深圳市育才中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試試題注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.2．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.803．某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績等級（選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數(shù)與乙成績等級的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，44．如果橢圓的弦被點平分，那么這條弦所在的直線的方程是（）A. B.C. D.5．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數(shù)據(jù)如下表：年份20162017201820192020年份代號x01234年銷量y1015m3035若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.56．如圖，O是坐標(biāo)原點，P是雙曲線右支上的一點，F(xiàn)是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.7．已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.8．函數(shù)在處有極小值5，則（）A. B.C.或 D.或39．已知直線l：過橢圓的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為線段PF的中點，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．設(shè)等差數(shù)列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.11．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.12．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點P為橢圓上的任意一點，點，分別為該橢圓的左、右焦點，則的最大值為______________.14．已知正方形的邊長為分別是邊的中點，沿將四邊形折起，使二面角的大小為，則兩點間的距離為__________15．隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若，，則_________16．橢圓的左、右焦點分別為，，為坐標(biāo)原點，則以下說法正確的是（）A.過點的直線與橢圓交于，兩點，則的周長為8B.橢圓上存在點，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點，為圓上一點，則點，的最大距離為3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀(jì)錄.受奧運(yùn)精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進(jìn)行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）.18．（12分）在①，；②，，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中并解決問題問題：設(shè)等差數(shù)列的前項和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時的值；若不存在，說明理由注：如果選擇多個條件分別解答．按第一個解答記分19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，為等比數(shù)列，且，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為上一點，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.21．（12分）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，，且構(gòu)成等比數(shù)列的前三項（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列___________，求數(shù)列的前項和請在①；②；③這三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成解答22．（10分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.2、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.3、C【解析】將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級的眾數(shù).【詳解】由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績等級的眾數(shù)為5.故選：C.4、B【解析】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則，利用點差法可得答案.【詳解】設(shè)該弦所在直線與橢圓的兩個交點分別為，，則因為，兩式相減可得，，即由中點公式可得，所以，即，所以AB所在直線方程為，即故選：B5、B【解析】求出樣本中心的橫坐標(biāo)，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標(biāo)，然后求解即可【詳解】因為，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B6、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設(shè)，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設(shè)，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B7、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.8、A【解析】由題意條件和，可建立一個關(guān)于的方程組，解出的值，然后再將帶入到中去驗證其是否滿足在處有極小值，排除增根，即可得到答案.【詳解】由題意可得，則，解得，或．當(dāng)，時，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處有極大值5，不符合題意．當(dāng)，時，．由，得；由，得．則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處有極小值5，符合題意，從而故選：A.9、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結(jié)合，可推得是等邊三角形，可得，計算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點，設(shè)橢圓的右焦點為，所以，又是的中點，是的中點，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：10、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數(shù)列，的前n項和分別是，由于，故可設(shè)，，當(dāng)時，，，所以，所以.故選：C11、A【解析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，利用雙曲線，結(jié)合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)橢圓和雙曲線的關(guān)系建立方程求出，，是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時，由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)P為橢圓上頂點時最大，此時，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點睛】本題考查橢圓焦點三角形的問題，考查正弦定理的應(yīng)用.14、.【解析】取BE的中點G，然后證明是二面角的平面角，進(jìn)而證明，最后通過勾股定理求得答案.【詳解】如圖，取BE的中點G，連接AG,CG，由題意，則是二面角的平面角，則，又，則是正三角形，于是.根據(jù)可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，則平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.故答案為：.15、##0.4【解析】設(shè)出概率，利用期望求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而利用求方差公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)，則，從而，解得：，所以故答案為：16、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項的正確性，結(jié)合兩點間距離公式判斷D選項的正確性.【詳解】對于選項：由橢圓定義可得：，因此的周長為，所以選項正確；對于選項：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項正確；對于選項：因為，，所以，即，所以離心率，所以選項錯誤；對于選項：設(shè)，，則點到圓的圓心的距離為，因為，所以，所以選項正確，故選：ABD三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】（1）利用頻率之和也即各矩形的面積和為1即可求解.（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)的計算方法求解即可.【小問1詳解】由，可得.【小問2詳解】平均數(shù)為：，設(shè)中位數(shù)為，則，解得.18、答案不唯一，具體見解析【解析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時取最大值；法二：寫出，利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)性質(zhì)判斷為何值時有最大值；選②：由數(shù)列前n項和及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)易得、即可確定有最大值時值；選③：由等差數(shù)列前n項和公式易得、即可確定有最大值時值；【詳解】選①：設(shè)數(shù)列的公差為，，，解得，即，法一：當(dāng)時，有，得，∴當(dāng)時，；，；時，，∴或時，取最大值法二：，對稱軸，∴或時，取最大值選②：由，得，由等差中項的性質(zhì)有，即，由，得，∴，故，∴當(dāng)時，，時，，故時，取最大值選③：由，得，可得，由，得，可得，∴，故，∴當(dāng)時，，時，，故時，取最大值【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)所選的條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)、下標(biāo)和相等的性質(zhì)等確定數(shù)列中項的正負(fù)性，找到界點n值即可.19、（1），；（2）【解析】（1）由已知利用遞推公式，可得，代入分別可求數(shù)列的首項，公比，從而可求.（2）由（1）可得，利用乘“公比”錯位相減法求和【詳解】解：(1)當(dāng)時，，當(dāng)時，滿足上式，故的通項式為設(shè)的公比為，由已知條件知，，，所以，，即(2)，兩式相減得：【點睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求法，錯位相減法求數(shù)列通項，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關(guān)系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解析：（1）證明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因為底面，底面，∴.因為，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知為與平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以點為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸建立空間坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，設(shè)平面的法向量為，則，，取，所以，所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)，利用空間向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題.21、（1），（2）答案見解析【解析】（1）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到，即可求，從而求出的通項公式，所以，即可求出等比數(shù)列的公比，從而求出的通項公式；（2）若選①：則，利用裂項相消法求和即可；若選②：則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算可得；若選③：則利用分組求和法求和即可；【小問1詳解】解：設(shè)的公差為，成等比數(shù)列，，，解得或，，，即，，的公比，，【小問2詳解】解：若選①：則，；若選②：則，；若選③：則，.22、(1)見解析;(2).【解析】分析：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)