第22章相似形（復(fù)習(xí)講義）理解比例線段和黃金分割的概念與性質(zhì)．2．．3．掌握相似三角形對(duì)應(yīng)要素（邊長(zhǎng)、高、中線、周長(zhǎng)）的比等于相似比，而面積的比等于相似比的平方．4．理解圖形位似變換的概念、性質(zhì)及其在坐標(biāo)系中的應(yīng)用,能綜合運(yùn)用相似知識(shí)解決實(shí)際生活中的測(cè)量和作圖問題．●一、相似多邊形的概念★1、相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形.★2、相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比或相似系數(shù).【注意】當(dāng)用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)多邊形相似時(shí)，要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上.●二、成比例線段★1、線段的比：在同一長(zhǎng)度單位下，量得的兩條線段長(zhǎng)度的比叫做這兩條線段的比.★2、四條線段成比例：對(duì)于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比(即它們長(zhǎng)度的比)與另兩條線段的比相等.如ab=cd(即ad=bc).★3、判斷四條線段是否成比例的方法:首先統(tǒng)一單位，并把四條線段按從小到大(或從大到小)的順序排列，然后計(jì)算并判斷.計(jì)算的方法有兩種：(1)計(jì)算前兩條線段的比和后兩條線段的比，若比值相等，則這四條線段成比例；(2)分別計(jì)算第一條線段與第四條線段的乘積、第二條線段與第三條線段的乘積，如果乘積相同，則這四條線段成比例.●三、比例的基本性質(zhì)★1、比例的相關(guān)性質(zhì)：（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若ab=cd，則②合比性質(zhì)．若ab=c③分比性質(zhì)．若ab=c④合分比性質(zhì)．若ab=c⑤等比性質(zhì)．若ab=cd=?=mn（b+d+…★2、比例中項(xiàng)：在ab=cd中，如果b＝c，即ab=bd那么b2＝ad，這時(shí)我們把b叫作a●四、黃金分割★1、黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項(xiàng)，即，叫做把線段黃金分割，點(diǎn)叫做線段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．即.簡(jiǎn)記為：●五、平行線分線段成比例★1、平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.★2、符號(hào)語(yǔ)言：★3、平行線分線段成比例定理的推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.●六、相似三角形的判定★1、判定兩個(gè)三角形相似的預(yù)備定理（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.（2）幾何語(yǔ)言：如下圖所示，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC.★2、定理1：利用兩組角判定兩個(gè)三角形相似的定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.幾何語(yǔ)言:∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.★3、定理2：利用兩邊和夾角來(lái)判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．★4、定理3：利用三邊判定兩個(gè)三角形相似的定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似．★4、定理4：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似.●七、相似三角形的性質(zhì)★1、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．★2、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．★3、相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比，即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.★4、相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比．★5、相似三角形面積比等于相似比的平方．●八、圖形的位似變換★1、位似圖形◆1、位似多邊形：兩個(gè)相似多邊形，如果它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于一點(diǎn)，我們就把這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心．◆2、利用位似可以按所給相似比把一個(gè)圖形放大或縮?。?、位似圖形的性質(zhì)（1）兩個(gè)位似圖形一定是相似形；（2）對(duì)應(yīng)圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；（3）對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線）；（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比．★3、畫位似圖形◆1、畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；③根據(jù)相似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；④順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形.★4、平面直角坐標(biāo)系中的位似圖形1.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為位似中心作一個(gè)圖形的位似圖形可以作兩個(gè)．2.當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)同側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為k；當(dāng)位似圖形在原點(diǎn)兩側(cè)時(shí)，其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)的比為－k．3.當(dāng)k＞1時(shí)，圖形擴(kuò)大為原來(lái)的k倍；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，圖形縮小為原來(lái)的1k．題型題型一相似多邊形的識(shí)別【例1】（24-25八年級(jí)下·重慶江北·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，是相似圖形的是（

）A．B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是相似形的定義，相似圖形的形狀必須完全相同；相似圖形的大小不一定相同．根據(jù)形狀相同的圖形稱為相似圖形．結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形形狀相同，相似，符合題意；B、兩個(gè)圖形形狀不相同，不相似，不符合題意；C、兩個(gè)圖形形狀不相同，不相似，不符合題意；D、兩個(gè)圖形形狀不相同，不相似，不符合題意。故選：A．3．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期末）人們出行方式越來(lái)越豐富，以下四組LOGO中，不相似的一組是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似圖形的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似圖形的定義．結(jié)合相似圖形的定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)，兩個(gè)圖形形狀相同，符合相似定義，不符合題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，兩個(gè)圖形形狀相同，符合相似定義，不符合題意，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，兩個(gè)圖形形狀相同，符合相似定義，不符合題意，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，兩個(gè)圖形形狀不同，不符合相似定義，符合題意，D選項(xiàng)正確．故選：D．【變式1-2】（24-25九年級(jí)上·河南周口·期中）觀察下列各組中的兩個(gè)圖形，其中兩個(gè)圖形一定相似的一組是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的是相似圖形，相似圖形的形狀必須完全相同；相似圖形的大小不一定相同．根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)圖形形狀不相同，不相似，不符合題意；B、兩個(gè)圖形形狀不相同，不相似，不符合題意；C、兩個(gè)圖形形狀不相同，不相似，不符合題意；D、兩個(gè)圓形狀相同，是相似圖形，符合題意．故選：D．題型題型二相似多邊形的性質(zhì)【例2】（23-24九年級(jí)下·河北張家口·開學(xué)考試）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD和四邊形EFGH的相似比是（

）

