3.1勾股定理（第1課時勾股定理的發(fā)現）教學設計

^^教學分析

教學內容與解析

1.教學內容

-教材版本：蘇科版新教材數學

-年級：八年級上冊

-章節(jié)：第三章勾股定理3.1勾股定理（第1課時勾股定理的發(fā)現）

-核心知識點：勾股定理的發(fā)現過程；勾股定理的內容（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）；

勾股定理的初步應用（求直角三角形未知邊長、在數軸上表示無理數。為正整數）

2.內容解析

本節(jié)課先通過探究直角三角形三邊向外作止方形的面枳關系，引導學生發(fā)現勾股定理，符合“數形結合''

思想，讓抽象定理具象化。勾股定理是直角三角形重要性質，是后續(xù)學習幾何計算、表示無理數的基礎，

還承載數學文化（商高“勾三股四弦五''、《周髀算經》記載）。教學重點為經歷勾股定理發(fā)現過程、理解定

理內容，以及運用定理求直角三角形未知邊長和表示無理數。

教學目標與解析

1.教學目標

（1）經歷探求勾股定理的過程，發(fā)展幾何直觀，體會數形結合的思想。

（2）能夠應用勾股定理求直角三角形的未知邊長。

（3）能夠利用勾股定理表示無理數G為正整數）

2.目標解析

（1）達成標準：學生能通過“補”“割”法計算直角三角形三邊外正方形面積，發(fā)現面積關系，進而推導勾股

定理，能舉例說明數形結合思想在推導中的體現。

（2）達成標準：已知直角三角形任意兩邊長，學生能準確判斷直角邊和斜邊，代入勾股定理公式

（a2+b2=c\NC=90"）求出未知邊長，計算過程無錯誤。

（3）達成標準：對于給定正整數。，學生能構造直角邊平方和為。的直角三角形，以斜邊為半徑畫弧，在

數軸上找到表示右的點，作圖步驟正確。

學情分析

-已有知識：學生已掌握直角三角形內角關系（直角與兩銳角互余），會計算正方形和三角形面積，能進行

簡單平方、開方運算，具備初步幾何直觀和邏輯推理能力。

-學習難點：一是從正方形面積關系抽象出直角三角形三邊平方關系，實現“形”到“數”的轉化；二是運用勾

股定理時，準確判斷未知邊是直角邊還是斜邊（如已知兩邊長，需先明確邊的類型再計算）：三是構造直

角三角形表示無理數G時，合理選擇直角邊長度。

-學習易點：通過具體圖形（方格紙中的直角三角形、正方形）計算面枳，發(fā)現面積間的數量關系，此過程

直觀易懂，學生較易完成：對勾股定理“勾三股四弦五”的特例記憶和理解難度較低。

教學過程設計

新課導入

創(chuàng)設情景，引入新課

樨出問撅：百角三角形的內角之間存在特殊關系——一個角為直角，另外兩個銳角互余。那么，百角三角

形的三條邊之間是否也存在某種特殊關系呢？

【設計意圖】從學生已學的直角三角形內角關系切入，引發(fā)認知沖突，激發(fā)學生對直角三角形三邊關系的

探究興趣，明確本節(jié)課學習方向，為后續(xù)新知探究奠定基礎。

新知探塞

探究點1:探究直角三角形三邊外正方形的面積關系

1.問題引入

展示如圖所示的以其三邊為邊分別向外畫一個正方形，提問：所畫的三個正方形面積之間有怎

樣的數量關系？

小組內交流計算結果，討論三個正方形面積的關系。

2.詳細過程

（1）用“補”的方法計算正方形AEDB面積：

S正方彩A￡O8=7X7—4XSAA8C

=49—4x-x3x4

2

=25.

（2）用“割”的方法計算正方形AEDB面積:

SilFM八EC8=4XSA八/1x1

=4x-x3x4+I

2

=25.

