上海市南匯一中2025-2026學年數(shù)學高二第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.2．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，頭部1尺，重4斤；尾部1尺，重2斤；若該金杖從頭到尾每一尺重量構(gòu)成等差數(shù)列，其中重量為，則的值為（）A.4 B.12C.15 D.183．如圖，矩形BDEF所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，，，點P在線段EF上.給出下列命題：①存在點P，使得直線平面ACF；②存在點P，使得直線平面ACF；③直線DP與平面ABCD所成角的正弦值的取值范圍是；④三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面面積是.其中所有真命題的序號（）A.①③ B.①④C.①②④ D.①③④4．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P為雙曲線C上一點，，直線與y軸交于點Q，若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.6．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的一個焦點坐標為，則的值為（）A. B.C. D.8．設(shè)P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（）A. B.C. D.9．如圖所示幾何體的正視圖和側(cè)視圖都正確的是（）A. B.C. D.10．設(shè)變量，滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.6C.10 D.1311．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉(zhuǎn)移、環(huán)月等待、月地轉(zhuǎn)移、再入回收等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.8212．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知空間向量，，且，則值為______14．如圖所示，高爾頓釘板是一個關(guān)于概率的模型，每一黑點表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時，將隨機的向兩邊等概率的落下．當有大量的小球都落下時，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率是______15．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前6項和為___________.16．數(shù)學中，多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難，甚至不可能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一，其原理如下：假設(shè)是方程的根，選取作為的初始近似值，在點處作曲線的切線，則與軸交點的橫坐標稱為的一次近似值，在點處作曲線的切線.則與軸交點的橫坐標稱為的二次近似值.重復上述過程，用逐步逼近.若給定方程，取，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓：與直線：.（1）證明：直線過定點，并求出其坐標；（2）當時，直線l與圓C交于A，B兩點，求弦的長度.18．（12分）若分別是橢圓的左、右焦點，是該橢圓上的一個動點，且（1）求橢圓的方程（2）是否存在過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，使（其中為坐標原點）？若存在，求出直線的斜率；若不存在，說明理由19．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點是上一點（1）求雙曲線的標準方程；（2）若過點的直線與交于，兩點，點能否為線段的中點？并說明理由20．（12分）已知等差數(shù)列的前項和滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.21．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過點（1，-1）.（1）求拋物線C的方程及其焦點坐標；（2）過拋物線C上一動點P作圓M：的一條切線，切點為A，求切線長|PA|的最小值.22．（10分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設(shè)，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.2、C【解析】先求出公差，再利用公式可求總重量.【詳解】設(shè)頭部一尺重量為，其后每尺重量依次為，由題設(shè)有，，故公差為.故中間一尺的重量為所以這5項和為.故選：C.3、D【解析】當點P是線段EF中點時判斷①；假定存在點P，使得直線平面ACF，推理導出矛盾判斷②；利用線面角的定義轉(zhuǎn)化列式計算判斷③；求出外接圓面積判斷④作答.【詳解】取EF中點G，連DG，令，連FO，如圖，在正方形ABCD中，O為BD中點，而BDEF是矩形，則且，即四邊形DGFO是平行四邊形，即有，而平面ACF，平面ACF，于是得平面ACF，當點P與G重合時，直線平面ACF，①正確；假定存在點P，使得直線平面ACF，而平面ACF，則，又，從而有，在中，，DG是直角邊EF上中線，顯然在線段EF上不存在點與D連線垂直于DG，因此，假設(shè)是錯的，即②不正確；因平面平面，平面平面，則線段EF上的動點P在平面上的射影在直線BD上，于是得是直線DP與平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，當P與E不重合時，，，而，則，當P與E重合時，，，因此，，③正確；因平面平面，平面平面，，平面，則平面，，在中，，顯然有，，由正弦定理得外接圓直徑，，三棱錐的外接球被平面ACF所截得的截面是的外接圓，其面積為，④正確，所以所給命題中正確命題的序號是①③④.故選：D【點睛】結(jié)論點睛：兩個平面互相垂直，則一個平面內(nèi)任意一點在另一個平面上的射影都在這兩個平面的交線上.4、B【解析】由題意可設(shè)且，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進而求雙曲線C的漸近線方程.【詳解】由題設(shè)，，，又，P為雙曲線C上一點，∴，又，為的中點，∴，即，∴雙曲線C的漸近線方程為.故選：B.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據(jù)雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據(jù)雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設(shè)，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據(jù)圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關(guān)計算，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何意義結(jié)合特殊情況分類討論，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.6、B【解析】由條件結(jié)合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結(jié)合可得當點不為雙曲線的頂點時，可得，即當點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B7、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點在軸上，且，故.故選：B.8、B【解析】根據(jù)橢圓的定義寫出，再根據(jù)條件即可解得答案.【詳解】根據(jù)P為橢圓C：上一點，則有，又，所以，故選：B.9、B【解析】根據(jù)側(cè)視圖，沒有實對角線，正視圖實對角線的方向，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】側(cè)視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除而正視時，有半個平面是沒有的，所以應該有一條實對角線，且其對角線位置應從左上角畫到右下角，故C排除.故選：B.10、C【解析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域，將變形為，可得需要截距最小，觀察圖象，可得過點時截距最小，求出點A坐標，代入目標式即可.【詳解】解：畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分：又，即，要取最大值，則在軸上截距要最小，觀察圖象可得過點時截距最小，由，得，則.故選：C.11、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C12、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數(shù)圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數(shù)圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內(nèi)函數(shù)圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數(shù)的表示方法，關(guān)鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用向量的坐標運算及向量數(shù)量積的坐標表示即求.【詳解】由題意，空間向量，可得，所以，解得.故答案為：.14、【解析】先研究一個小球從正上方落下的情況，從而可求出一個小球從正上方落下落到2號位置的概率，進而可求出5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號位置的有4種，所以每個球落入2號位置的概率為，所以5個小球從正上方落下，則恰有3個小球落到2號位置的概率為，故答案為：15、129【解析】依次寫出前6項，即可求得數(shù)列的前6項和.【詳解】數(shù)列中，，則，，，則數(shù)列的前6項和為故答案為：12916、【解析】根據(jù)牛頓迭代法的知識求得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，切線的方程為，與軸交點的橫坐標為.，所以切線的方程為，與軸交點的橫坐標為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）將直線方程化為，解方程得出定點；（2）求出圓心到直線的距離，再由幾何法得出弦長.【小問1詳解】證明：因為直線，所以．令，解得，所以不論取何值，直線必過定點【小問2詳解】當時，直線為，圓心圓心到直線的距離，則18、（1）；（2）存在；【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，利用列方程，化簡求得直線的斜率.【小問1詳解】依題意，得橢圓的方程為【小問2詳解】存在．理由如下：顯然當直線的斜率不存在，即時，不滿足條件故由題意可設(shè)的方程為．由是直線與橢圓的兩個不同的交點，設(shè)，由消去y，并整理，得，則，解得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，即存在斜率的直線與橢圓交于不同的兩點，使19、（1）；（2）點不能為線段的中點，理由見解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個斜率，再代入點的坐標，然后可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程為（斜率不存在時另說明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應用韋達定理，結(jié)合中點坐標公式求得，然后難驗證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當時，的標準方程為，代入，無解當時，的標準方程為，代入，解得故的標準方程為（2）不能是線段的中點設(shè)交點，，當直線的斜率不存在時，直線與雙曲線只有一個交點，不符合題意.當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿足題意的直線也不存在所