A．1：2 B．1：4 C．【答案】C【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)與判定，利用勾股定理求出兩個(gè)四邊形對(duì)應(yīng)邊的邊長(zhǎng)，可得ADEH【詳解】解：由題意得，AD=22+22=22，CD=42+2∴ADEH∴四邊形ABCD和四邊形EFGH的相似比是2：故選；C．【變式2-1】（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，AB⊥A．125° B．135° C．115° D．120°【答案】B【分析】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角和定理，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出∠A，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于360°【詳解】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A∴∠D∵AB⊥∴∠B∴∠C故選：B．【變式2-2】裝裱一幅寬40cm、長(zhǎng)60cm的矩形畫，要使裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，裝裱上去的部分的上下的寬都為15cm，若裝裱上去的左右部分的寬都為xcm，【答案】10【分析】根據(jù)相似圖形對(duì)應(yīng)邊成比例即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵裝裱完成后的大矩形與原矩形畫相似，∴4060=40+2故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握形似的圖形對(duì)應(yīng)邊成比例．題型題型三利用比例的基本性質(zhì)判斷式子變形【例3】（24-25九年級(jí)上·甘肅天水·期中）若2x=3yA．x2=y3 B．x3=【答案】B【分析】本題考查了比例性質(zhì)，熟練掌握比例式和等積式的互化是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例式和等積式的互化，逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、由x2=yB、由x3=yC、由xy=2D、由x2=3故選：B．【變式3-1】（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）已知ab=cA．a(chǎn)d=cC．a(chǎn)+1a=【答案】D【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練運(yùn)用比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由已知比例式ab【詳解】解：∵ab∴a?A、ad=cb可變?yōu)锽、acbd=cd，兩邊同乘bd得ac=C、a+1a=b+1b，得D、a-bb=c【變式3-2】（24-25八年級(jí)下·山東威海·期末）下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．若a4=c5，則a-C．若ab=25，則【答案】C【分析】本題考查分式的性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，據(jù)此相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容進(jìn)行逐項(xiàng)分析，即可作答．【詳解】解：由a4=c5，設(shè)代入a-44∴等式成立，故A正確，不符合題意；由ba-b=2，兩邊乘整理得3b即ab=3ab=25僅說(shuō)明a與但a=2，b=5并非唯一解（如a=4原結(jié)論錯(cuò)誤，故C錯(cuò)誤，符合題意；∵a=2k，b=3k，∴a-cb-d=2故選：C題型題型四利用比例的基本性質(zhì)求值式子變形【例4】（24-25九年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期中）已知xy=54，則A．1 B．-14 C．±1【答案】D【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)x=5k，則【詳解】解：∵xy∴設(shè)x=5k，則∴x-故選：D．【變式4-1】（24-25九年級(jí)上·河北滄州·期中）已知x-3yy=A．73 B．-73 C．-【答案】D【分析】本題考查比例性質(zhì)，分式求值等．根據(jù)題意可得11y【詳解】解：∵x-∴3∴11y∴xy故選：D．【變式4-2】（24-25八年級(jí)下·河南周口·階段練習(xí)）已知a2=b3=A．45 B．23 C．56【答案】A【分析】本題考查了比例的性質(zhì)及求代數(shù)式的值，根據(jù)條件利用“設(shè)k法”是解題的關(guān)鍵．設(shè)a2=b3=c4【詳解】解：設(shè)a2則a=2k，b=3∴a+2故選：A．題型題型五利用比例的基本性質(zhì)求參式子變形【例5】．已知，a，b，c是任意實(shí)數(shù)，且滿足a+bcA．1 B．2 C．﹣2或+1 D．﹣1或+2【答案】D．【分析】討論：當(dāng)a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，利用分式的性質(zhì)和得到k＝﹣1；當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，利用等比性質(zhì)得到k=a+b【詳解】解：當(dāng)a+b+c＝0，即a+b＝﹣c，所以k=a+當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，所以k=a+綜上所述，k的值為﹣1或2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積、合比性質(zhì)、分比性質(zhì)、合分比性質(zhì)、等比性質(zhì)等）是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024秋?靖西市期中）如果ab=cd=ef=k（b+d+f≠0），且a+c+e＝3（【答案】3．【分析】根據(jù)等比性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：∵a+c+e＝3（b+d+f），∴k=ab故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2024秋?臨平區(qū)月考）已知，線段a，b，c，且a2（1）求a+（2）設(shè)a2=b3=c4=k，線段a，b，c滿足a【答案】（1）53；（2）3【分析】（1）根據(jù)比例的性質(zhì)得出ab=2（2）根據(jù)a2=b3=c4=k，則a＝2k，b＝3k，c＝4k，利用a+【詳解】解：（1）∵a2∴ab∴a+（2）設(shè)a2=則a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b+c＝27，∴2k+3k+4k＝27，∴k＝3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)已知得出a＝2k，b＝3k，c＝4k進(jìn)而得出k的值是解題關(guān)鍵．題型題型六成比例線段【例6】已知四條線段長(zhǎng)分別為2,3,x,6，若這四條線段是成比例線段，則A．1 B．4 C．5 D．9【答案】C【分析】根據(jù)成比例線段的定義得到當(dāng)2:3=x:6時(shí)，或2:6=x:3時(shí)，或【詳解】解：∵長(zhǎng)度分別為2,3,x∴當(dāng)2:3=x:6時(shí)，當(dāng)2:6=x:3時(shí)，當(dāng)3:2=x:6時(shí)，綜上所述，x的值為1或4或9．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a,b,c,【變式6-1】（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下列四組長(zhǎng)度的線段中，是比例線段的是（

）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15【答案】C【分析】本題考查比例線段，掌握如果四條線段a，b，c，d滿足a:b=c:d，則四條線段a，【詳解】解：A．4:5≠6:7，故該選項(xiàng)不符合題意；B．3:4≠6:9，故該選項(xiàng)不符合題意；C．8:4=4:2，故該選項(xiàng)符合題意；D．5:10≠10:15，故該選項(xiàng)不符合題意．故選C．【變式6-2】【答案】10【分析】本題考查線段成比例，比例的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出比例關(guān)系．根據(jù)四條線段成比例，列出比例關(guān)系，借助比例的基本性質(zhì)，代入已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】解：∵a，b，c，d四條線段成比例，∴ab∵a=3cm、b=5∴d故答案為：103題型題型七比例中項(xiàng)的應(yīng)用【例7】（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）已知線段a=1,b=9，線段c是線段aA．1 B．3 C．5 D．9【答案】B【分析】本題考查了比例中項(xiàng)，成比例線段，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到ac=cb，得出【詳解】解：∵線段a=1,b=9，線段c∴a∴c∴c∴c∵c∴c∴c故選：B．【變式7-1】（23-24九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）已知線段a=9，b=1，如果線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，那么c【答案】3【分析】本題考查了比例線段，正確理解比例中項(xiàng)的概念，注意線段不能是負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出比例中項(xiàng)．【詳解】解∶根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得∶比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．則c2解得c=±3(線段是正數(shù)，負(fù)值舍去)所以c=3故答案為：3．【變式7-2】（2025·浙江·一模）已知線段a,b滿足ba(1)求線段a,(2)若線段c是線段a,b的比例中項(xiàng)，求線段【答案】(1)線段a的長(zhǎng)為12，線段b的長(zhǎng)為3(2)線段c的長(zhǎng)為6【分析】本題考查了成比例線段，熟練掌握成比例線段是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)a=4k，b=k，代入（2）根據(jù)比例中項(xiàng)可得c2【詳解】（1）解：∵ba∴設(shè)a=4k，∵a-∴4k∴k∴a=12，∴線段a的長(zhǎng)為12，線段b的長(zhǎng)為3．（2）解：∵線段c是線段a、b的比例中項(xiàng)，a=12，b∴c∵由題意知，c>0∴c∴線段c的長(zhǎng)為6．題型題型八黃金分割的應(yīng)用【例8】7．（24-25九年級(jí)下·寧夏銀川·階段練習(xí)）大自然鬼斧神工，一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美．如圖，P為線段AB的黃金分割點(diǎn)AP>PB.如果AB的長(zhǎng)度為10cm，那么A．(55-5)C．(10-55)cm【答案】A【分析】本題考查了黃金分割．根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算得：∴AP=故選：A．【變式8-1】（24-25九年級(jí)上·湖南婁底·期末）如圖，正五角星圖案中，若點(diǎn)N是線段BE的黃金分割點(diǎn)，且BE=2，則BN的長(zhǎng)為（