（3）分析面積關系：正方形BHIC面積為9,正方形ACFG面積為16,正方形AEDB面積為25,可得

SF專耙AEDB=S正方形8〃/c+S正方彩ACFG

AB2=BC2+AC2

即RSA8C兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

3.拓展驗證：讓學生在方格紙上任意畫頂點在格點上的直角三角形，分別以三邊為邊向外作正方形，計算

面積并驗證上述關系，教師巡視指導。

4.例題鞏固

例I：如圖，已知直角三角形的兩邊長，求第三邊的長.

解：(1)根據勾股定理，得

122+52=4,

即d=169.

所以C=A/169=13.

(2)根據勾股定理，得

2?+岳=5?,

即〃=2].

所以h=yj2i.

例2：梯子靠墻問題

-題目：如圖，長2.5〃?的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為41L5"?.求梯子頂端距地面的高度

h.

解：根據勾股定理，得

i.52+//2=2.52,

即力2=4.

所以h=2.

答：梯子頂端距地面的高度為2m.

【設計意圖】通過推導過程讓學生理解勾股定理的來源，結合數學文化增強學習興趣；例題練習幫助學生

掌握勾股定理的應用方法，明確不同情況下（已知直角邊求斜邊、已知直角邊和斜邊求另一直角邊、實際

問題）的解題思路，突破應用難點。

探究點3：利用勾股定理表示無理數&（。為正整數）

1.問題引入

提問：我們知道數軸上的點可以表示有理數，那么無理數（如百、我）能否在數軸上表示呢？如何利用

勾股定理表示？

2.師生活動

-教師：以表示出為例，引導學生思考構造直角三角形的方法（直角邊平方和等于5）；演示在數軸上表

示石的步驟。并嘗試表示布，-后等

?學生：思考并嘗試構造符合條件的直角三角形，動手操作在數軸上表不無理數，小組內交流作圖方法。

3.詳細過程

（1）表示逐：

-構造直角三角形：畫直角邊分別為2和I的直角三角形，根據勾股定理，斜邊為5/否了=丁幣=石。

-在數軸上表示：以原點為圓心，斜邊長為半徑畫弧，與數軸止半軸交于點P，則點。即為表示石的點。

例3在數軸上畫出門對應的點.

解：如圖，畫一個直角邊分別為2和1的直角三角形.

由勾股定理知，斜邊為」22+8=a.以原點為圓心，斜邊長為半徑

畫弧，與數軸正半軸交于點P，則尸為遙對應的點.

（2）表刁:：

-構造直角三角形：畫直角邊分別為2和2的直角三角形，斜邊為百=>/布=際。

-在數軸上表示：以原點為圓心，斜邊長為半徑畫弧，與數軸正半軸交于對應點，即為表示次的點。

例在數軸上找出表示我的點.（不寫作法，保留作圖痕跡）

解：如圖，畫一個直角邊分別為2和2的直角三角形.由勾股定理知，斜邊為J22+22=*.以原點為圓心,

斜邊長為半徑畫弧，與數軸正半軸交于我對應的點.

-構造直角三角形：畫直角邊分別為1和4的直角三角形，斜邊為Jf+42=Jl+16=Ji7。

-在數軸上表示：以原點為圓心，斜邊長為半徑畫弧，與數軸負半軸交于對應點，即為表示-J萬的點。

例在數軸上找出表示一舊的點.（不寫作法，保留作圖痕跡）

解：如圖，畫一個直角邊分別為I和4的直角三角形.由勾股定理知，斜邊為J12*42=g.以原點為圓心，

斜邊長為半徑畫弧，與數軸負半軸交于一舊對應的點.

