\)。（2）因為\(A=\{x|2\leqx\leq3\}\)，所以\(\complement_{R}A=\{x|x\lt2或x\gt3\}\)。又\(B=\{x|x\gt2\}\)，所以\((\complement_{R}A)\cupB=\{x|x\lt2或x\gt2\}\)。18.（12分）已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_4=16\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式；（2）設(shè)\(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_n\}\)的前\(n\)項和\(T_n\)。答案：（1）\(a_n=2n1\)；（2）\(T_n=\frac{n}{2n+1}\)解析：（1）設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)，首項為\(a_1\)。由\(a_3=5\)可得\(a_1+2d=5\)，由\(S_4=16\)可得\(4a_1+\frac{4\times3}{2}d=16\)，即\(4a_1+6d=16\)。將\(a_1=