第五章走進幾何世界

走進幾何世界

--------------------

正方體的平面展開圖

己己己型

mm型

轉(zhuǎn)化.表達---------------

國柱體平面展開圖

棱柱體平面展開圖

常見幾何體的平面展開圖

圓錐體平面展開圖

棱錐體平面展開圖

知識清單

知識點1：基本幾何體及其分類

1.立體圖形：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體，圓柱，圓錐，球等.

1/29

2.常見的基本幾何體的分類方法:

圓柱

柱體

圓俳

錐體《

立體圖形《棱錐

圓臺

臺體

棱臺

球體

3.平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.

4.常見的平面圖形有圓和多邊形，其中多邊形是由線段所用成的封閉圖形，生活中常見的多邊形有三角形、

四邊形、五邊形、六邊形等.

知識點2：幾何體的構(gòu)成

1.長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，兒何體也簡稱體；

2.面分成和兩種；

3.面和面相交的地方形成,線也分為和兩種；

4.線和線相交的地方形成.

5.從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關(guān)系.

此外，從運動的觀點看：動成,動成,動成.

線動成面*面動成體

點點動成線〉線-----＞面-----＞體

知識點3：棱柱與棱錐的特征

幾何體棱柱雌

、底面

/￡--------頂點

Wil--,-一棱

圖示

底面-

棱柱

哪

棱兩面相交

相關(guān)概念頂點棱與棱相交

面分為底面和側(cè)面

側(cè)棱長度相等；棱錐的的側(cè)面都是三角形

其它特征

上下底面完全相同，且平行；

棱柱、棱錐中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)的數(shù)量關(guān)系：

知識點4：點、線、面、體的關(guān)系

2/29

1.用運動的觀點看點，線，面，體的關(guān)系：

點上-點--動-成-線＞A線J＞-線--動-成-面＞-面T--面-動--成-體＞體

知識點5：圖形的基本運動方式

1.圖形的運動方式有三種基本的方式：、、。

2.圖形的翻折：將平面內(nèi)一個圖形沿著某條直線對折，得到一個與原圖形完全相同的圖形，這種圖形的運

動叫做翻折或軸對稱。

3.圖形的平移：在平面內(nèi)，一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，這種圖形運動的方式叫做平移。

4.圖形的旋轉(zhuǎn)：將平面內(nèi)一個圖形繞著一個定點（或定直線）沿著某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形

運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。

5.

運動方式平移翻折旋轉(zhuǎn)

決定條件方向+跑直定直線位置定點十方囪+角度

知識點6：正方體的平面展開圖

1.平面展開圖：有些空間幾何體是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形。

這樣的平面圖形稱為幾何體的平面展開圖。

2.正方體的11種展開圖:

知識點7：常見幾何體的平面展開圖

圓柱圓錐棱柱棱錐

表面展開圖兩個圓和一個長一個扇形和一兩個相同的多一個多邊形和幾

方形個圓邊形和一些長個三角形

方形

側(cè)面展開圖長方形扇形長方形幾個三角形

3/29

易錯點2幾何體的展開圖與側(cè)面展開圖的區(qū)別

錯誤：認為“幾何體的展開圖與側(cè)面展開圖相同”.

注意：幾何體的展開圖是所有的面展開成平面后的樣子，即通常所說的表面展開圖，而側(cè)面展開圖不包含

底面.

例如：圓錐的展開圖是圖1,圓錐的側(cè)面展開圖為圖2

例題3數(shù)學(xué)活動課上，小穎繪制的某立體圖形展開圖如圖所示，則該立體圖形是（）

5/29

A.D.

例題4如圖，沿圖中的虛線將該圓柱的側(cè)面剪開并展平，得到的圓柱的側(cè)面展開圖是（）

A,三角形B.矩形C.扇形D.圓形

例題4"塹堵"是一個長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜截所得的立體，即兩底面為直隹三角形的三

棱柱（如下圖所示）.最早的文字記載見于《九章算術(shù)》“商功”章.下列選項中是"塹堵”的側(cè)面展開圖

是（）

6/29

易錯點3長方形繞著長和寬旋轉(zhuǎn)后形成幾何體體積大小比較

錯誤：認為“長方形繞著長和寬旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體“高”的一定大”.

