“皖南八?！?025-2026學(xué)年高一第一學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘。

2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)

應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答

題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效。

3.本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章、第二章、第三章。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知命題“p:3x∈(-3,十∞),x2≤9”,則一p是

A.Vx∈(-3,+∞),x2>9B.Vx∈(-3,十∞),x2≤9

C.3x∈(-3,十∞),x2≥9D.3x∈(-3,十∞),x2>9

2.已知集合A={-1,0,1,2},B={x∈N|x<3},那么集合AUB等于

A.(-1,3)B.{0,1,2}

C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

3.不等1的解集為

B.

C.或x>4}D.或x>2}

4.設(shè)函數(shù)則f(f(3))等于

AB.3D

5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,5),則函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

A.(2,4)B.(2,6)C.(2,4)D.(2,6)

6.定義集合A和B的運(yùn)算：AOB={(x,y)|x∈A,y∈B},若集合則

AOB的真子集個(gè)數(shù)為

A.31B.32C.62D.63

7.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)，且f(一√2)>f(√3),則f(-3),f(√5),

f(π)的大小順序是

A.f(√5)<f(-3)<f(π)B.f(π)<f(-3)<f(√5)

C.f(-3)<f(√5)<f(π)D.f(√5)<f(π)<f(-3)

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))人教】

8.已知命題p:存在a∈R且a≠0,對(duì)于任意的x∈R,使得f(x+a)<f(x)+f(a);q1:f(x)在R

上單調(diào)遞減，且f(x)>0恒成立；q?:f(x)在R上單調(diào)遞增，且存在xo<0使得f(xo)=0.下列說(shuō)

法正確的是

A.只有q?是p的充分條件B.只有q?是p的充分條件

C.q?,q?都是p的充分條件D.q?,q?都不是p的充分條件

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若a,b,c∈R,則下列命題正確的是

A.若ac2>bc2,則a>bB.若a>b,則ab<0

C.若b>a>0,則a3+a<b3+bD.若a>b>0且c<0,則a+c<b+c

10.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,+∞),且f(Jx+1)=2√x+x,則

A.f(x)=x2—1(x≥1)B.f(x)的值域?yàn)?-1,十∞)

C.f(x)在(1,十∞)上單調(diào)遞增D的值域?yàn)閇0,十∞]

11.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,Vx,y∈R,f(x+y)=f(x)f(y),且,則

A

B.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增

C.f(x+1)<f(x)

D.f(x+2)-f(x+1)<f(x+1)—f(x)

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知冪函數(shù)y=x°的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,√2)和點(diǎn)(16,n),則n=

13.已知兩正數(shù)x,y,滿(mǎn)足的最小值為

14.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)g(x)在[0,十∞]上單調(diào)遞減，且g(1)=0,若關(guān)于x的不等式(ax

+1)g(x-1)≥(bx—2)g(1-x)的解集為[0,+∞],則b2+a的最小值為·

15.(13分)

(1)已知f(x)=3x+2,求f(2x+5)的解析式；

(2)已知f(x)為二次函數(shù)，且f(x+1)+f(x—1)=2x2—4x,求f(x)的解析式.

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))人教】

16.(15分)

已知命題p:Vx∈R,不等式2tx2+2tx+1>0恒成立，當(dāng)命題p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)t的取值集

合為A.

(1)求集合A;

(2)設(shè)非空集合B={t|a-2<t+1<2a},若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的

取值范圍.

17.(15分)

已知函數(shù)f(x)=x2-3(a+1)x+2a2+3a(a∈R).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集為(1,5),求實(shí)數(shù)a的值；

(3)設(shè)關(guān)于x的不等式f(x)<0的解集為A,B=[-1,1],若A∩B=,求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))人教】

18.(17分)

已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為20,其中AB>AD,如圖所示，E為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，把四邊形

ABCE沿AE折疊，使得AB與DC交于點(diǎn)P.設(shè)DP=x,PE=y.

(1)若AD=3,將y表示成x的函數(shù)y=f(x),并求定義域；

(2)在(1)條件下，判斷并證明y=f(x)的單調(diào)性；

19.(17分)

Z

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,給定集合D,若f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x?,x?∈R,存在實(shí)數(shù)λ,當(dāng)

x?—x?∈D時(shí)，都有λ[f(x?)—f(x?)]∈D,則稱(chēng)f(x)是D上的“λ級(jí)優(yōu)函數(shù)”.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè){1}上的“1級(jí)優(yōu)函數(shù)”,并說(shuō)明理由.

(i)證明：f(x+6)—f(x)=3;

(ii)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),其中a,b∈Z,求a,b的值.

