2025-2026學年上學期初中數(shù)學人教版八年級期中必刷?？碱}之等邊三角

形

一.選擇題（共6小題）

I.（2024秋?昭通期末）已知a,b,c是^ABC的三邊長，且心-b\+（b-c）2=（）,則4ABC的形狀是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

2.（2024秋嘲州市期末）如圖，等邊中，A3=4,點。是高A“上一點，過點。作防〃相，分

別交AC,BC于點E,F,連接CQ,當CO_LE尸時，F(xiàn)H=（）

3.（2024秋?鄲城縣期末）在△ABC中，AB=BC=\Q,N8=60。，則AC的長為（）

A.10B.5C.12D.6

4.（2024秋?臨高縣期末）如圖，在△A8C中，NAC4=90。，/%垂直平分分別交回、BC于點、D、

E,人石平分NR4C,N4=30。，DE=2,則2c的長為（）

5.（2025春?樊城區(qū)期末）如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍中點為P,

若木棍A端沿墻下滑，且8沿地面向右滑行.在此滑動過程中，點P到點。的距離（）

OBM

A.變小B.不變C.變大D.無法判斷

6.（2025?壽陽縣校級開學）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,N8AO=130，，點E為對

角線AC的中點，連接。E,BE,BD,則的度數(shù)為（）

二.填空題（共7小題）

7.（2024秋?上饒期末）如圖，在等邊三角形A4C中，￡為A8反向延長線上一點且A￡=1,”為線段4c

上一點且Cr=2,NAFB=2NE,則F到直線人8和直線AC距離之和為

8.（2024秋?山亭區(qū)期末）如圖，一技術人員用刻度尺（單位：加）測量某三角形部件的尺寸.已知NACB

=90。，點D為邊48的中點，點A、B對應的刻度為1、7,則CO=cm.

點力在4C邊上，點“在A“邊上，過點/）

作OEJ_BC,垂足是E,NFED=NB,4NFDE-NA=180。.下列結論:①2NCOE=NA；②

③AOM是等邊三角形；④過點。作。M_LOE,交A3邊于點M,若M是”的中點，0M=3,則BC

=9.其中正確的是

A

10.（2024秋?嵩縣期末）如圖，在RtA48C中，ZC=90°,/8=60。，點。，E分另U是8C,48上的動點，

將4BDE沿直線DE翻折，點B的對點夕恰好落在AC上，若AAE9是等腰三角形，那么NBEB，的大

小為.

B

11.（2025?東港區(qū)校級開學）如圖，ZC=60°,AB=BC,Zl=°,三角形ABC按邊分是

三角形.

12.（2024秋?葫蘆島期末）如圖.在△人AC中，Z4CB=90°,CD是AB邊上的高，NA=60。，B口=2,

則4B=.

13.（2024秋?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）如圖，在Rt△4“。中，ZA=90°,Z23=30°,CM平分NACO交A/3于點

M，過點“作“"〃8c交AC于點M且MN平分NAMC,若AN=I,則的長為.

三,解答題（共2小題）

20252026學年上學期初中數(shù)學人教版（2024）八年級期中必刷?？碱}之

等邊三角形

參考答案與試題解析

一,選擇題（共6小題）

題號123456

答案ABADBB

一.選擇題（共6小題）

I.（2024秋?昭通期末）已知a,b,c是^ABC的三邊長，且例+"-c）2=（）,則4ABC的形狀是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【考點】等邊三角形的判定；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出〃=從b=c,即可得出a=b=c,從而判斷出三角形的形狀.

【解答】解：???|a-"+（〃-c）2=0,

又???0-川演）,（b-c）2>0.

:?a-b=0,b-c=0,

:.a=b,b=cf

：.a=b=c,

J△ABC是等邊三角形，

故選：A.

【點評】本題考查r等邊三角形的判定，非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值，偶次方，證得是解題的關鍵.

2.（2024秋?霸州市期末）如圖，等邊aABC中，A8=4,點。是高A"上一點，過點。作EB748,分

別交AC,BC于點、E,F,連接CO,當CQ_L"時，F(xiàn)H=（）

BFHC

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形.

