2025-2026學(xué)年山東省泰安英雄山中學(xué)高二上學(xué)期10月月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(-1,2,-3)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(1,2,-3)B.(-1,-2,-3)C.(-1,2,3)D.(1,-2,-3)

2.直線Zx-y-3=0的傾斜角為()

A.30°B.60°C.120°D.90°

3.已知空間向量萬(wàn)=22—39+3落干=31+9+乙則至+[以值范同為單位正交基底時(shí)的坐標(biāo)為()

A.(5,-3,4)B.(5,-2,4)C.(2,-3,3)D.(3,1,1)

4.過點(diǎn)(一3,0)和(0,4),的直線的一般式方程為()

A.4%+3y+12=0B.4x4-3y-12=0

C.4x—3y+12=0D.4x—3y—12=0

5.已知空間向量W=(73,0,l),b=弓,0,苧)，則五在族上的投影向量的模為()

A.73B.1C.2D.1

6.已知直線"-Q+y=0,且與以點(diǎn)4(2,1),8(0,C)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線除斗率k的取值范圍

為()

A.(—00,—/3]B.[1,4-co)

C.|-/3,1]D.(-8,一可u[l,+8)

7.已知集合力={(X,y)[El=2}，集合8={(x,y)|ax-y-2=0},且AnB=0,則Q=()

A.2B.-2C.一5或一2D]或2

8.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，0A=(-1,2,1),OB=(1,1,2),9=(2,1,1),點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則

?麗的最小值為()

A.B.C.1D.1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.(多選)將正方形/BCD沿AC折疊如圖所示，其中點(diǎn)瓦尸分別為AD,OC的中點(diǎn)，點(diǎn)RT將線段4C三等分，

則()

第1頁(yè)，共9頁(yè)

D

E

―2....?

A.RT=^EFB.AB+AD=3Kf

C.AB=DCD.EB=~AB-\A6

10.已知直線心（a+2）x+ay-2=0與ri：（a-2）x4-3y-6=0,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若〃/幾，則a=6或a=-1

B.若，17i,則a=1

C.直線Z恒過點(diǎn)（1,一1）

D.若直線九在％軸上的截距為6,則直線九的斜截式為y=1x-2

11.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的平行六曲體48co—4/iGDi中，底面48。。是止方形，且乙4/8=44力。=

60°,下列選項(xiàng)正確的是（）

A.3D1長(zhǎng)為20

B.異面直線4。與叫所成角的余弦值為空

C.A^CJ-B]D]

D.AAr1BD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知4=（2,—1,4）,方=（一1,5,—2）,c=（l,4,A）,若五、B、F三向量共面，則實(shí)數(shù)入等于.

13.若某直線被兩平行線占無(wú)-y+l=0與％：%-y+3=0所截得的線段的長(zhǎng)為2/1,則該直線的傾斜角

大小為?p

14.如圖，在正四棱錐P-48CD中，而=而，而=2而，設(shè)平面AEF與直線

PC交于點(diǎn)6,同=入前,則2=.

A

B

第2頁(yè)，共9頁(yè)

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知0,A,B,C,D,E,F,G,"為空間的9個(gè)點(diǎn)(如圖所示)，并且屈=OF=kOB,OH=

kOD,AC=AD+mABf函=麗+血品.求證：

(1)4,B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,"四點(diǎn)共面；

(2)?！ㄖx：

(3)。、G、C三點(diǎn)共線.

16.(本小題12分)

已知直線L：x—2y+3=(J,。：2%+3y—8=0.

(1)求經(jīng)過點(diǎn)41,4)且與直線％垂直的直線方程；

(2)求經(jīng)過直線。與，2的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.

17.(本小題12分)

已知空間中三點(diǎn)B(0,2,l),C(-2,1,3).

(1)設(shè)用=2心，且口〃而，求1的坐標(biāo)；

(2)若四邊形4BC0是平行四邊形，求頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)求△ABC的面積.

18.(本小題12分)

如圖，在直四棱柱ABCD-48IG2中，AB1AC,AB=1,AC=AAr=2,AD=CD=<5,AE=

(1)求證：BE1平面AC/：

第3頁(yè)，共9頁(yè)

(2)求平面D14C與平面814c夾角的余弦值：

(3)若F為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，求F到直線8E距離的最小值.

19.(本小題12分)

已知P是楂長(zhǎng)為2的正方體48。。-4當(dāng)。1。1表面上一動(dòng)點(diǎn)，M,N分別是線段Bi。和CG的中點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足

=1),且設(shè)P的軌跡圍成的圖形為多邊形。

(1)證明：。為平行四邊形；

(2)是否存在人使得。和底面4BCD的夾角為去若存在.求出;I的宜.若不存在.請(qǐng)說明理由.