A．5-12 B．5+12 C【答案】C【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義得到BNBE=5【詳解】解：∵點(diǎn)N是線段BE的黃金分割點(diǎn)，且BE=2∴BNBE=∴BN=故選：C．【變式8-2】（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）“黃金比例分割法”是啟功先生研究的一套楷書結(jié)構(gòu)法，是將正方形按照黃金分割的比例來(lái)分割，形成“黃金格”（如圖，四條與邊平行的線的交點(diǎn)都是黃金分割點(diǎn)），漢字的筆畫至少要穿過(guò)兩個(gè)黃金分割點(diǎn)才美觀．若正方形“黃金格”的邊長(zhǎng)為10cm，四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長(zhǎng)為【答案】10【分析】本題考查黃金分割點(diǎn)．掌握黃金分割點(diǎn)是指把一條線段分割為兩部分，使其中較長(zhǎng)部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，且其比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，表示為5-【詳解】解：如圖，C，D是線段AB的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，∵正方形“黃金格”的邊長(zhǎng)為AB=10∴AC=∴CD=∴CD=10∴四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長(zhǎng)為105故答案為：10題型題型九對(duì)平行線分線段成比例的判段【例9】（24-25九年級(jí)上·河南鶴壁·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥ABA．ADDB=AEAC B．FCDE=【答案】B【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵DE∥∴ADDB故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；∵EF∥AB，∴FCBF=EC∴DE=BF，∴FCDE故選項(xiàng)B正確，符合題意；∵EF∥∴ECAC故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵DE∴ADAB故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．【變式9-1】（24-25九年級(jí)上·海南省直轄縣級(jí)單位·期末）如圖，已知l1∥l2∥l3，直線l1,l2,l3分別交直線l4于點(diǎn)AA．ACDF=BCEF B．ABBE=【答案】A【分析】本題是一道關(guān)于平行線分線段成比例的題目，掌握平行線分線段成比例的相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．∵l1∴ACDF=BCB．根據(jù)l1∥l2∥C．根據(jù)l1∥l2∥D．∵l1∴ABBC∴ABDE=BC故選：A．【變式9-2】（24-25九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D、E、F分別在△ABC的邊AB、AC、BC上，連接DE、EF、AF，AF交DE于點(diǎn)G，四邊形BFEDA．ADBD=DECF B．AEAC=【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，由平行四邊形的性質(zhì)可得DE=BF，EF∥【詳解】解：∵四邊形BFED為平行四邊形，∴DE=BF，EF∥∴ADBD=AG因?yàn)镃F≠BC，故AEAC=DEDGEG=BFFC=DEFC故選：A．題型題型十平行線分線段成比例的應(yīng)用【例10】（24-25九年級(jí)上·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，EF∥AD交CD于點(diǎn)F，若AE:BE=1:2A．3 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答．本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥∴AEEB=DF解得FC=6故選：C．【變式10-1】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是AC邊上的中線，過(guò)點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G.若AB=10A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：由勾股定理得，BD=∵E是AC邊上的中點(diǎn)，EG∴F、G分別是AB、AD∴FG故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【變式10-2】（24-25九年級(jí)上·陜西渭南·期中）如圖，點(diǎn)E，G在△ABC的邊AB，AC上，連接EG，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，連接AD，CD，點(diǎn)F在AD上，連接GF，EG∥BC，GF∥DC，AE=3【答案】10【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，首先根據(jù)EG∥BC，GF∥DC，可得：AEEB=AG【詳解】解：∵EG∥BC∴AEEB=∵AE=3，EB=2∴6∴FD∴AD題型題型十一相似三角形的判定---預(yù)備定理【例11】（2024秋?虹口區(qū)月考）如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，AQ平分∠BAC，交DE于點(diǎn)P，如果DE＝6，BC＝8，AQ＝12，那么AP的長(zhǎng)是．【答案】9．【分析】根據(jù)DE∥BC得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性質(zhì)得出AEAC=34，再由△APE∽△AQC得出【詳解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC又∵PE∥QC，∴△APE∽△AQC，∴APAQ∴AP=故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式11-1】（2024秋?項(xiàng)城市期中）如圖，AB與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，且AC∥EF∥DB，若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，則BDAC的值為【答案】23【分析】設(shè)CF＝x，則BFCF=BEAE，求出CF，再由【詳解】解：設(shè)CF＝x，∵EF∥AC，∴BFCF∴3x解得x=∴CF=∵AC∥DB，∴△BED∽△AEC，∴BDAC故答案為：23【變式11-2】（2024秋?鶴壁期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的四等分點(diǎn)，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四邊形DECF的周長(zhǎng)．【分析】根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形DFCE是平行四邊形，證△ADF∽△ABC，得出DFBC=AFAC=【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四邊形DFCE是平行四邊形，∴DE＝FC，DF＝EC∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴DFBC∵AC＝8，BC＝12，∴AF＝2，DF＝3∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6，∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3∴四邊形DECF的周長(zhǎng)是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18．答：四邊形DECF的周長(zhǎng)是18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行四邊形的性質(zhì)和判定和相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是求出DE＝CF，DF＝CE，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．題型題型十二添加條件使得三角形相似【例12】（24-25九年級(jí)下·河南開封·階段練習(xí)）如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列的一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADEA．∠C=∠EC．ABAD=BC【答案】C【分析】本題考查的是相似三角形的判定及三角形外角的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．先根據(jù)∠1=∠2得出∠BAC【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC∴∠BACA、∵∠C=∠E∴△ABCB、∵∠1+∠B=∠ADE∴∠B∵∠BAC∴△ABCC、∵ABAD=BCDE，∴無(wú)法判定△ABCD、∵ABAD=AC∴△ABC故選：C．【變式12-1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：，使△【答案】∠ADC【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理．利用相似三角形的判定定理進(jìn)行添加條件即可．