高三數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。

3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的

答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，

超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。

4.本卷命題范圍：高考范圍。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.若集合A={x|-2≤x≤0},B={x|x2—x-2≤0},則A∩B=

A.[-2,2]B.[-1,0]C.[-2,0]D.[-1,2]

2.已知向量a=(一2,3),b=(6,m),若a//b,則m=

A.一9B.—4C.4D.9

3.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部是

ABCD

4.某校無人機興趣小組在市無人機大賽后合影留念，2名指導(dǎo)老師和4名組員排成一排照相留念，若2位

老師相鄰，則不同的排法共有

A.120種B.360種C.240種D.720種

5.已知角α的頂點為原點O,始邊為x軸的非負半軸，終邊經(jīng)過點(1,—2),則

ABCD

6.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,,則△ABC是

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【高三第4次質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)第1頁(共4頁)】G

7.在菱形ABCD中，AB=1,,E為邊CD上的動點(包括端點),F為BC的中點，則AE·A

的取值范圍為

ABCD.

8.已知數(shù)列{an}滿足a?=1,,若對Vn∈N·,則實數(shù)t的

取值范圍是

A.(-18,十∞)B.(-16,+∞)

C.(-12,十∞)D.(-8,+∞)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.在△ABC中，若sinA<sinB,則

A.BC<ACB.A<B

C.cosA>cosBD.sin2A<sin2B

10.若公比為q的等比數(shù)列{an}的前n項積為Tn,O<a?<1,a2025Q2026-1>0,(a2025-1)(a2026-1)<

0,則

A.q>1B.a2025a2027>1

C.T,中T?026最小D.使T>1成立的最小正整數(shù)n的值是4050

11.踢毽子源于漢朝，盛行于六朝，某學(xué)校高三年級為了增強學(xué)生身體素質(zhì)，緩解學(xué)生備考壓力，開展踢毽

子活動.已知某踢毽子小組由5人組成(包含甲、乙),每個人踢出的毽子都等可能地傳給其他4人中

的1人，假設(shè)第1次由甲踢出，每次踢出的毽子都能被接住.記第n次踢出毽子后，毽子傳到乙的概率

為Pn,前n次踢毽子的過程中，傳到乙的次數(shù)為Xπ,則

A

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數(shù)列{an}的公差不為0,若a?+am=a7+a,則m=

13.已知函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+2)=—f(x),f(3)=-3,則f(2025)=

14.某正六棱柱外接球的表面積為36π,則該正六棱柱的體積的最大值為_

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四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分13分)

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.

(1)證明：b2+c2=2a2;

(2)若b=1,c=3,求△ABC的面積.

16.(本小題滿分15分)

已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且a?=2,a?=16,S?=n2+3n.

(1)求{an}和{bn}的通項公式；

(2)設(shè)cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.

17.(本小題滿分15分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是菱形，,△PCD是邊長為2的正三角形，

且PB=√6.

(1)求證：平面PCD⊥平面ABCD;

(2)求平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.

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18.(本小題滿分17分)

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點到其準線的距離為2.

(1)求C的方程；

(2)過點P(1,1)的直線l與C交于M,N兩點，且MP=P?,求l的方程；

(3)設(shè)C的焦點為F,R,S,T是C上不同的三點，若FR⊥ST,FS⊥RT,求·FS的值.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)f(x)=Inx+x-1-lnn,n∈N*,記f(x)的零點為aπ

(1)求a?;

(2)求數(shù)列{an}中的最小項；

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高三數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則

1.B由題意得B=x|-1≤x≤2〉,所以A∩B=x|-1≤x≤0Y.故選B.

2.A因為a//b,所以—2m-3×6=0,解得m=-9.故選A.

3.Di,所i,的虛部是.故選D.

4.C先將2位老師看作一個整體與4名學(xué)生全排，有A=120種，2位老師自身排有A=2種，所以2位老師相鄰時不

同的排法共有120×2=240種.故選C.

5.B由角α的終邊經(jīng)過點(1,-2),得,所

.故選B.