注意：繞著長方形的長和寬分別旋轉(zhuǎn)后，形成的兩個圓柱體的體積計算后比較可以發(fā)現(xiàn)：

2

繞著b旋轉(zhuǎn)得到的幾何體體積：V2=7ra-6

顯然匕=?a=7rab'2=7vab-b

V-2=7TQ2?b=Trab-a

'：a<b

:?%>匕

同樣的辦法，我們也可以計算比較一下它們的表面積：

S&1=2TT6Q+27rb2

S表2=27mb+2第。2

顯然，S表1>S表2

例題5已知長方形的長為2〃，寬為6,將這個長方形分別繞它的長和寬旋轉(zhuǎn)一周，可以得到兩個圓柱(如

圖).

弟一口苫一亨

II

①②

(1)圓柱①的底面直徑是_____高是一;圓柱②的底面直徑是______高是—;

(2)試比較這兩個圓柱的側(cè)面積.

7/29

例題5小軍和小紅分別以直角梯形的上底和下底為軸，將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到的兩個立體圖形.我們旋

轉(zhuǎn)的平面圖形是完全一樣的，所以旋轉(zhuǎn)后得到的兩個立體圖形的體積相等.

小軍小紅

(1)小紅得到的立體圖形可以看成是由______和構(gòu)成的，這個現(xiàn)象用數(shù)學(xué)知識解釋為

(2)你認為誰的說法正確？請通過計算說明理由.

易錯訓(xùn)練

1.如圖，是分割并裁剪硬紙板得到的幾個邊長都相同的小正方形，若再剪去一個小正方形后的圖形，是正

2.下列各圖中，經(jīng)過折疊可以得到正方體的是()

8/29

3.如圖，小東制作了一個無蓋正方體收納盒，盒子的前面有一圓形標(biāo)簽，則此收納盒的展開圖是（）

4.將一個無蓋正方體紙盒沿著某些棱剪開，得到的展開圖，下列是無蓋正方體紙盒展開圖的是（）

6.圓柱的側(cè)面展開圖不可能出現(xiàn)的圖形是（）

9/29

8.如圖是某一個幾何體的表面展開圖，則該幾何體是（）

A.圓柱B.正方體

9.如圖，能圍成圓錐的平面展開圖是（）

10.如圖，有一個長6cm,寬4cm的長方形紙板，現(xiàn)要求以其一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)180。，可按

兩種方案進行操作.

圖⑴圖⑵

方案一：以較長的一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖（1）；

方案二：以較短的一組對邊中點所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，如圖（2）.

Q）上述操作能形成的幾何體是__________說明的事實是.

⑵清通過計算說明哪種方案得到的幾何體的體積大.

10/29

11.小明學(xué)習(xí)了"面動成體"之后，他用一個邊長分別為6cm,8cm和10cm的直角三角形，繞不同的邊所

在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到了如圖所示的幾何體.

圖③

⑴繞6cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖;繞8cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖

繞10cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到圖；（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

（2）清計算圖①和圖②中幾何體的體積.（結(jié)果保留兀，圓錐體積=；x底面積x高）

12.如圖①，是一個兩直角邊長分別為3,4的直角三角形，按如圖②以邊長為4的直角邊所在直線為軸

旋轉(zhuǎn)一周；按如圖③過邊長為3的直角邊所對的頂點且與邊長為3的直角邊平行的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，得

到兩個不同的幾何體.試猜想哪個幾何體的體積更大，并通過計算證明自己的猜

想.（%柱=+5％惟=*〃

11/29

4

33

圖①圖②圖③

12/29

第五章走進幾何世界

走進幾何世界

--------------------

正方體的平面展開圖

己己己型

mm型

轉(zhuǎn)化.表達---------------

國柱體平面展開圖

棱柱體平面展開圖

常見幾何體的平面展開圖

圓錐體平面展開圖

棱錐體平面展開圖

知識清單

知識點1：基本幾何體及其分類

1.立體圖形：圖形的各部分不都在同一平面內(nèi)，這樣的圖形就是立體圖形，如長方體，圓柱，圓錐，球等.

13/29

2.常見的基本幾何體的分類方法:

柱體|匿

（棱村

錐體（圓錐

立體圖形〈城網(wǎng)［棱錐

臺可露

X球體

3.平面圖形：有些幾何圖形（如線段、角、三角形、圓等）的各部分都在同一平面內(nèi)，它們是平面圖形.

4.常見的平面圖形有圓和多邊形，其中多邊形是由線段所圍成的封閉圖形，生活中常見的多邊形有三角形、

四邊形、五邊形、六邊形等.