【詳解】解：∵∠A∴△ADC故答案為：∠ADC【變式12-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ADE與△ABC有公共頂點(diǎn)A，∠BAD=∠CAE【答案】∠ADE=∠ABC【分析】此題主要考查了相似三角形的判定，熟練應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似進(jìn)而得出即可；【詳解】解：使△ADE∽△ABC，則需添加的條件可以是：∠理由：①添加的條件可以是：∠ADE∵∠BAD∴∠BAD即∠DAE又∵∠ADE∴△ADE②添加的條件可以是：∠AED∵∠BAD∴∠BAD即∠DAE又∵∠AED∴△ADE故答案為：∠ADE=∠ABC題型題型十三相似三角形的判定的證明【例13】（24-25九年級(jí)下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△【答案】見解析【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．結(jié)合題意，可得∠CAB=45°，從而可得出∠CAP+∠PAB=45°，又【詳解】證明：∵∠ACB=90°，∴∠CAB即∠CAP∵∠APC∴∠CAP∴∠ACP∵∠APB∴△CPA【變式13-1】（2025·廣東廣州·三模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，且AE⊥EF．求證：【答案】證明見解析．【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，同角的余角相等，垂直的定義，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠B=∠C【詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B∵AE⊥∴∠AEF∴∠AEB+∠CEF∴∠AEB∵∠B∴△ABE【變式13-2】（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，連接EF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥EF于點(diǎn)G，F(xiàn)H∥CD交AD于點(diǎn)【答案】詳見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定．利用平行線的性質(zhì)求得∠HEF=∠BFG【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF∵FH∥∴∠AHF∵BG⊥∴∠BGF∵∠HEF∴△BGF題型題型十四網(wǎng)格中的相似三角形【例14】（24-25九年級(jí)上·江蘇南通·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，畫一個(gè)三角形與給定的三角形相似，下列四種畫法中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．先求出題干三角形的三邊長(zhǎng)，再分別求出各選項(xiàng)三角形的三邊長(zhǎng)，判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例來(lái)判斷相似．【詳解】解：可求題干三角形中三邊長(zhǎng)（從小到大）為：12A、可求三角形三邊長(zhǎng)（從小到大）為：12B、可求三角形三邊長(zhǎng)（從小到大）為：2,22+C、同理可求三角形三邊長(zhǎng)（從小到大）為：5,D、同理可求三角形三邊長(zhǎng)（從小到大）為：5,3,2故選：B．【變式14-1】（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列A、B、C、D四個(gè)圖中的三角形陰影部分與△EFG相似的是（

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定、勾股定理．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．先計(jì)算出△EFG【詳解】解：借助網(wǎng)格，可知EG=2，F(xiàn)GA、三邊從小到大依次為：2，5，3，2:2:10≠B、三邊從小到大依次是：1，2，5，2:2:10=1:C、三邊從小到大依次是：1，5，22，2:2:10D、三邊從小到大依次是：2，5，13，2:2:10≠2:故選：B．【變式14-2】（24-25九年級(jí)下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙上，有△ABC與△DEF．求證：【答案】見解析【分析】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定，先計(jì)算出三角形的各個(gè)邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似證明即可．【詳解】證明：由圖知：BC=1，AC=1DE=12+1∵BCDE∴△ABC題型題型十五相似三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用【例15】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），連結(jié)AB并延長(zhǎng)到C，連結(jié)CO，若△COB∽△CAO，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A．（1，52） B．（43，83） C．（5，25） D．（3，【答案】B【詳解】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的關(guān)系A(chǔ)C=4CB，從而得到CBAB=13，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，然后求出△AOB和△CDB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD=43、BD=23，再求出OD=83故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出CBAB【變式15-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B、C在y軸上，△ABC是等邊三角形，AB=4，AC與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（1，23） B．（2，23） C．（23，1） D．（23，2）【答案】C【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥OB于E，如圖：∵點(diǎn)B、C在y軸上，△ABC是等邊三角形，AB=4，AC與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3，0），∴AE=23，∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴ODAE可得：32解得：OC=1，OE=EC﹣OC=2﹣1=1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（23，1），故選C．【變式15-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A10,0，OB=25，∠B=90°，則點(diǎn)【答案】2,4【分析】過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，由題意易得OA=10，然后由勾股定理可得AB=45，進(jìn)而可得△BOC∽△AOB，設(shè)OC=x，則有【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥OA于點(diǎn)C，如圖所示：∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA，∴△BOC∽△AOB，∵點(diǎn)A10,0∴OA=10，∵OB=2∴AB=∴AB=2OB，∴BC=2OC，∴在Rt△BOC中，OB2=∴OC=2∴BC=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,4；故答案為2,4．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型題型十六由相似三角形的性質(zhì)求角度【例16】（24-25八年級(jí)下·山東淄博·期末）如圖，△ABC∽△A'B'C'A．65° B．66° C．67° D．68°【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．利用相似三角形的性質(zhì)直接寫出答案即可．【詳解】解：△ABC∽∴∠B故選：B．【變式16-1】（2024秋?新化縣期末）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．30° B．56° C．86° D．94°C．【解答】解：∵△AOD∽△COB，∴∠A＝∠C，∵∠A＝56°，∴∠C＝56°，∵∠AOC＝∠B+∠C，∠B＝30°，∴∠AOC＝30°+56°＝86°．故選：C．【變式16-2】（24-25九年級(jí)下·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△ACP，若∠A=60°，∠【答案】45°/45度【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理得到∠ACP=45°，由相似三角形的性質(zhì)即可得到【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠ACP∵△ABC∴∠B故答案為：45°．題型題型十七由相似三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例17】（24-25九年級(jí)下·陜西安康·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC邊上一點(diǎn)，AB=10,AC=8A．3 B．4 C．94 D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，先根據(jù)勾股定理求出BC=6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出BC【詳解】解∶∵∠C=90°，∴BC=∵△ABC∴BCCD=AC∴CD=故選∶D．【變式17-1】（24-25九年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，已知△ABC∽△EBD，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，點(diǎn)D在邊BC上．