第1頁/共1頁連城一中2025~2026學(xué)年上期高二年級月考1數(shù)學(xué)試題滿分：150考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知數(shù)列，2，，，，，…，則這個數(shù)列的第25項為（）A. B. C.7 D.2.直線：傾斜角為（）A. B. C. D.3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.30 B.40 C.60 D.1204.某影院欲新建一個放映廳，可以容納1160個座位，若第一排安排20個座位，從第二排起，后一排比前一排多4個座位，則放映廳最多可以建造的座位的排數(shù)為（）A.20 B.22 C.24 D.265.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.3 B.5 C. D.306.在數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.7.已知，若點在線段上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.8.已知數(shù)列滿足，設(shè)，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.過兩點的直線的傾斜角為B.經(jīng)過點的所有直線都可以用方程表示C.直線在軸上的截距為D.點在同一條直線上10.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C.的最小值為 D.11.高斯被譽為“數(shù)學(xué)王子”，是世界上偉大數(shù)學(xué)家.用他名字定義的函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)）稱為高斯函數(shù).已知正項數(shù)列的前項和為，且，令，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則______．13.若直線過點，向量是直線的一個方向向量，則直線的方程為___________________.14.已知數(shù)列，其中，滿足，設(shè)為數(shù)列的前n項和，當(dāng)不等式成立時，正整數(shù)n的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l經(jīng)過點和點．（1）求直線l的截距式方程；（2）求直線l與兩坐標軸圍成的圖形面積．16.已知等差數(shù)列前項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和．17.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.18.我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70％是沙漠，從今年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的16％改造為綠洲，同時原有綠洲的4％被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬平方千米.（1）求；（2）求第年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；（3）至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60％？（）19.已知數(shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.連城一中2025~2026學(xué)年上期高二年級月考1數(shù)學(xué)試題滿分：150考試時間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知數(shù)列，2，，，，，…，則這個數(shù)列的第25項為（）A. B. C.7 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列前的幾項歸納出，即可求出結(jié)果.【詳解】由題知，所以，故選：B.2.直線：的傾斜角為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用傾斜角與斜率的關(guān)系計算即可.【詳解】根據(jù)題意可知該直線的斜率為，所以其傾斜角為.故選：C3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.30 B.40 C.60 D.120【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求.【詳解】因為為等差數(shù)列，故，故選：C.4.某影院欲新建一個放映廳，可以容納1160個座位，若第一排安排20個座位，從第二排起，后一排比前一排多4個座位，則放映廳最多可以建造的座位的排數(shù)為（）A.20 B.22 C.24 D.26【答案】A【解析】【分析】由題意，設(shè)每排的座位數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中，公差，利用等差數(shù)列的求和公式，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)每排的座位數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中，公差，再設(shè)放映廳最多可以建的座位的排數(shù)為，可得，即，解得，又，得放映廳最多可以建的座位的排數(shù)為.故選：A.5.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A.3 B.5 C. D.30【答案】B【解析】【分析】為等比數(shù)列，得到，結(jié)合對數(shù)運算法則得到.【詳解】為等比數(shù)列，，故，且，故.故選：B6.在數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合遞推關(guān)系和首項，求出數(shù)列得前幾項，歸納出數(shù)列周期為4，結(jié)合周期性求解.【詳解】因為且，所以，，，，，所以是以4為周期的周期數(shù)列，所以.故選：A.7.已知，若點在線段上，則的最小值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用兩點連線的斜率公式知表示點和點連線的斜率，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，因為表示點和點連線的斜率，又，所以，，由圖知，的最小值為，故選：C.8.已知數(shù)列滿足，設(shè)，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由遞推公式結(jié)合等比數(shù)列定義可得數(shù)列的通項公式，則可計算出，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)性計算即可得.【詳解】，所以，所以是以為首項、2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.過兩點的直線的傾斜角為B.經(jīng)過點的所有直線都可以用方程表示C.直線在軸上的截距為D.點在同一條直線上【答案】AD【解析】【分析】借助斜率與傾斜角的關(guān)系計算可得A；考慮斜率不存在的情況可得B；由截距定義可得C；借助斜率公式計算可得D.