【答案】B

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得NB=/4C3=60。，AC=8C=4,根據(jù)A〃_L3C,可得4〃=C〃=2,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/石尸C=N6=6（『,推山△石尸C足等邊三角形，根據(jù)CO_LER可得ZCD尸=90。，

ZDCF=30°,求出凡設貝ljCF=2+x,求出。F=l+：x,再求出/產(chǎn)?！?30°,得

到尸"=20凡從而得到X=3（1+±乃，求解即可.

【解答】解：???等邊△A6C中，A4=4,

NB=ZACB=60°,AC=BC=4,

'：AHIBC,

：.BH=CH=^BC=2,

*：EF//AB,

???NEFC=N8=60。，

???△EFC是等邊三角形，

\*CD±EF,

AZCDF=90°,ZDCF=30°;

:?DF二CF,

設FH=x,則C~=2+x,

?,.Z）F="F=I+聶，

VZEEC=60°,N4”4=90°,

???ZFD/7=90°ZEFC=30°,

:.FH=^DF,

.*.%=^（14-^x）,

99

.*.%=即FH=子

故選:B.

【點評】本題考查了本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的美

鍵.

3.（2024秋?鄲城縣期末）在AABC中，AB=BC=10,N8=60。，則AC的長為（）

A.10B.5C.12D.6

【考點】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】先根據(jù)“有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形"證明aABC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三

先形的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：???NB=60。，AB=BC,

???△A4C是等邊三角形，

：.AC=AB=\0.

故選：A.

【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，關鍵是判定△ABC是等邊三角形.

4.（2024秋?臨高縣期末）如圖，在AABC中，NACB=90。，DE垂直平分A8,分別交4B、8c于點。、

E,AE平分/BAC,NB=30。，DE=2,則BC的長為（）

A.2V5+2B.4>/3C.4D.6

【考點】含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)求出EC的長，再由直角三角形的性質(zhì)求出BE的長，進而可得

出結論.

【解答】解：???￡）￡垂直平分A3,N4C3=90。，AE平分NMC,

：.EC=ED=2,

???。七垂直平分48,

.\ZBDE=90°.

在^BDE中,

???N8DE=90°.N8=30°.

:.BE=2DE=4.

BC=BE+EC=4+2=6,

故選：D.

【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形、線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知在直角三角形中，30。

角所對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關鍵.

5.（2025春?樊城區(qū)期末）如圖，一根木棍斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍中點為P,

若木棍A端沿墻下滑，且8沿地面向右滑行.在此滑動過程中，點P到點。的距離（）

A.變小B.不變C.變大D.無法判斷

【考點】直角三角形斜邊上的中線.

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得出。，。二98=〃，即可得出答案.

【解答】解：在木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不發(fā)生變化，

理由是：連接OP，

VZAOB=90°,。為A8中點，AB=2a,

JOP=^AB=a,

即在木棍滑動的過程中，點。到點O的距離不發(fā)生變化，永遠是。：

故選；B.

【點評】此題考查/解直角三角形，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵.

6.（2025?壽陽縣校級開學）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=90°,N8AO=130，，點E為對

角線AC的中點，連接。￡,BE,BD,則NOB笈的度數(shù)為（)

C.30°D.25°

【考點】直角三角形斜邊上的中線：三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】等腰三角形與宜角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】先求出NBCO=50。，再由直角三角形的性質(zhì)可得BE=CE=OE=//1C,由等邊對等角可得

NEBC=NECB,NEDC=NECD,NEBD=NEDB,再由三角形外角的定義及性質(zhì)可得100。，

最后再由三角形內(nèi)角和定理計算即可得解.

【解答】解：由四邊形的內(nèi)角和是360°,可知，ZBCD=360°-ZABC-ZADC-ZBAD=50°,

???NA8C=NAOC=90。，點E為對角線AC的中點，

：.BE=CE=DE=^AC,

：?/EBC=/ECB,ZEDC=7ECD,ZEBD=ZEDB,

AZBED=ZBEA+ZDEA=ZEBC+ZECB+ZEDC+ZECD=2QECB+/ECD）=100%

，乙EBD=乙EDB=180°丁F'=40°,

故選：B.

【點評】本題考查了等邊對等角、直角三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，

關鍵是根據(jù)直角一?.角形的性質(zhì)解答.