若AB=3，BC=6，BEA．3 B．3.5 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，由△ABC∽△EBD【詳解】解：∵△ABC∴ABEB∵AB=3，BC=6，∴32∴BD=4故選：C．【變式17-2】（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，△ABC∽△ADE，S△ABCA．2 B．22 C．32 D【答案】A【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵△ABC∽△ADE∴S△∴BCDE∴BCDE∵CB=∴DE=2故選：A．題型題型十八由相似三角形的性質(zhì)求周長(zhǎng)【例18】（23-24九年級(jí)上·廣東梅州·期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為5，6，7，另有一個(gè)與它相似的△DEF，其最短邊為15，則A．45 B．48 C．51 D．54【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：周長(zhǎng)的比等于相似比，掌握此性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：∵△ABC和△∴C△∴5+6+7C∴C△故選：D．【變式18-1】（2025·云南西雙版納·二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，∠BAD=∠BCA若AB=5，BC=8，△ABDA．20 B．25.5 C．30 D．35.5【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵；先證得△BAD【詳解】解：∵∠BAD=∠BCA∴△BAD∴C△∵AB=5，BC=8，△ABD∴12.5C解得：C△故選：A．【變式18-2】（24-25九年級(jí)下·安徽六安·開學(xué)考試）將一副三角板按圖疊放，則△AOB與△A．1:2 B．1:2 C．1:3 D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相似三角形的性質(zhì)和特殊直角三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系，確定相似比，進(jìn)而求出周長(zhǎng)比．先證明△AOB與△【詳解】設(shè)BC=∵△ABC是等腰直角三角形，且∠∴AB在Rt△BCD中，∴CD∴AB∵∠ABC即AB⊥∴AB∴△AOB∴△AOB與△COD的周長(zhǎng)比為：故選：D．題型題型十九由相似三角形的性質(zhì)求面積【例19】（24-25九年級(jí)下·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊上的中點(diǎn)，若△ABC的面積為12，則△DEFA．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理，根據(jù)三角形中位線定理得到DE=12【詳解】解：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC∴DE、EF、∴DE=∴DEAC∴△DEF∴S△∵△ABC的面積為12∴△DEF的面積為3故選：A．【變式19-1】（24-25九年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的兩條中線CD和BE的交點(diǎn)，連接DE，則S△DOEA．12 B．13 C．14【答案】C【分析】本題考查中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先得出DE為△ABC的中位線，推出DE∥BC，DE【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC∴DE∥BC，∴△ODE∴S△故選：C．【變式19-2】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC,BC邊上的點(diǎn)，且DE∥AB，CDAD=2:1，△【答案】10【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．根據(jù)條件證明△ABC∽△DEC【詳解】解：∵DE∥∴∠A∴△ABC∵CD∴相似比為CDAC∴∴S∴四邊形ABED的面積為S△故答案為：10．題型題型二十相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合【例20】（24-25九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知∠BAC=∠DAE

(1)求證：△ABD(2)若ABAC=32，【答案】(1)見詳解(2)12【分析】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)；（1）可得∠BAD（2）由相似三角形的性質(zhì)得S△掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵∠BAC∴∠BAD∴∠BAD∵∠ABD∴△ABD（2）解：∵△ABD∴S△∴27S解得：S△【變式20-1】（2024?青海模擬）如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且ABAC=ADCE，∠（1）求證：∠DAC＝∠B；（2）若AD是△ABC的中線，AC＝4，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）由已知條件可證得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠B；（2）由（1）得∠DAC＝∠B，結(jié)合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，從而得AC2＝BC?CD，再結(jié)合AD是△ABC的中線，從而可求解．【詳解】（1）證明：∵ABAC=ADCE，∠∴△ABD∽△CAE，∴∠DAC＝∠B；（2）解：由（1）得∠DAC＝∠B，∵∠BCA＝∠ACD，∴△ABC∽△DAC，∴BCAC=ACDC，即AC2＝∵AD是△ABC的中線，∴BC＝2DC，∵AC＝4，∴42＝2DC?DC，解得：DC=22【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是證得△ABC∽△DAC．【變式20-2】（2024秋?靜安區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在AC邊上，∠EDF＝∠B．求證：（1）△BDE～△CFD；（2）DF2＝EF?CF．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠ACB，由外角的性質(zhì)可得∠DEB＝∠CDF，即可得結(jié)論；（2）由相似三角形的性質(zhì)可得CFDF=CDDE，可證△CDF∽△【詳解】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠EDF＝∠B，∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，∴∠DEB＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD；（2）∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，由（1）可知：△BDE∽△CFD，∴CFBD∴CFDF又∵∠EDF＝∠B＝∠ACB，∴△CDF∽△DEF，∴CFDF∴DF2＝EF?CF．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．題型題型二十一相似三角形與動(dòng)點(diǎn)問題【例21】（24-25九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期末）在△ABC中，AB=9，BC=7，點(diǎn)D在邊AB上，且BD=2，點(diǎn)E在BC上，當(dāng)BE=時(shí)，以B，D【答案】149或【分析】本題考查了相似三角形的判定定理，能熟記相似三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定得出要使B，D，E三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，必須滿足BDAB=【詳解】解：如圖，∵∠B=∠∴要使B，D，E為三點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則需滿足BDAB=∵AB=9，BC=7，∴29=BE解得：BE=149故答案為149或18【變式21-1】如圖，AB⊥DB于點(diǎn)B，CD⊥DB于點(diǎn)D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，點(diǎn)P在DB上移動(dòng)．若以點(diǎn)C，D，P為頂點(diǎn)的三角形與點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形相似，則DP＝．【答案】2或12或5.6．【分析】分別從若△PCD∽△APB與若△PCD∽△PAB去分析求解，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．【詳解】解：∵①若△PCD∽△APB，則CDPB=DPAB，即414-DP=②若△PCD∽△PAB，則CDAB=DPPB，即46∴DP＝2或12或5.6．故答案為：2或12或5.6．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．注意分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．【變式21-2】（2024秋?安陽(yáng)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝8cm，現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)P的速度是2cm/s，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P，Q就停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求：（1）用含t的代數(shù)式表示CP＝，CQ＝；（2）當(dāng)t為多少時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于61（3）當(dāng)t為多少時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？