知識點2：幾何體的構(gòu)成

1.長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體也簡稱體；

2.面分成平面和曲面兩種；

3.面和面相交的地方形成線,線也分為直線和曲線兩種；

4.線和線相交的地方形成點.

5.從上面的描述中我們可以看出點、線、面、體之間的關(guān)系.

此外，從運動的觀點看：直動成線，線動成血，血動成便.

匕點動線線動成面九；面動本/I.

點-----＞線-----＞?面-----＞體

知識點3：棱柱與棱錐的特征

幾何體棱柱

底面

￡--------頂點

師一--棱

圖不

棱柱

加

棱兩面相交

相關(guān)概念頂點極與棱相交

面分為底面和側(cè)面

其它特征側(cè)棱長度相等；棱錐的的側(cè)面都是三角形

14/29

上下底面完全相同，且平行；

棱柱、棱錐中頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)的數(shù)量關(guān)系：

頂點數(shù)+而數(shù)-楂數(shù)=2

知識點4：點、線、面、體的關(guān)系

1.用運動的觀點看點，線，面，體的關(guān)系：

上點動成線AK線動成面K面動成體

點----------＞線----------＞面----------＞體

知識點5:圖形的基本運動方式

1.圖形的運動方式有三種基本的方式：平移、翻折（軸對稱寸旋轉(zhuǎn)。

2.圖形的翻折：將平面內(nèi)一個圖形沿著某條直線對折，得到一個與原圖形完全相同的圖形，這種圖形的運

動叫做翻折或軸對稱。

3.圖形的平移：在平面內(nèi)，一個圖形沿著一定的方向移動一定的距離，這種圖形運動的方式叫做平移。

4.圖形的旋轉(zhuǎn)：將平面內(nèi)一個圖形繞著一個定點（或定直線）沿著某個方向轉(zhuǎn)動一定的角度，這樣的圖形

運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。

5.

運動方式平移翻折旋轉(zhuǎn)

決定條件方向+距亶定直線位置定點+為血+角度

知識點6：正方體的平面展開圖

1.平面展開圖：有些空間幾何體是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形。

這樣的平面圖形稱為幾何體的平面展開圖。

2.正方體的11種展開圖：

知識點7:常見幾何體的平面展開圖

15/29

圓柱圓錐棱柱棱錐

表面展開圖兩個圓和一個長一個扇形和一兩個相同的多一個多邊形和幾

方形個圓邊形和一些長個三角形

方形

側(cè)面展開圖長方形扇形長方形幾個三角形

P_a79

例子

a

易錯總結(jié)

易錯點1正方體的展開圖分“有蓋”和“無蓋”

錯誤：認為“正方體的展開圖11種”.

注意：正方體的展開圖要分情況看，正常有蓋正方體的展開圖是II種，很多時候會考查無蓋正方體的展開

圖就不是11種了而是8種，因為從11種展開圖中的每一種都云掉一個正方形的面之后，得到的展開圖會

有個別會重復(fù).

當(dāng),0好

例題1下面圖形沿虛線不能圍成一個正方體的是（）

16/29

c.…mD.

【答案】C

【知識點】正方體幾種展開圖的識別

【分析】本題考查了正方體的展開圖相關(guān)知識，判斷給定圖形是否符合正方體展開圖的特征，進而確定能

否圍成正方體，核心在于對正方體展開圖結(jié)構(gòu)特點的理解和識別.

正方體展開圖有II種不同的形式，可以通過對這些形式的了解來判斷給定的圖形能否圍成正方體.

【詳解】A選項：圖形是型展開圖，是正方體展開圖的一種常見形式，通過實際折疊，可以發(fā)現(xiàn)

能夠圍成一個正方體；

B選項：圖形是“1-4-1”型展開圖，是正方體展開圖的?種常見形式，通過實際折疊，可以發(fā)現(xiàn)能夠圍成

一個止方體；

C選項：經(jīng)過觀察可以發(fā)現(xiàn)，它不符合正方體展開圖的11種形式，無論怎樣嘗試折疊，都無法圍成?個完

整的正方體；

D選項圖形是“2-2-2”型展開圖，是正方體展開圖的一種常見形式，通過實際折疊（想象或動手操作），

可以發(fā)現(xiàn)能夠圍成一個正方體；

故選：C.

