第二十二章相似形1.兩條線段的比定義：如果選用同一長度單位的兩條線段a，b的長分別是m和n，就說兩條線段的比是a：b=m：n，或?qū)懗?，和?shù)的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).2.比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).3.比例中項(xiàng)：如果比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即，那么線段b叫做線段a，c的比例中項(xiàng).4.黃金分割：如圖，點(diǎn)B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時線段AB是線段AC,BC的比例中項(xiàng)），那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618.5.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.平行線分線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應(yīng)線段成比例．6.相似多邊形的相關(guān)概念相似圖形：把形狀相同的圖形叫做相似形.相似多邊形的定義：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似比：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比.相似多邊形的表示：兩個相似多邊形可以用符號“∽”，讀作“相似于”.7.相似多邊形的性質(zhì)：1）相似多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形對應(yīng)對角線的比等于相似比；3）相似多邊形周長的比等于相似比；4）相似多邊形面積的比等于相似比的平方；8.相似三角形的定義：三個角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.9.相似三角形的判定方法：判定三角形相似的常用定理直角三角形相似的判定方法1平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似斜邊和直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似2三邊成比例的兩個三角形相似有一個銳角相等的兩個直角三角形相似3兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似兩組直角邊成比例的兩個直角三角形相似4兩角分別相等的兩個三角形相似10.相似三角形的性質(zhì)：1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.11.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點(diǎn)連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點(diǎn)叫做位似中心.12.判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應(yīng)點(diǎn)的連線是否經(jīng)過位似中心.13.位似圖形的性質(zhì)1)位似圖形的所有對應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交于一點(diǎn).2）位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等.3)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質(zhì).5）一對對應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似14.位似變換：利用位似圖形的性質(zhì)將一個圖形進(jìn)行放大或縮小叫做位似變換.15.似變換的坐標(biāo)特征一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).序號易錯點(diǎn)易錯題注意事項(xiàng)1利用相似的性質(zhì)求面積時出錯1．若相似三角形的周長比為，則面積比為．【答案】2．如果兩個相似三角形的面積之比為，較小的三角形的周長是，那么另一個的三角形的周長為．【答案】150相似三角形面積比等于相似比的平方2判斷平行線分線段成比例時出錯試題1-2（表格下）等等3未用分類討論解決相似三角形動點(diǎn)問題時出錯試題3-4（表格下）如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對應(yīng)關(guān)系.4求位似圖形的坐標(biāo)1.在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，以原點(diǎn)為位似中心，把這個三角形擴(kuò)大為原來的2倍，得到，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（D）A．B．或C．D．或以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形的坐標(biāo)符號變化：若兩個圖形在原點(diǎn)同側(cè)，則對應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號相同；若兩個圖形在原點(diǎn)異側(cè)，則對應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號相反.1．如圖,在中，D，E，F(xiàn)分別在、、邊上，，，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】C2.如圖，在中，、分別為、邊上的點(diǎn)，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】B3．如圖，在銳角三角形中，，，動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B停止，動點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A停止，點(diǎn)D運(yùn)動的速度為，點(diǎn)E運(yùn)動的速度為，如果兩點(diǎn)同時開始運(yùn)動，那么以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似時的運(yùn)動時間為【詳解】解：設(shè)經(jīng)過后，以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似，，，由圖得：，①當(dāng)時，，，，解得：；②當(dāng)時，，，，解得：；經(jīng)過或后，以點(diǎn)A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似．故答案為：或．4．如圖，已知等腰三角形ABC中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿BA以的速度向點(diǎn)運(yùn)動；同時點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿CB以的速度向點(diǎn)運(yùn)動，在運(yùn)動過程中，當(dāng)與相似時，cm．【詳解】解：∵，．①當(dāng)時，有，即，解得，∴；②當(dāng)時，有，即，解得，（舍去），∴．綜上，當(dāng)與相似時，或20．重難點(diǎn)01相似圖形的判定1．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）下列說法中，正確的是（

）A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似【答案】C【分析】本題考查相似圖形的判定，熟知相似圖形的判定是解答的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的判定，結(jié)合相關(guān)知識的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原說法不正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、矩形的四個角都相等，但邊不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本選項(xiàng)不符合題意；C、全等三角形的對應(yīng)角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本選項(xiàng)符合題意；D、所有的等腰直角三角形都相似，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（22-23九年級上·安徽蚌埠·期末）下列說法正確的有個（