【分析】（1）利用距離＝速度×?xí)r間分別求得線段CP，CQ的長(zhǎng)度即可得到結(jié)論；（2）在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解；（3）分兩種情況：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可求解．【詳解】解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度是2cm/s，∴CP＝2tcm，∵動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，∴BQ＝tcm，∴CQ＝（8﹣t）cm．故答案為：2t；8﹣t；（2）在Rt△PCQ中，根據(jù)勾股定理得，CP2+CQ2＝PQ2，∴(2t解得：t＝0.2或t＝3，∴當(dāng)t為0.2或3秒時(shí)，PQ的長(zhǎng)度等于61；（3）∵以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，①當(dāng)△CPQ∽△CAB時(shí)，CPAC∴2t∴t=②當(dāng)△CPQ∽△CBA時(shí)，CPBC∴2t∴t＝2，即當(dāng)t為2或247時(shí)，以點(diǎn)C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的綜合運(yùn)用，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論的思想解答是解題的關(guān)鍵．題型題型二十二相似三角形的實(shí)際應(yīng)用問題【例22】（24-25九年級(jí)下·廣東梅州·階段練習(xí)）小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度，如圖所示，點(diǎn)P處水平放置一平面鏡（平面鏡的厚度忽略不計(jì)），光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB=2米，BPA．9米 B．12米 C．15米 D．21.6米【答案】C【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問題．根據(jù)題意得出△ABP【詳解】解：根據(jù)題意，∠APB=∠CPD∴△ABP∴∵AB=2米，BP=2.4∴CD∴該古城墻的高度是15米．故選C．【變式22-1】（2025八年級(jí)下·山東·專題練習(xí)）小李在學(xué)習(xí)了相似三角形的知識(shí)后，用標(biāo)桿來(lái)測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖所示，已知標(biāo)桿高度AB=4m，人與標(biāo)桿的水平距離BC=2m，人的眼睛距離地面的高度CD=1.6m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離A．12m B．12.8m C．13.6m【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，由題意可知CD=BG=EH=1.6m，DG=BC=2m，GH=BE=8【詳解】解：如圖，由題意可知CD=BG=EH=1.6m，∴AG=AB-BG=2.4∴△DAG∴AGFH=DG∴FH=12∴EF=故選：C．【變式22-2】（24-25九年級(jí)下·甘肅臨夏·階段練習(xí)）某校九年級(jí)一班的興趣小組準(zhǔn)備測(cè)量西安古城墻的高度MN，制定了如下的測(cè)量方案：如圖，首先，王磊站在點(diǎn)B，當(dāng)在正前方1.5米（即BC=1.5米）的點(diǎn)C放置一平面鏡時(shí)，通過(guò)平面鏡王磊剛好可以看到城墻的最高點(diǎn)M，此時(shí)測(cè)得王磊的眼睛到地面的距離AB為1.5米；然后，在陽(yáng)光下某一時(shí)刻，李華再在點(diǎn)D處豎立一根高2米的標(biāo)桿DE，城墻的影子頂端與標(biāo)桿DE的影子頂端恰好重合于點(diǎn)F，此時(shí)測(cè)得DF=4米，BD=6.5米，已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，MN⊥NF，AB⊥NF，ED⊥NF，點(diǎn)N、C【答案】西安古城墻的高度MN為12米【分析】本題主要考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵；設(shè)MN=x米，證明△MCN∽△ACB，推出NC【詳解】設(shè)MN=x米，由題知BC=1.5米，BD=6.5米，DF=4∵M(jìn)N⊥NF，AB∴∠MNF∵∠MCN=∠ACB∴△MCN∴MNAB=∴NC∵∠MFN=∠EFD∴△FNM∴MN又NF=∴x解得x=12答：西安古城墻的高度MN為12米．題型題型二十三位似的相關(guān)概念【例23】（24-25九年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）方框中的兩個(gè)圖形不是位似圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了位似變換，位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個(gè)圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相較于一點(diǎn)．【詳解】解：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相較于一點(diǎn)的兩個(gè)相似多邊形叫位似圖形．據(jù)此可得A、B、C三個(gè)圖形中的兩個(gè)圖形都是位似圖形；而D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線不能相較于一點(diǎn)，故不是位似圖形，故選：D．【變式23-1】（23-24八年級(jí)下·山東泰安·期末）下圖所示的四種畫法中，能使得△ABC與△DEF是位似圖形的有（A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④【答案】A【分析】本題考查位似圖形，根據(jù)“兩個(gè)相似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，而且對(duì)應(yīng)邊互相平行或位于同一條直線上，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，”進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圖①對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)邊DE∥BC，對(duì)應(yīng)邊AD與AB在同一條直線上，F(xiàn)E與圖②，對(duì)應(yīng)邊AB∥DE，AC∥DF，對(duì)應(yīng)邊EF和BC在同一條直線上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)（圖③，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于點(diǎn)O，對(duì)應(yīng)邊AB∥DE，AC∥圖④，對(duì)應(yīng)點(diǎn)法連線交于點(diǎn)O，對(duì)應(yīng)邊AB∥DE，AC∥故選：A．【變式23-2】（2025·河北·模擬預(yù)測(cè)）將△ABC的各邊按如圖所示的方式向外等距離擴(kuò)1cm，得到Ⅰ：△ABC與△PNMⅡ：△ABC與△下列判斷正確的是（

）A．Ⅰ正確，不正確 B．Ⅰ不正確，Ⅱ正確C．1，Ⅱ都正確 D．Ⅰ，Ⅱ都不正確【答案】C【分析】本題考查位似變換、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定、位似三角形的判定分別判斷即可．【詳解】解：分別延長(zhǎng)PA,MC,由題意得，AB∥∴∠∴△ABC故結(jié)論Ⅰ正確，符合題意；AB∥∴∠OAC∴△AOC∴OAOP=∴OA∴△ABC與△故結(jié)論Ⅱ正確，符合題意．故選：C．題型題型二十四位似中心的確定【例24】（2025·河北邯鄲·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC與△A'A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)P【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)位似中心是位似點(diǎn)連線的交點(diǎn)，可知點(diǎn)P為位似中心．故選：D．A．P1 B．P2 C．P3【答案】B【分析】本題考查了位似中心，連接AC、【詳解】解：如圖，連接AC、BD并延長(zhǎng)，可知交點(diǎn)為∴位似中心是P2故選：B．【變式24-2】（2025·浙江·二模）已知△ABC和△A'B'C'是位似圖形，它們對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,2，B3,4，CA．2,1 B．1,2 C．0,0 D．3,4【答案】C【分析】本題主要考查位似圖形的計(jì)算，掌握位似圖形的計(jì)算，一次函數(shù)解析式的計(jì)算是關(guān)鍵．由對(duì)應(yīng)點(diǎn)及位似中心三點(diǎn)共線，可選擇兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線解析式，聯(lián)立兩直線解析式求得的公共點(diǎn)即位似中心．【詳解】解：∵對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1,2，B3,4，C5,0和A'2,4∴設(shè)直線AA'，BB∴k1+b解得，k1∴直線AA'，BB聯(lián)立解析式，得到公共點(diǎn)0,0，∴位似中心是0,0，故選：C．題型題型二十五位似的性質(zhì)的運(yùn)用【例25】（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為1:3，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（A．AB:DE=1:3 B．若C．OAOD=OC【答案】D【分析】本題考查了位似變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．由位似圖形的概念得出△ABC∽△DEF，AB∥DE，BC∥EF【詳解】解：∵△ABC與△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，BC∴△OAB∽△ODE∴OAOD=OB∴OAOD=OCOAOD=BC若AD=4，則OA∴OD=6，故B故選：D．