例題2如圖，將一個無蓋正方體紙盒沿圖中川粗線標(biāo)記的棱剪開，則它的展開圖為（）

【答案】C

【知識點】正方體幾種展開圖的識別

17/29

【分析】本題考查了幾何體的展開圖，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合.根據(jù)無蓋可知展開圖有5個正方形組成，由

裁剪標(biāo)記可得有4面在同一行，另外一個面位于第二或第三個正方形的一側(cè)，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：一個無蓋正方體紙盒沿圖中用粗線標(biāo)記的棱剪開，則它的展開圖為

故選：C.

易錯點2幾何體的展開圖與側(cè)面展開圖的區(qū)別

錯誤：認為“幾何體的展開圖與側(cè)面展開圖相同”.

注意：幾何體的展開圖是所有的面展開成平面后的樣子，即通常所說的表面展開圖，而側(cè)面展開圖不包含

底制.

例如：圓錐的展開圖是圖1,圓錐的側(cè)面展開圖為圖2

V0

圖1圖2

例題3數(shù)學(xué)活動課上，小穎繪制的某立體圖形展開圖如圖所示,則該立體圖形是（）

?

【答案】D

【知識點】幾何體展開圖的認識

【分析】本題主要考查了根據(jù)幾何體的展開圖還原幾何體,熟知圓錐的展開圖是解題的關(guān)鍵.根據(jù)展開圖

18/29

可知該幾何體側(cè)面是扇形，下面是圓形，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)展開圖可知該幾何體側(cè)面是扇形，下面是圓形，則該立體圖形是圓錐,

故選：D.

例題4如圖，沿圖中的虛線將該圓柱的側(cè)面剪開并展平，得到的圓柱的側(cè)面展開圖是（）

A.三角形B.矩形D.圓形

【答案】B

【知識點】幾何體展開圖的認識

【分析】本撅主要考杏園林的側(cè)面展開圖，熟練掌握圓桿的側(cè)面展開圖是解題的關(guān)?。?/p>

直接根據(jù)圓柱的特征進行求解，即可解答.

【詳解】解：沿圖中的虛線將該圓柱的側(cè)面剪開并展平，得到的圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

故選B.

例題4“塹堵”是一個長方體沿不在同一面上的相對兩棱斜截所得的立體，即兩底面為直角三角形的三棱柱

（如下圖所示）.最早的文字記載見于《九章算術(shù)》“商功”章.下列選項中是“塹堵”的側(cè)面展開圖是（）

A.

【答案】B

【知識點】幾何體展開圖的認識

【分析】此題考查了棱柱的側(cè)面展開圖.根據(jù)直三棱柱的側(cè)面展開圖形狀進行解答即可.

【詳解】

19/29

解：根據(jù)題意可得，"塹堵的側(cè)面展開圖是

故選：B

易錯點3長方形繞著長和寬旋轉(zhuǎn)后形成幾何體體積大小比較

錯誤：認為“長方形繞著長和寬旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體“高”的一定大

注意：繞著長方形的長和寬分別旋轉(zhuǎn)后，形成的兩個圓柱體的體積計算后比較可以發(fā)現(xiàn)：

2

繞著Q旋轉(zhuǎn)得到的幾何體體積：匕=種2?a=7vab

繞著b旋轉(zhuǎn)得到的幾何體體積：匕=TTQ2"

2

顯然匕=7T62?a=ivab=ivab-b

2

V2=7ta?b=Trab-a

'：a<b

同樣的辦法，我們也可以計算比較一下它們的表面積：

S&i=2穴ba+2irb~

S及2=2萬血+2TTQ2

顯然，S表1>S表2

例題5已知長方形的長為2a,寬為方，將這個長方形分別繞它的長和寬旋轉(zhuǎn)一周，可以得到兩個圓柱（如

圖）.

20/29

戶

口O

—

①

,高是

徑是

面直

的底

柱②

;圓

是

,高

徑是

面直

的底

柱①

(I)圓

.

面積

的側(cè)

圓柱

兩個

較這

(2)試比

b

4a,

2a,

力,

】⑴

【答案

相等

面積

的側(cè)

圓柱

兩個

(2)這

形

體圖

的立

所得

轉(zhuǎn)后

形旋

面圖

、平

棱、面

的點、

何體中

點】幾

【知識

.

關(guān)鍵

題的

是解

公式

計算

積的

側(cè)面

圓柱

掌握

積，

的表面

幾何體

計算、

圓柱的

題考查

】本

【分析