6.C由正弦定理與余弦定理，得,即acosA=bcosB,由正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=

sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.故選C.

7.D設(shè)DE=λDC,λ∈[0,1],則AE=AD+DE=AD+λDC=λAB+AD,由F為BC的中點，得

在菱形ABCD中，,所以,|AB|=|AD|=1,

.故

選D.

8.A因為,所以(n+1)2an+1=n2a?+n+1,即(n+1)2a+1-n2a=n+1,所以n≥2時，

n2an=[n2an—(n-1)2a?]+[(n-1)2an1一(n-2)2a?-2]+…+(22a?—12a?)+12a?=n+(n-1)+…+2+1

,所以,ai=1也滿足上式，因此,所以恒成立，即-I≤

,因當且僅當n=8時等號成立，所以-t≤18,解得

t≥-18,即t的取值范圍是(-18,十∞).故選A.

9.ABC由sinA<sinB,及正弦定理，得BC<AC,故A正確；由BC<AC及三角形中大邊對大角，得A<B,故B正確；因

為函數(shù)y=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減，0<A<B<π,所以cosA>cosB,故C正確；令,滿足sinA<

sinB,但sin2A>sin2B,故D錯誤.故選ABC.

10.ABD因為α2025@2026-1>0,所以a202542026>1,所以a1q?024a1q?02?=a2q??>1,因為0<a?<1,所以

即q>1,故A正確；由0<a?<1,q>1可得{a}是遞增數(shù)列，因為(a202s—1)(a202-1)<0,所以a202<1,a2026>1,

所以a202@2027=a?26>1,故B正確；當1≤n≤2025時，an<1,當n≥2026時，an>1,所以當n=2025時，T,最小，故

C錯誤；因為{an}是正項遞增數(shù)列，且T?09=a?82<1,T4050=(a202s?2026)2025>1,所以使T,>1成立的最小正整數(shù)n

的值是4050,D正確.故選ABD.

11.BCD由題意知,故A錯誤；X?=0,1,

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,故B正確；由題意知

第(n-1)次踢出毽子后，毽子沒有傳到乙的概率為1-Pn-1,所以,故C正確；

,所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以P?一

,即,故D正確.故選BCD.

12.14設(shè)等差數(shù)列《a}的公差為d(d≠0),由a?+am=a7+a,得2a?+(m+2)d=2a?+16d,解得m=14.

13.3由f(x+2)=—f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的一個周期為4,f(2025)=

f(506×4+1)=f(1)=-f(3)=3.

14.54正六棱柱外接球的球心是上下底面中心所連線段的中點，設(shè)外接球半徑為R,則4πR2=36π,所以R=3,設(shè)正六棱

柱底面的邊長為a,側(cè)棱長為1,則底面正六邊形外接圓的半徑為a,且所以正六棱柱的體積V=

,0<l<6,令f(1)=-I3+361,0<I<6,則f'(1)