【變式25-1】（2025·浙江溫州·三模）如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于點(diǎn)O位似，且OBOF=12．若四邊形ABCD的面積為A．34 B．6 C．12 D．【答案】C【分析】本題考查位似變換，位似圖形的性質(zhì)，由題意得四邊形ABCD與四邊形EFGH的相似比為12，可得四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比為1【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH關(guān)于點(diǎn)O位似，OBOF∴四邊形ABCD與四邊形EFGH的相似比12∴四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比為14∵四邊形ABCD的面積為3，∴四邊形EFGH的面積為12故選：C．【變式25-2】（23-24九年級(jí)下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是位似圖形，位似比為23，且四邊形A．16 B．24 C．54 D．81【答案】C【分析】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)比等于相似比．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得四邊形ABCD和四邊形A'B'【詳解】解：∵四邊形ABCD和四邊形A'B'∴四邊形ABCD和四邊形A'B'∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)為36，∴四邊形A'B'故選：C題型題型二十六求位似圖形的坐標(biāo)【例26】（24-25九年級(jí)下·廣東中山·開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB與△OCD是以O(shè)為位似中心的位似圖形，若A-3,2，B-A．4,-6 B．6,-4 C．6,-5 D．-【答案】B【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)位似變換的性質(zhì)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k【詳解】解：∵B-2,0，∴OB=2，OD∵△OAB與△OCD是以∴△OCD與△OAB的相似比∴位似△OCD和△OAB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于∵A-∴對(duì)應(yīng)點(diǎn)C-3×-故選：B．【變式26-1】（24-25九年級(jí)上·山東聊城·階段練習(xí)）已知△ABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，以O(shè)為位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'BA．-8,-4 B．-8,4 C．8,-4 D．-【答案】D【分析】本題主要考查位似變換和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．根據(jù)點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置得到點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合以原點(diǎn)為位似中心的位似變換放大2倍，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于2或-2【詳解】解：根據(jù)題意可得，A-∵以O(shè)為位似中心，把△ABC放大2倍得到△∴則A'的坐標(biāo)為-4×2,2×2或-4×-2故選：D．【變式26-2】（24-25九年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知B(2,1),△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，且ABDE=A．(9,4) B．(9,3) C．(6,2) D．(6,3)【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，根據(jù)題意確定位似圖形的相似比是解題的關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的概念易得△ABC與△DEF的相似比為【詳解】解：根據(jù)題意，△ABC與△DEF位似，原點(diǎn)O是位似中心，且即△ABC與△DEF的相似比為又∵B2,1∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為(2×3,1×3)，即E點(diǎn)的坐標(biāo)為6,3．故選：D．題型題型二十七平面坐標(biāo)系中的位似變換【例27】（24-25九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(1)畫出將△OAB向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后得到的△(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在y軸的右側(cè)畫出△OAB的一個(gè)位似△OA2B(3)判斷△O1A1B【答案】(1)見解析(2)見解析(3)是，-【分析】本題考查了平移作圖，位似作圖，求位似中心．（1）先畫出平移后各點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再依次連接即可；（2）先畫出位似的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再依次連接即可；（3）連接A1A2,B【詳解】（1）解：如圖所示，△O（2）解：如圖所示：△O（3）解：由圖可知，△O1A1B1和【變式27-1】（24-25九年級(jí)上·安徽宿州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)均在網(wǎng)格格點(diǎn)上，且點(diǎn)A2,8，B4,4(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限畫出△A1B1C1，使得(2)在（1）的條件下，△A1B1C(3)若點(diǎn)Ma,b為△ABC上一點(diǎn)，寫出點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【答案】(1)見解析(2)1:4(3)1【分析】本題考查了作圖-位似變換，位似圖形的性質(zhì)，位似圖形的坐標(biāo)變換，畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心；分別連接并延長(zhǎng)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)位似比，確定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連接上述各點(diǎn)，得到放大或縮小的圖形．（1）依據(jù)位似中心的位置以及位似比的大小，即可得到△A（2）根據(jù)位似圖形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方，求解即可；（3）依據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系：橫坐標(biāo)比等于縱坐標(biāo)比等于相似比，即可得到點(diǎn)M在△A1B【詳解】（1）解：如圖所示，△A（2）解：∵△A1B1C∴△A1B∴S△即△A1B1C故答案為：1:4．（3）解：∵△A1B1C∴點(diǎn)Ma,b為△ABC上一點(diǎn)，寫出點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)故答案為：12【變式27-2】（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，△OBC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為B-3,6(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限畫出△OB'C'，使△OBC與△OB'C'(2)寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)B'（_______，(3)△OB'C'【答案】(1)見解析(2)1,-2(3)1【分析】本題考查了作圖-位似變換，相似三角形的性質(zhì)，正確作圖是解題的關(guān)鍵．（1）利用關(guān)于原點(diǎn)為位似中心的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將點(diǎn)B、C的橫縱坐標(biāo)都乘以-13，得到點(diǎn)（2）根據(jù)（1）中點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可寫出坐標(biāo)；（3）利用相似三角形面積比等于相似比的平方求解．【詳解】（1）解：如圖，△O（2）解：∵B-3,6，且△OBC與∴B'故答案為：1,-2；（3）解：由題意得，△OBC∴S△故答案為：19題型題型二十八相似三角形的綜合題【例28】（2025·山東泰安·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB，交AB于點(diǎn)D，DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，作∠BCF交DE于點(diǎn)(1)求∠AFC(2)探究線段CD，(3)若DG=2GE，求【答案】(1)∠(2)CD(3)3【分析】（1）設(shè)∠BCF=x，則∠（2）證明△CDG（3）過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于H，設(shè)GE=x，則DG=2x，DE=3x，由△CDE是等腰直角三角形可得CE=DE=3x，CD=32x，即得CG=CE2+EG2=【詳解】（1）解：設(shè)∠BCF=x∵DE⊥BC∴∠CED∴∠CGE=∠∴∠=180-90°-=45°；（2）解：CD∵∠ACB=90°，CD平分∴∠ACD=∠∴∠BCF+∠∵∠AFC=∠∴∠DCF∵DE⊥BC，∠∴∠CDE=45°∴∠CDE=∠∴△CDG∽△∴CDCF即CD（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于∵DG=2∴設(shè)GE=x，則DG=2x∵DE⊥BC，∴△CDE∴CE=∴CD=2DE=3∵CD∴18x∴CF=∵DE⊥BC，∴FH∥∴△GEC∴GEFH即xFH∴FH=95∴EH=∵FH∥∴△BFH∴BHBE即BE-∴BE=6∴BC=CH+∴BCBD【