產III一

―44~-2~-101

【設計意圖】讓學生掌握利用勾股定理表示無理數的方法，建立“數”與“形”的聯(lián)系，拓展對數軸的認識，培

養(yǎng)學生的動手操作能力和邏輯推理能力，為后續(xù)學習無理數的幾何意義奠定基礎。

鞏固練習

1.求下列直角三角形中未知邊的長：

-（1）解析:根據勾股定理。2+從=°2（。為斜邊），得f+匕2=132,即x2=169-144=25,所以兀=50

-：2)解析：根據勾股定理，^=82+152=64+225=289,所以x=17。

-：3)解析：根據勾股定理，X2+122=152,即r=225—144=81,所以x=9。

-答案：(1)x=5；(2)x=17；(3)x=9o

2.求圖中x、y的值：

-(I)-解析：根據勾股定理，工2=81+100=181,所以工=J而。

-[2)-解析：根據勾股定理，144+V=169,即丁=169-144=25,所以)，二5。

-答案：(1)x=y/is\；(2)y=5o

3.求圖中x的值：

⑴(2)

-(1)解析：根據勾股定理，X2=42+42=16+16=32,所以工二病。

-(2)解析：根據勾股定理，82=X2+(4X/3)2,即64=/+48,x2=64-48=16,所以1=4。

-答案：(1)x=V32；(2)A=4O

【設計意圖】通過多樣化的鞏固練習，涵蓋勾股定理應用的不同場景(已知兩邊求第三邊、已知邊的平方

求邊、含無理數邊的計算)，幫助學生全面掌握勾股定理的運用，查漏補缺，強化知識記憶。

拓展提升

i.如圖，設每個小方格的面積為I,畫出圖中以格點為端點且長度分別為血、石、的線段。

-分析?:要畫長度為血的線段，需構造直角邊平方和為2的直角三角形，即直角邊為1和i（r+『=2）；

長度為逐的線段，對應直角邊為1和2（『+22=5）；長度為的線段，對應直角邊為2和3

（22+32=13）。

-作圖：在方格紙中找到格點，連接構成上述直角三角形的斜邊，即為所求線段（如線段。為、歷，線段力

為后,線段c為至）。

【設計意圖】通過在方格紙中畫特定長度的線段，進一步鞏固利用勾股定理構造直角三角形表示無理數的

方法，提升學生對勾股定理的靈活運用能力，增強幾何直觀素養(yǎng)。

四小結

1.知識層面：回顧勾股定理的發(fā)現過程（從直角三角形三邊外正方形面積關系推導）；明確勾股定理內容

（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,符號語言:在RbABC中，NC=90"則"+〃2=仃2）；

梳理勾股定理的應用（求直角三角形未知邊長、在數軸上表示無理數G）。

2.方法層面：總結“數形結合”思想在本節(jié)課的運用（通過圖形面積關系推導數量關系、利用圖形表示無理

數）。

,內容一直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

商高，畢達哥拉斯定理

勾股定理的發(fā)現

（應用

【設計意圖】通過系統(tǒng)總結，幫助學生梳理本節(jié)課知識框架，形成完整的知識體系，回顧關鍵思想方法，

加深對勾股定理的理解和記憶，為后續(xù)學習奠定基礎。

版書設計

3.1勾股定理（第1課時勾股定理的發(fā)現）

1.問題引入：直角三角形三邊是否存在特殊關系？

2.探究過程:

-正方形面積關系：

?“補”法計算面積：7x7-4x1x3x4=25

2

-“割”法計算面積：4x1x3x4+1=25

2

3.勾股定理：

-內容：百角三角形兩條百角力的平方和等于斜i力的平方

?符號語言：在RMABC中,ZC=90\則。2+〃=/

-數學文化：商高“勾三股四弦五”、《周髀算經》、畢達哥拉斯定理

4.勾股定理應用：

-求直角三角形未知邊長（例題1、例題2）

-表示無理數（如石、瓜、-V17）

5.鞏固練習：

作業(yè)布置

1.基礎作業(yè)：完成教材中本課時對應的練習題，鞏固勾股定理的基本應用。

2.提升作業(yè):在數軸上畫