二.填空題（共7小題）

7.（2024秋?上饒期末）如圖，在等邊三角形46C中，E為AB反向延長線上一點且AE=1,“為線段BC

」3V2+V3

上一點且CF=2,NAFB=2/E,則尸到直線相和直線4c距離之和為-------.

E

A

BFC

【考點】等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

[答案]—I—,

【分析】延長FC至點G,使得CG=AE=1,過點尸作FIYAB,FHLAC,于點1,H,過點A作AK_L8c

于點K,先證明△84七且△ACG(S4S),再導角得到以="G=2+1=3,則4C=2KC,在RQAKC中，

由勾股定理得，AK=?C,設KF=x,則AK=K(2-X),在RtAAKF中，由勾股定理得/+

[V3(2-%)]2=32,再解方程即可.

【解答】解：延長尸C至點G,使得CG=4E=1,過點/作FHA.AC,于點/,H,過點A作

AK上BC于點K,

???△ABC為等邊三角形,

,AB=AC=BC,N84C=N4CB=60°,

；?NBAE=N4CG,

在484E與△ACG中，

AB=AC

乙BAE=Z.ACG?

AE=CG

???△8AEgzMCG(SAS),

???NE=NG,設NE=NG=ct,

/AFB=2/E=NG+N物G,

2a=a+ZMG,

：.ZFAG=ZG=a,

AM=FG=2+I=3,

\*AK.LBC,AB=AC,

：,LKAC=AC=30°,

：.AC=2KC,

由勾股定理得，AK=V3KC,

設K〃=x,則4K=b(2-;0,

由勾股定理得，x2+[V3(2-r)]2=32,

解得：x=竽或％=主於（舍）,

4c?

6+3&

.*.AK=

-2-

TSAABC=^BCAK=\AB-Fl+^AC-FH,

乙L乙

而"=BC=AC,

：.FI+FH=AK=叵磐

3&+遍

”到直線”和直線AC距離之和為丁

3V2+V3

故答案為：?.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角

形的判定與性質(zhì)，勾股定理，30。角直角三角形的性質(zhì)等知識點，難度較大，運用面積法求解是解題的

關鍵.

8.（2024秋?山亭區(qū)期末）如圖，一技術人員用刻度尺（單位：。〃）測量某三角形部件的尺寸.已知N4CB

=90。，點D為邊A8的中點，點A、8對應的刻度為1、7,則CD=3c，〃.

【考點】直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)圖形和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可以計算出CD的長.

【解答】解：由圖可得，

NACB=9()。，AB=1-1=6(cm),點。為線段A8的中點，

：.CD=^AB=3cm,

故答案為：3.

【點評】本題考杳直角三角形斜邊上的中線，解答本題的關誕是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

9.(2024秋?燈塔市校級期末)如圖，在△ABC中，點D在4c邊上，點尸在AB邊上，過點。

作DELBC,垂足是E,ZFED=/B,4/FDE-NA=180。.下列結論:①2NCOE=ZA；?BC=BF+CD；

③△DE尸是等邊三角形；④過點。作。M_LOE,交A8邊于點M,若M是4尸的中點，QM=3,貝ijBC

=9.其中正確的是①?@.

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等：等腰三角形與直角三角形：幾何直觀：運算能力：推理能力.

【答案】①②④.

【分析】①根據(jù)AB=AC得NB=NC,進而得N4=180。-2NC,再根據(jù)OE_L8C得NCOE=90。-ZC,

由此可對結論①進行判斷；

②設N8=NC=a,則NF￡Q=N8=NC=a,進而得NA=180。?2a,根據(jù)4NFDE-/A=180°得

ZFDE=90°-1a,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得/。隹=90。一之€(,由此得NQFE,則DE=

乙乙

EF,再證NCQE=N8￡F,據(jù)此可依據(jù)“AA夕判定△CDE和A8后尸全等，從而得CO=8E,CE=BF,

由此可對結論②進行判斷；

③不妨假設△尸是等邊三角形，則/尸石。=60。，由此得N8=NFED=60。，則△/WC是等邊三角形，

但是根據(jù)已知條件無法判定△八8c是等邊三角形，因此假設是錯誤的.據(jù)此可對結論③進行判斷；

④證/4MO=NAOM得△AM。為等腰三角形，再證NMDF=/MFQ,設DM=FM=3,根據(jù)點M是

A尸的中點得AM=FM=OM=3,則△AMO為等邊三角形，從而得4M=QM=AO=3,證NAQF=90。，

由勾股定理可求出FD=3百，再證△ABC,△尸均為等邊三角形，則EF=FD=373,NBEF=30。，

然后在RtzxBE/中由勾股定理求出8斤=3,進而得A8=9,由此可對結論④進行判斷，綜上所述即可

得出答案.