第4頁(yè)，共9頁(yè)

參考答案

\.c

2.B

3.8

4.C

5.4

6.0

7.0

8.6

9.AD

10.AC

11"。

12.2

13.15。和75。

14-

15.解：（1）由彳？=而+m而，EG=EH+mEF,

知4B,C,。四點(diǎn)共面，E,F,G,”四點(diǎn)共面：

（2）由屈=k旅，OF=kOB,OH=kOD,

得而=~EH+m~EF=0H-0Em（0F-0F）

=k（0D-0A）+km（0B-~0A）=kAD+kmAB

=A（40+mAB^=/ci4C,

所以正〃就；

（3）由（2）知函=k前，

所以前=宙一由=kAC-kAO

=k（AC-A0>）=k0C,

所以詬=k旅，

即明〃靈，又如與靈有一個(gè)公共點(diǎn)，所以。、G、C三點(diǎn)共線.

16.解：（1）由直線，2：2x+3y-8=0=>y=-|x+1可得斜率為一弓,

第5頁(yè)，共9頁(yè)

所以根據(jù)垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為y=1x+b,

則依題意有4=|xl+與，解得b=|,

所以所求直線方程為y=。+?,整理得3x-2y+5=0；

(2)聯(lián)立卜二砥第二:，解得后片，即直線匕與，2的交點(diǎn)為(1,2)，

當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，假設(shè)直線方程為y=

代人(1,2)得k=2,此時(shí)y=2x；

當(dāng)直線的截距都不為0時(shí)，假設(shè)直線方程為:+看=l(a,bH0),

a=b丫v

1,2_解得a=b=3,此時(shí)直線方程為升馬=1,即x+y-3=0

(ab

綜上所述：所求直線方程為y=2x或x+y—3=O.

17.解：(1)由已知得通=(0,2,1)-(-144)=(1,1,0).

因?yàn)?/\!/而，所以可設(shè)下=4而，

所以同=|A|-|AB|=|1|X71+1+0=/2|A|=解得入=±2,

所以2=2荏=(2,2,0)或2=-2而=(-2,-2,0).

(2)設(shè)。(居y,z),因?yàn)锳BC。是平行四邊形，所以通=尻，

由8(0,2,1),C(-2,1,3),

得而二(1,1,0),DC=(-2-x,l-y,3-z),

(-2—x=1x=-3

所以1一y=1=y=0,故。(一3,0,3).

3—z=0z=3

(3)由題可得刀=(1,0,—2),通=(2,1,-2),

所以|石?|=02+0+(-2)2=y/~St\CB\=J22+12+(-2)2=3,

所以8S甌西=露=晟=咨

y.(^A,CB)e[0,n],所以sin(方，而)=J1-cos2(CA,C§)=

所以△A"的面積S=i|cX|.函sin(E西=ix/5x3x^=1.

18.解：(1)由直四棱柱4BCD-4BiCiDi知,他1底面48m

第6頁(yè)，共9頁(yè)

因)勺力Cu平面ABC。，所以力A]l.AC,

又4B14C,AAXC\AB=A,",43u平面"出8,

所以AC_L平面/因?yàn)锽Eu平面A41B13,所以AC_L8￡

因?yàn)?8=1,AC=AAX=2,AE=^AA1.

所以若=,=償，Z_EAB=Z-ABB=90°,

AtiLULi\1

所以AABE?△8B14,所以4ABE=44與8,

因?yàn)?乙4=90。，所以48通8+乙1BE=9O。，所以8￡_1力當(dāng)，

5LACC\AB1=A,4C,48Iu平面ACBI，所以BE1平面力

(2)因?yàn)锳4i1底面4BCO,48,4。<=平面/18。0,

所以44114B,441AC,因?yàn)?B14C,所以44i，4B,4C兩兩垂直，

所以以4為原點(diǎn)，A4,AB,4C所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),B(0,l,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),劣(1,一2,2),E(0,0,

由(1)知，EB=(0,1,為平面B遇。的一個(gè)法向量.

設(shè)平面。的一個(gè)法向量為方=(%,y,z),

因?yàn)辂?(1,-2,2),AC=(2,0,0),

則「而="-y+2z=。，令z=i,則y=i,x=o,

平面。i力C的一個(gè)法向量為k=(0,1,1).

所以COS伍，麗)=:落=-j==^-=罟，

所以平面。遇C與平面aAC夾角的余弦值為答.

(3)設(shè)方=XCD=(-1,-22,0),0<1<1,

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則F(2-A,-2A,0),EF=(2-A,-2A,-

設(shè)F到直線BE的距離為d,

則d=\EF\|l-cos2（E5,FF）=|用2-絲駕

71網(wǎng)

=卜一…+>穹=腎-4+得=

所以當(dāng);I*時(shí)，dmin=即尸到直線BE距離的最小值為去

19.解：（1）