【詳解】對于A：過兩點的直線的斜率，所以直線的傾斜角為，故A正確；對于B：過點斜率不存在時，方程為，故B錯誤；對于C：直線在軸上的截距為，故C錯誤；對于D：因為，，則，所以三點共線，故D正確.故選：AD10.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列是等差數(shù)列C.的最小值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，即可判斷A；根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷B；由數(shù)列的通項得出每一項的符號情況，即可判斷C；根據(jù)等差數(shù)列前項和公式即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，而滿足上式，因此，則，故A正確；對于B，，當(dāng)時，，數(shù)列是等差數(shù)列，故B正確；對于C，由選項A知，數(shù)列單調(diào)遞增，由，得，即數(shù)列前5項均為負數(shù)，第6項為0，從第7項起為正數(shù)，最小值為，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：ABD.11.高斯被譽為“數(shù)學(xué)王子”，是世界上偉大數(shù)學(xué)家.用他名字定義的函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)）稱為高斯函數(shù).已知正項數(shù)列的前項和為，且，令，則下列結(jié)論正確的有（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)與的關(guān)系，化簡可得，判斷A，B；再由裂項相消法求判斷C；利用放縮法判斷D.【詳解】對于A，B，，所以當(dāng)時，，又，則，所以，故A錯，B對；對于C，，，，故C對；對于D，，，當(dāng)時，，，，故D對；故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題解題的關(guān)鍵是正確理解高斯函數(shù)，根據(jù)遞推式，從而可歸納出通項公式，進而可求得答案.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列的前n項和為，若，，則______．【答案】81【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，，，…成等比數(shù)列，并設(shè)其公比為，又，由等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，，，…成等比數(shù)列，并設(shè)其公比為．又由題意可得，，，所以，所以．故答案為：.13.若直線過點，向量是直線的一個方向向量，則直線的方程為___________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線的一個方向向量可設(shè)直線的方程為，把點代入直線即可求出值，從而可得直線的方程.【詳解】直線的一個方向向量，則設(shè)直線的方程為，把點代入方程求得，所以直線的方程為。故答案為：14.已知數(shù)列，其中，滿足，設(shè)為數(shù)列的前n項和，當(dāng)不等式成立時，正整數(shù)n的最小值為______.【答案】9【解析】【分析】利用遞推關(guān)系式得，由此可證得是等比數(shù)列；由等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)可得，進而可求得的表達式，代入解不等式即可求解.【詳解】因為由得：，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.所以，所以等價，由知，滿足正整數(shù)n的最小值為9.故答案為：9.【點睛】方法點睛：求數(shù)列的通項公式有以下方法：（1）觀察法，（2）等差、等比公式法，（3）由與關(guān)系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）構(gòu)造等比數(shù)列，（7）構(gòu)造等差數(shù)列.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線l經(jīng)過點和點．（1）求直線l的截距式方程；（2）求直線l與兩坐標軸圍成的圖形面積．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點式直線寫出直線方程，再轉(zhuǎn)化為截距式；（2）由（1）得出直線在兩坐標軸上的截距，然后直接計算三角形面積．【小問1詳解】由已知得直線l的兩點式方程為，即，整理得．所以截距式方程為．小問2詳解】由（1）知直線l在兩坐標軸上的截距分別為4和8，所以圍成的圖形的面積為．16.已知等差數(shù)列的前項和為，且，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與求和公式列式，求和即可.（2）利用裂項求和法求.【小問1詳解】解法一：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由已知，解得，所以．解法二：因為，所以．因為，所以.所以，所以.【小問2詳解】因為．所以數(shù)列的前項和17.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）通過構(gòu)造思想，等式兩邊同時加1，即可證得等比數(shù)列，再求通項公式即可；（2）利用錯位相減法直接求和即可.【小問1詳解】由，所以是首項、公比均為3的等比數(shù)列，故所以.【小問2詳解】由（1）有，則，所以，兩式相減，得所以.18.我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70％是沙漠，從今年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的16％改造為綠洲，同時原有綠洲的4％被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)從今年起第年綠洲面積為萬平方千米.（1）求；（2）求第年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系；（3）至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60％？（）【答案】（1），（2）（3）6年【解析】【分析】（1）根據(jù)題意確定第一年，第二年，第三年綠洲面積，即可得的值；（2）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系確定第年綠洲面積與上一年綠洲面積的關(guān)系即可；（3）結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式構(gòu)造等比數(shù)列，從而列不等式，結(jié)合指對運算得所求.【小問1詳解】由題意可得，，；【小問2詳解】由題意得，所以；【小問3詳解】由（1）得，所以，又，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，即，令，即，兩邊取常用對數(shù)得，所以，所以，故至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%.19.已知數(shù)列中，，，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證