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))人教】

“皖南八校”2025—2026學(xué)年高一第一學(xué)期期中考試·數(shù)學(xué)

參考答案、解析及評(píng)分細(xì)則

1.A因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，所以對(duì)于命題p:3x∈(-3,十∞),x2≤9,其否定是將3改成V,對(duì)

結(jié)論否定，即Vx∈(-3,+∞),x2>9.故選A.

2.C因?yàn)锽={x∈N|x<3}={0,1,2},A={-1,0,1,2},所以AUB={-1,0,1,2}.故選C.

3.A因?yàn)椋?,所以.所以,解得.故選A.

4.D.故選D.

5.D由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,5),所以g(x)=f(x-1)+-2的定義域滿(mǎn)足解得

2<x<6,所以g(x)=f(x—1)+√x-2的定義域?yàn)?2,6).故選D.

6.D由新定義知，AOB={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},所以AOB的真子集的個(gè)數(shù)為2?一

1=63.故選D.

7.B依題意，f(一√2)=f(√2)>f(√3),故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，f(-3)=f(3),√5<3<π,得f(π)

<f(3)<f(√5),所以f(π)<f(-3)<f(√5).故選B.

8.C對(duì)于命題q?:f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(x)>0恒成立，當(dāng)a>0時(shí)，此時(shí)x+a>x,又因?yàn)閒(x)在R上

單調(diào)遞減，所以f(x+a)<f(x),又因?yàn)閒(x)>0恒成立，所以f(x)<f(x)+f(a),所以f(x+a)<f(x)

+f(a),所以命題qi→命題p,對(duì)于命題q2:f(x)在R上單調(diào)遞增，且存在xo<0使得f(xo)=0,當(dāng)a=xo

<0時(shí)，此時(shí)x+a<x,f(a)=f(xo)=0,又因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x+a)<f(x),所以

f(x+a)<f(x)+f(a),所以命題q?→命題p,所以q1,q?都是p的充分條件.故選C.

9.ABC對(duì)于A,若ac2>bc2,則c≠0,所以a>b,故A正確；對(duì)于B,若a>b且,則a>0,b<0,所以ab<

0,故B正確；對(duì)于C,若b>a>0,則a3<b3,a<b,故a3+a<b3+b,C正確；對(duì)于D,若a>b>0且c<0,則a

十c>b+c,故D錯(cuò)誤.故選ABC.

10.ACD對(duì)于A,依題意，f(Jx+1)=(√x)2+2√x=(Jx+1)2-1,則f(x)=x2—1,x≥1,故A正確；對(duì)于

B,當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，因此f(x)的值域?yàn)?0,+∞),故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,f(x)

=x2-1在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D,顯然1,0<x≤1,于，,因

此的值域?yàn)?0,+∞),故D正確.故選ACD.

11.AC對(duì)于A,令x=1,y=1,得到f(1)f(1)=f(2),又,則,故A正確；對(duì)于B,令x=

1,y=0,得到f(1)f(0)=f(1),又,則,則函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增不成

立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,令y=1,則f(x)f(1)=f(x+1),又,則又由題可知

f(x)f(一x)=f(0)=1,故f(x)≠0,又,所以,故C

正確；對(duì)于D,由,則,所以f(x+2)—f(x+1)=

,由選項(xiàng)C中分析知f(x)

,即f(x+2)—f(x+1)>f(x+1)—f(x),故D錯(cuò)誤.故選AC.

12.4魯,∴n=16→n=4.

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)試卷參考答案第1頁(yè)(共4頁(yè))人教】

13.8因?yàn)閤>0,y>0,且當(dāng)且僅當(dāng)

,即xy=2時(shí)，等號(hào)成立，,故,y=4時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.

因?yàn)槎x域?yàn)镽的偶函數(shù)g(x)在[0,十∞]上單調(diào)遞減，且g(1)=0,則g(一1)=0,可知當(dāng)x∈

(一∞,-1)U(1,+∞)時(shí)，g(x)<0;當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，g(x)>0,則當(dāng)x∈(一∞,0)U(2,+∞)時(shí)，g(x-

1)<0;當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g(x—1)>0;當(dāng)x∈{0,2}時(shí)，g(x—1)=0.由(ax+1)g(x—1)≥(bx—2)g(1—x)可