=-312+36,令f(1)=0,得l=2√3(l=-2√3舍去),所以當l∈(0,2√3)時，f'(1)>0,f(1)單調(diào)遞增，當l∈

(2√3,6)時，f(1)<0,f(1)單調(diào)遞減，所以當l=2√3時，f(1)取得最大值48√3,所以正六棱柱的體積的最大值為

15.(1)證明：由及正弦定理，得………………2分

所以b2+c2=4bccosA,

又,所以b2+c2=2(b3+c2—a2),………………4分

即b2+2=2a2.…………………6分

(2)解：因為b=1,c=3,A,所以coS,……………8分

又A∈(0,π),所以………………10分

所以△ABC的面積………13分

16.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{a帥}的公比為q,

由a?=2,a=16,得,解得q=2,………………………2分

所以an=a1q”?1=2×2”?1=2”3分

已知數(shù)列的前n項和為S=n2+3n,

當n≥2時，S,-1=(n-1)2+3(n-1),

所以b=S,-S1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2,5分

當n=1時，b?=S=4,滿足上式，所以b?=2n+27分

(2)由(1),得cn=abu=2“×(2n+2)=(n+1)·2”+!,……………9分

則T,=2×22+3×23+4×21+…+(n+1)×2”+1,………………10分

兩邊同時乘以2,得2T,=2×23+3×21+4×2?+…+(n+1)×2”+2,…………11分

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兩式作差，得

所以T,=n·2+2……………………………15分

17.(1)證明：連接BD,因為四邊形ABCD是菱形，,所以△BCD為正三角形…………………1分

所以△BCD與△PCD均是邊長為2的正三角形，

取CD的中點O,連接OP,OB,則OP⊥DC,OB⊥DC,OP=OB=√3……………………3分

因為OP2+OB2=6=PB2,所以O(shè)P⊥OB……………………4分

因為DC∩OB=0,DC,OBC平面ABCD,所以O(shè)P⊥平面ABCD………6分

又OPC平面PCD,所以平面PCD⊥平面ABCD.………………………7分

(2)解：由(1)可知，直線OB,OC,OP兩兩垂直，所以以點O為坐標原點，OB,OC,OP

所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則P(0,0,√3),

A(√3,—2,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),D(0,-1,0),

所以PA=(√3,-2,一√3),PB=(√3,0,—√3),PC=(0,1,一√3),P?=

(0,-1,一√3)……………9分

設(shè)m=(xi,y1,z1)為平面PAD的一個法向量，則

令z?=-1,得m=(1,√3,—1).…………………………11分

設(shè)n=(x2,y?,22)為平面PBC的一個法向量，則

令≈2=1,得n=(1,√3,1)………………13分

所以,即平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為………15分

18.(1)解：拋物線C的焦點為,準線方程為………………1分

因為焦點到準線的距離為2,所以

所以拋物線C的方程為y2=4.x………………4分

(2)解：設(shè)M(x?,y?),N(x2,y2),因為M,N在C上，所以…………………5分

兩式相減，得y-y2=4(x2-x?),即(y?-y1)(y?+y)=4(x?一xi)………………6分

因為MP=PN,所以點P是MN的中點，所以y?+y?=2…………………7分

所以2(y?-y1)=4(x?-x?),即y?-y?=2(x?—x1),

又x?≠x2,所以…………………………8分

所以直線l的方程為y-1=2(x—1),即2x-y-1=0…………………9分

(3)因為FR⊥ST,FS⊥RT,所以FR·ST=0,FS·RT=0

設(shè)R(r2,2r),S(s2,2s),T(t2,2t),其中r,s,t互不相等，

【高三第4次質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)參考答案第3頁(共4頁)】G

則FR=(r2—1,2r),ST=(t2—s2,21—2s),FS=(s2—1,2s),RT=(t2—r2,2t—2r),

由FR·ST=0,得(r2-1)(t2—s2)+2r(2t—2s)=0,又t≠s,所以(r2—1)(t十s)+4r=0①,11分

由FS·RT=0,得(s2—1)(t2—2)+2s(2t—2r)=0,又t≠r,所以(s2—1)(t+r)+4s=0②,13分

①×(s2—1)-②×(r2-1),得(r2-1)(s2—1)(t+s)+4r(s2—1)—(r2-1)(s2-1)(t+r)—4s(r2-1)=0,

即(s-r)[(r2—1)(s2-1)+4sr+4]=0,………………………15分

又s≠r,所以(r2-1)(s2—1)+4sr+4=0,

所以FR·Fs=(r2-1,2r)·(s2—1,2s)=(r2—1)·(s2-1)+4rs=—417分

19.(1)解：當n=1時，f(x)=Inx+x—1,定義域為(0,十∞),

在(0,十∞)上恒成立，所以f(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增.…………………2分

又f(1)=In1+1-1=0,所以f(x)有唯一零點1,即a?=14分

(2)解：由f(x)的零點為an,得an+Ina=Inn+1,an+1+Ina+1=In(n+1)+1,

兩式相減，,即an+1+Inan+1>a,+1na.…………………5分

令g(x)=x+Inx,則在(0,十∞)上恒成立，所以g(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增，