【解答】解：①在△"(?中，AB=AC,

:.NB=NC,

???ZA=180°-2ZC,

?：DEIBC,

ZCDE=90°-ZC,

：.2ZCDE=NA,

故結論①正確；

②設N8=NC=a,則/FEO=N8=NC=a,

???乙4=180。-2a,

V4ZFD￡-ZA=180°,

；?4NFDE?(180°-2a)=180°,

/.ZFDE=90°-1a,

11

.\ZDFE=I8O°-QFED+NFDE)=180°-(a+90°-^a)=90。一扣，

???4FDE=NDFE,

：.DE=EF,

,:DE上BC,

AZCD￡+ZC=90°,NBEF+NFED=90°,

,:NC=NFED=a,

：.NCDE=/BEF,

在^BE/中，

Z.CDE=乙BEF

Z.B=Z.C?

DE=EF

:./\CDE名ABEF(AAS),

:?CD=BE,CE=BF,

，BC=CE+BE=BF+CD,

故結論②正確；

③不妨假設△DEF是等邊三角形,

.,.ZFED=60°,

：.ZB=ZFED=60°,

???△ABC是等邊三角形，

根據(jù)已知條件，無法判定△4BC是等邊三角形，

???假設是錯誤的.

故結論③不正確.

DMIDE,DELBC,

C.DM//BC,ZMDE=90°,

AZAMD=ZB,ZADM=ZC,ZMDF+ZFDE^O0,

,:NB=NC,

：,ZAMD=ZADMf

??.△AM。為等腰三角形，

:△COE也△BET7,

:?/DEC=/EFB=9U。,

JZEFM=90°,即ZMFD+ZEFD=900,

NFDE=NDFE,

：.ZMDF=/MFD.

???ZW=FM=3,

???點M是A尸的中點,

：,AM=FM=DM=3,

???△AM。為等邊三角形，

/.ZADM=ZAMD=ZA=60\AM=DM=AD=3,

/.Z?D=120°,

1,NMDF=NMFD=3(180°-NFMD)=1(180°-120°)=30。,

/.ZADF=ZADM+ZMDF=600+30°=90°,

在RSAO/中，AF=AM+FM=6,AD=3,

由勾股定理得：FD=y/AF2-AD2=373,

???NAMO=NB=60°,NAQM=NC=60°,

???△ABC為等邊三角形，

：.BC=AB,

,/ZFED=ZB=60°,DE=EF,

；.ADEF為等邊三角形,

：.EF=FD=3V3,

VZEFB=90Q,NB=90。，

尸=30°,

在RsBEb中，ZBEF=30°,

:,BE=2BF,

由勾股定理得：B??BF2=EF，

即(2BQ2-3產(chǎn)=(3圾2,

:.BF=3,

尸+B/=6+3=9,

：,BC=AB=9.

故結論④正確.

綜上所述：正確的結論是①@④.

故答案為：①②④.

【點評】此題主要考杳了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理等，理解等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判

定和性質(zhì)，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵.

10.（2024秋?寓縣期末）如圖,在RSA8C中，ZC=90°,N8=60。，點。，E分別是BC,上的動點,

將ABOE沿直線OE翻折，點8的對點夕恰好落在AC上，若夕是等腰三角形，那么的大

小為150°或105?；?0。.

【考點】含30度角的直角三角形；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】分類討論；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；運算能力；應用意識.

【答案】150?；?05。或60。.

【分析】由NC=9由,ZB=60°,得NA=30。,分三種情況討論：①當8A=8E時，可得由=180°

-ZB'EA=I5O°；②當48=AE1時，即得NAE8=NA8'E=史與幺=75°,即得/8EB'=105°；③當

E4=E8時，可得NBEB'=NA+NE8'A=60。.