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式28-1】（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）在△ABC中，動(dòng)點(diǎn)M在邊AC上從點(diǎn)A向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N在邊CB上從點(diǎn)C向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接AN，BM【特例初探】（1）如圖1，若△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M和點(diǎn)N以同樣的速度運(yùn)動(dòng)，則在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠APB的度數(shù)始終為【類比探究】（2）如圖2，若△ABC為等腰直角三角形，斜邊為AC，點(diǎn)M的速度為1，點(diǎn)N的速度為2，則在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠【總結(jié)提升】（3）如圖3，若△ABC為等腰三角形，底邊為AC，且ACAB=n，∠C=α，點(diǎn)M的速度為v，點(diǎn)N的速度為nv，則在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)直接寫出用含有n【答案】（1）∠APB=120°；（2）不變，∠APM=135°【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得AB=AC，∠ABC=∠C=60°，結(jié)合AM（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠C=45°，AB=BC，求得AC=2AB，得到AC（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠C=α，由于點(diǎn)M的速度為v，點(diǎn)N的速度為nv，得到CN【詳解】解：（1）∵△ABC∴AB=∵AM=∴△ABM∴∠ABM∴∠APB（2）∵在等腰直角三角形ABC中，∠ABC∴∠BAC∴AC∴ACAB=∴AC∴△ABM∴∠ABM∴∠BAP∴∠APB（3）∵AB∴∠BAC∵點(diǎn)M的速度為v，點(diǎn)N的速度為nv，∴∵AC∴∴△ABM∴∠CAN∴∠APB【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式28-2】（24-25九年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖1，在正方形ABCD中，AB=5，在AD上取一點(diǎn)E，使得AE=3,以AE為邊作正方形AEFG，連接問題發(fā)現(xiàn)：（1）BECF的值是；直線BE，CF所夾銳角的度數(shù)是拓展探究：（2）如圖2，正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)結(jié)合圖2證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；解決問題：（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E到直線AB的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．【答案】（1）22，45°

（2）結(jié)論成立，理由見解析

（3）CF=2【分析】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)證明△AEB∽△AFC,可得（2）通過(guò)證明△AEB∽△AFC,可得（3）分點(diǎn)E在直線AD的左側(cè)和點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)兩種情況，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，由勾股定理可求【詳解】（1）如圖①，連接AF，連接AC交BE于O，延長(zhǎng)BE交FC于H，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AC∴∠FAC∴△AEB∴BE又∵∠AOB∴∠BAC故答案為：22，45°（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖②，連接AF，連接AC交BE于O，延長(zhǎng)BE交FC于H，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形，∴AC∴∠FAC∴△AEB∴BE又∵∠AOB∴∠BAC（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于H，則∵HE=∴AH∴BH∴BE∵BE∴CF如圖④，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則∵AE=∴AH∴BH∴BE∵BE∴CF綜上所述：CF=219或基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)基礎(chǔ)鞏固通關(guān)測(cè)1．（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）下列長(zhǎng)度的四組線段中，成比例的一組是（

）A．2cm，2.5cm，3cm，3.5cm B．3cm，C．2cm，4cm，8cm，18cm D．2cmcm，3【答案】D【分析】此題考查了比例線段，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)成比例線段的定義，若四條線段滿足最大與最小的乘積等于中間兩段的乘積，則它們成比例，逐項(xiàng)判定即可．【詳解】解：A．2×3.5=7，2.5×3=7.5，因?yàn)?≠7.5，所以這四條線段不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；B．3×43=4×3=12，3×3=9C．2×18=36，4×8=32，因?yàn)?6≠32，所以這四條線段成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；D．2×6=12=2故選：D．2．（24-25九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）若一張地圖的比例尺是1:150000，在地圖上量得甲、乙兩地的距離是5cm，則甲、乙兩地的實(shí)際距離是（

）A．3000m B．3500m C．5000m【答案】D【分析】本題考查了比例尺，用到的知識(shí)點(diǎn)是比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)性質(zhì)列出方程，注意單位的換算．設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離是xcm，根據(jù)題意得1:150000=5:x，求出x的值，再把單位換算為【詳解】解：設(shè)甲、乙兩地的實(shí)際距離是xcm1:150000=5:x，解得x750000cm故選：D．3．（24-25九年級(jí)上·湖南永州·期末）已知a2=b3=A．45 B．54 C．2 D【答案】B【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)比值為k是解題關(guān)鍵．設(shè)a2=b3=c4【詳解】解：設(shè)a2=∴a∴故選：B．4．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=6，AC=9A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、陰影部分三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，本選項(xiàng)不符合題意；B、陰影部分三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，本選項(xiàng)不符合題意；C、6-39-7=3D、夾角相等但夾角兩對(duì)應(yīng)邊比例不相等，故兩三角形不相似，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．5．（2024九年級(jí)上·山西·專題練習(xí)）如圖，△ABC和△GAF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，圖中相似三角形(不包括全等)共有（）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】C【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA【詳解】∵△ABC和△∴∠B=∠∵∠ADC=∠ADE∴△ADC∽△EDA，△∴共有3對(duì)．故選：C．6．（23-24九年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）兩個(gè)相似三角形的面積比是4:1，那么它們的周長(zhǎng)比是（

）A．4:1 B．2:1 C．2:1 D．【答案】B【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，周長(zhǎng)比等于相似比，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積比是4:1，∴兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比為2:1；故選B．7．如圖，已知兩點(diǎn)A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（

）A．（0，1） B．（0，32） C．（0，2） D．（0，3【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，易證△AOC∽△BOA．運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求OC即得解【詳解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC∴△AOC∽△BOA∴OCOA∴OC=1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，1）．故選A【點(diǎn)睛】求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題可以轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)度的問題，