得(ax+1)g(x—1)—(bx—2)g(1—x)≥0,因?yàn)?ax+1)g(x—1)—(bx—2)g(1-x)=(ax+1)g(x—1)一

(bx—2)g(x—1)=[(a—b)x+3]g(x—1)≥0,由題意可知關(guān)于x的不等式[(a—b)x+3]g(x-1)≥0的

解集為(0,+∞),顯然y=(a—b)x+3不恒為0,可知當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，(a—b)x+3>0;當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，

(a—b)x+3≥0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，(a—b)x+3≤0,可知一次函數(shù)y=(a—b)x+3的零點(diǎn)為2,且圖象是

由左向右下降的，則即2(a—b)=-3,當(dāng)時(shí)取

得最小值，最小值為

15.解：(1)f(2x+5)=3(2x+5)+2=6x+17.5分

(2)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則

則f(x+1)+f(x—1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x—1)2+b(x-1)+c

=2ax2+2bx+2a+2c=2x2—4x,8分

所以……………10分

解得…………………12分

所以f(x)=x2—2x—1.……………………13分

16.解：(1)對(duì)于命題p:Vx∈R,不等式2tx2+2tx+1>0恒成立，

當(dāng)t=0時(shí)，1>0恒成立，………………………2分

當(dāng)t≠0時(shí)，則需解得0<t<2,……………5分

綜上，0≤t<2,則A={t|0≤t<2}7分

(2)因?yàn)椤皒∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，所以AB,8分

又因?yàn)锽為非空集合，且B=(t|a-2<t+1<2a}=(t|a—3<t<2a-1},

所以…………………………12分

解得

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.…………………15分

17.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f(x)=x2—6x+5=(x—3)2—4,………………2分

當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值，最小值為—4.…………3分

(2)因?yàn)殛P(guān)于x的不等式x2—3(a+1)x+2a2+3a<0的解集為(1,5),

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)試卷參考答案第2頁(yè)(共4頁(yè))人教】

所以1,5是一元二次方程x2—3(a+1)x+2a2+3a=0的兩個(gè)根，………4分

所以………………………6分

解得a=1.……………………8分

(3)由y=x2-3(a+1)x+2a2+3a<0,可得(x—a)[x—(2a+3)]<0,9分

①當(dāng)a<2a+3,即a>-3時(shí)，A=(a,2a+3),要使A∩B=,則a≥1或2a+3≤-1,

解得a≥1或a≤-2,又a>-3,可得—3<a≤-2或a≥1;……………11分

②當(dāng)a=2a+3,即a=-3時(shí)，A=,滿(mǎn)足A∩B=;…………………12分

③當(dāng)a>2a+3,即a<-3時(shí)，A=(2a+3,a),要使A∩B=,則2a+3≥1或a≤-1,

解得a≥-1或a≤-1,又a<-3,可得a<-3.…………14分

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍(一∞,-2)U[1,+∞)15分

18.解：(1)根據(jù)題意，由AD=3,得AB=7,

由已知∠PAE=∠PEA,故AP=EP=y,

又因?yàn)镈P=x,

故在Rt△ADP中，則AP2=AD2+DP2,

即y2=x2+9,整理得y=√x2+9,…………2分

又x+y≤7,則x+√x2+9≤7,故√x2+9≤7—x,

x2+9≤49+x2-14x,解得

所以定義域?yàn)椤?分

(2)y=√x2+9在上單調(diào)遞增.…………………5分

任取且x?>x2,

,…………………7分

因?yàn)?/p>

所以x?—x?>0,x?+x?>0,√x2+9+√x2+9>0

所以yi-y?>0,

即y=√x2+9在上單調(diào)遞增.…………………10分

(3)易知，當(dāng)E點(diǎn)位于C點(diǎn)時(shí)，△ADP面積最大.…………11分

此時(shí)再設(shè)AD=m,DP=n,那么AP=10-n-m,

由AP2=AD2+DP2,得,m∈(0,5),………12分

所以△ADP的面積,……13分

令10-m=t,則m=10—t(5<t<10),—m=t—10,

故

………………15分

【“皖八”高一期中·數(shù)學(xué)試卷參考答案第3頁(yè)(共4頁(yè))人教】

當(dāng)且僅當(dāng),即t=5√2,即m=10-5√2時(shí)，等號(hào)成立，

故當(dāng)AD=10-5√2時(shí)，△ADP的面積S的最大值為75—50√2.………17分

19.解：(1)函數(shù)f(x)=x是{1}上的“1級(jí)優(yōu)函數(shù)”.

理由如下：因?yàn)楫?dāng)x?—x2=1時(shí)，有f(xi)一f(x?)=x1—x2=1,所以f(x)=x是(1}上的“1級(jí)優(yōu)函數(shù)”.

………………3分

(2)(i)