【解答】解：???/C=90。，N8=60。，

JNA=30。，

分三種情況討論：

①當84=9E時，如圖：

???N8E4=N4=30。，

???ZBEB'=I8O°-ZB'EA=150°；

②當A8'=AE時，如圖：

JZBEB'=1800-ZAEB'=105°；

③當必=砧時，如圖：

NA=NE8A=30。,

/.ZBEB'=ZA+ZEB'A=60°；

綜上所述，N8E8為150?；?05。或60。，

故答案為：150?；?05?；?0。.

【點評】本題考查直角三角形中的折疊問題，解題的關鍵是掌握等腰三角形性質(zhì)，分類討論.

II.（2025?東港區(qū)校級開學）如圖，ZC=60°,AB=BC,Zl=45。，三角形ABC按邊分是等邊三

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】三角形：等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】45,等邊.

【分析】先利用A4=4C',得出三角形A4c是等腰三角形，得NA=NC'=60。，再利用三角形內(nèi)角和定

理得出NABC=I8O。-N/l-/C=60。，利用平角即可求出N1,利用等邊三角形的特征即可判斷三角形

/WC的形狀.

【解答】解：因為AB=8C,

所以三角形ABC是等腰三角形，

所以NA=/C=60。，

所以NA5C=180。-ZA-ZC=180°-60°-60°=60°,

所以N1=180°-75°-ZABC=180°-75°-60°=45°,

因為NABC=N4=NC=60。，

所以三角形ABC是等邊三角形，

故答案為：45,等邊.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，關鍵是相關性質(zhì)的熟練掌握.

12.（2024秋?葫蘆島期末）如圖，在△A8C中，N4CB=90。，CO是48邊上的高，ZB=60°,BD=2,

則A4=8.

A

DB

【考點】含30度角的直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形：推理能力.

【答案】8.

［分析］由含30度角的直角三角形的性質(zhì)推出A8=48O=4x2=8.

【解答】解：VZAC?=90°,NB=60。，

???NA=90。-ZB=30°,

：.AB=2BC,

???CO_LA8于。，

JZBDC=90",

???N8CQ=90。-ZB=30°,

：.BC=2BD,

，AB=4BO=4x2=8.

故答案為：8.

【點評】本題考查含30度角的直角三角形，關鍵是掌握在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊

的一半.

13.（2024秋?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）如圖，在RsA8c中，NA=90。，ZB=30°,CM平分NAC8交A3于點

M,過點M作MN〃BC交AC于點N,且MN平分N4MC,若AN=1,則BC的長為6.

【考點】含30度角的直角三角形；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】6.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NAC8,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N4MN=30。，根據(jù)角平分線的

定義求出NMWC=/ACM=30。，根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出即可5

【解答】解：在Rl△人BC中，NA=90°,N8=30。，

NACB=60。，

：,NAMN=NB=30°,

VZA=90°,AN=\,

:?MN=2AN=2,

?「MN平分NAMC,NAMN=30。，

???NAMC=NAMN+NMWC=6（）°

「CM平分NACB,/ACB=60。，

1

ZACM=宏N4CK=30。，

/.NACM=NNMC,

:,MN=CN=2,

???4C=AN+CN=1+2=3,

???在RtaABC中，ZA=90°,ZB=30°,

???8C=2AC=2x3=6,

故答案為：6.

【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)和角平分線的定義等知識點,

能靈活運用知識點進行推理和計算是解此題的關鍵.

三,解答題（共2小題）

14.（2024秋?平橋區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，8￡＞是中線，延長8C至E,使CE=CQ,DF1BE,

垂足為點F.

（1）求證：是等腰三角形；

（2）若C產(chǎn)=4,求△ABC的周長.

【考點】等邊一角形的性質(zhì)；含30度角的直角「角形；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】三角形.

【答案】（1）△ABC等邊三角形，8￡）是中線；

AZABC=ZACB=60°,BDLAC,8。平分N48C,

"DBC=^Z-ACB=|x60°=30°,

?.*ZACB=60°=/E+/CDE,

?:CE=CD,ZE=ZCDE,

：,ZE+ZCDE=ZACB,

即2ZE=60°,

ZE=30°,

:.NE=NDBC,

:?BD=DE,

???△8OE是等腰三角形；

(2)48.

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知N4C8=60。，再證明NC4Q=/七=30。，即可得出結論；

(2)由?！?4可得出。C=2Cr=8,故可得出AC的長，迸而可得出結論.

【解答】(1)證明：??'△ABC等邊三角形，是中線；

???NABC=N4CB=60。，BDLAC,8。平分N4BC,

，乙DBC=\LACB=1X60°=30°,

*/NAC8=60°=ZE+ZCDF,

'：CE=CD,/E=4CDE,

:./E+/CDE=NACB,

即2NE=60。，

NE=30。，

:./E=NDBC,

:,BD=DE,

???△8DE是等腰三角形；

(2)解尸_LB￡,/AC8=60°,

JZFDC=90°-ZACB=90°-60°=30°,

ADC=2FC=2x4=8,4c=2DC=2x8=16,

丁?△ABC周長：16x3=48.

【點評】本題主要考杳了等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，直角三角形中30。所對的邊是斜邊的一半等知

識點，解決此題的關鍵是熟練運用以上知識點.

15.(2024秋?撫順縣期末)如圖，在等邊三角形ABC中，點E在A8邊上，點。在CB的延長線上，且

AE=BD.

（1）當點￡為AB的中點時，如圖1,求證EC=￡D：

（2）當點E不是A6的中點時，如圖2,

①過點七作石戶〃8C.請補全省形，并求證尸是等邊三角形;

②直接寫出EC與ED的數(shù)量關系.

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角

形的判定.

【專題】等腰三角形與宜角三角形；推理能力.

【答案】（1）???△ABC是等邊三角形，

：,CA=CB,ZABC=ZAC5=60°,

???點E為A8的中點，

；?AE=BE,/.BCE=Z.ACE=^Z-ACB=30°.

\-AE=BD,

:?BE=BD,

:,NBDE=/BED.

:NBDE+NBED=NA8C=60°,

；?NBDE=NBED=30。,

???N8OE=NBCE=30。，

：?EC=ED；

A

E/

(2)①。B

?:EFHBC,△ABC是等邊三角形，

AZAEF=ZB=60°,ZAFE=ZC=6Q°,

???△AKV是等邊三角形；

②EC=ED.

【分析】（I）利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答即可；

（2）①根據(jù)題意補全圖形即可，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/4EF=NB=60。，Z/IFE=ZC=60°,即

可證明結論；

②利用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】（1）證明：:△ABC是等邊三角形，

:.CA=CB,NA4C=NAC4=60。，

???點七為/IB的中點，

；?AE=BE,^.DCE=^ACE=^ACB=30°.

,：AE=BD,

：,BE=BD,

；?NBDE=NBED.

「ZBDE+ZBED=NA8C=60。，

:?/BDE=/BED=3U。,

:?NBDE=NBCE=30。,

:.EC=ED；

（2）解:①如圖所示，EF為所求:

*：EF//BC,△ABC是等邊三角形，

???N4E/=N8=60°,NA/E=NC=60°,

???△AE尸是等邊三角形；

②點￡不是A8的中點時，如羽，則￡C=￡Q,理由如下:

?.?△A/3C,aAE尸是等地三角形，

???/4BC=NA/E=60°,AB=AC,AE=AF=EF,

：?/DBE=/CFE=120°,BE=AB-AE,CF=AC-AF,

：,ZDBE=ZCFE,BE=CF,

*：AE=BD,

:?EF=BD,

在4。8五和4E/C中，

BD=EF

乙DBE=乙CFE,

BE=CF

:.ADBE出AEFC(SAS),

：,DE=EC.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟

練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

考點卡片

1.非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值

在實數(shù)范圍內(nèi)，任意一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，當幾個數(shù)或式的絕對值相加和為。時，則其中的每一項

都必須等于0.

2.非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有北負性.

任意一個數(shù)的偶次方都是非負數(shù)，當兒個數(shù)或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0.

3.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.詢單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

4.三角形內(nèi)角和定理

（I）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且卷個內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

（3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉化中借助平

行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應用

主:要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

5.三角形的外角性質(zhì)

（I）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360。.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉化到一個三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角.

6.全等三角形的判定與性質(zhì)

（I）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判