）（1）任意兩個矩形都相似

（2）任意兩個正方形都相似（3）任意兩個等邊三角形都相似

（4）任意兩個菱形都相似．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用相似多邊形的定義：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形，即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：（1）雖然兩個矩形的對應(yīng)角都是直角，但是對應(yīng)邊不一定成比例，所以任意兩個矩形不一定相似，故說法錯誤；（2）兩個正方形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角都是直角，所以任意兩個正方形一定相似，故說法正確；（3）兩個等邊三角形的對應(yīng)邊一定成比例，對應(yīng)角都是，所以任意兩個等邊三角形一定相似，故說法正確；（4）兩個菱形的對應(yīng)邊一定成比例，對應(yīng)角不一定相等，所以任意兩個菱形不一定相似，故說法錯誤．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的定義．注意從對應(yīng)邊與對應(yīng)角兩個方面考慮．3．（22-23九年級上·山西陽泉·期末）學(xué)校藝術(shù)節(jié)上，同學(xué)們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術(shù)墻．下面是王亮從藝術(shù)墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內(nèi)、外邊框的圖形不一定相似的是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了兩個圖形的相似多邊形的概念，掌握如果兩個多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖形相似的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：兩個矩形不一定相似，但兩個正方形、兩個等邊三角形及兩個圓一定相似．故選：A．重難點(diǎn)02利用相似圖形的性質(zhì)求解4．（24-25九年級上·安徽蕪湖·期末）如圖，五邊形五邊形．若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，掌握相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵五邊形五邊形，，∴，，∴，∴本題選項(xiàng)A，B，D錯誤，不合題意．故選：C．5．（23-24九年級上·安徽亳州·期末）如圖，學(xué)校植物園是一塊邊長為5米的正方形，現(xiàn)將其擴(kuò)大成矩形，且使得矩形矩形，求的長．【答案】米【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵；根據(jù)多邊形的性質(zhì)之列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】矩形矩形，即，設(shè)的長為x米，解得：，或（負(fù)數(shù)不合題意舍去），的長為米。6．（23-24九年級上·安徽安慶·期中）如圖所示，一般書本的紙張是原紙張多次對開（對折）得到，矩形沿對開后，再把矩形沿對開，依次類推，若各種開本的矩形都相似，求的值．

【答案】【分析】此題考查了相似多邊形的性質(zhì)，設(shè)，，則，，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到，然后代入求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．【詳解】設(shè)，，則，，由相似圖形的性質(zhì)得：，即，解得或（不符題意，舍去），則．重難點(diǎn)03成比例線段與比例的性質(zhì)7．（24-25九年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）下列四組長度的線段中，是成比例線段的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】本題考查了成比例線段，根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)分析即可得解．【詳解】解：A、，故，，，是成比例線段，符合題意；B、，故，，，不是成比例線段，不符合題意；C、，故，，，不是成比例線段，不符合題意；D、，故，，，不是成比例線段，不符合題意；故選：A．8．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）在比例尺為的合肥市城區(qū)地圖上量得包公祠與大蜀山兩地間距離是，那么兩地的實(shí)際距離是．【答案】【分析】本題主要考查了比例尺的應(yīng)用，設(shè)兩地的實(shí)際距離是，根據(jù)比例尺為，列出方程，解比例即可．【詳解】解：設(shè)兩地的實(shí)際距離是，根據(jù)題意得，解得：，，∴兩地的實(shí)際距離是．故答案為：．9．（24-25九年級上·安徽六安·期中）已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問題．(1)若，，c是a，b的比例中項(xiàng)線段，求c的長；(2)若，，求a，b，c的長．【答案】(1)(2)，，．【分析】本題考查了比例線段，寫比例式的時候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可．（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式得到，即，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解，即可得到c的長；（2）設(shè)，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值．【詳解】（1）解：∵c是a，b的比例中項(xiàng)線段，∴，∴（負(fù)值舍去）即c的長為；（2）解：設(shè)，∴，，，∵，∴，∴，∴，，．10．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）已知線段a，b，c滿足，且．(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段k是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段k的長．【答案】(1)，，(2)【分析】本題考查了比例線段．（1）設(shè)，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式得到，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解，即可求出線段k的長．【詳解】（1）解：設(shè)，則，，，又∵，∴，解得，∴，，；（2）解：∵線段k是線段a，b的比例中項(xiàng)，∴，解得或（舍去），∴線段．11．（24-25九年級上·安徽六安·期末）已知為的三邊長，且滿足，，求的周長．【答案】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)．設(shè)，利用，求得，再利用三角形的周長公式求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，，，∴的周長為．重難點(diǎn)04黃金分割12．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）如圖，古箏上的一根弦的長度約為，兩個端點(diǎn)固定在樂器板面上，支撐點(diǎn)是弦靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則線段的長度約為cm．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義計(jì)算即可．【詳解】解：支撐點(diǎn)是弦靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．13．（24-25九年級上·安徽蚌埠·期中）已知線段，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點(diǎn)把線段分為較長線段和較短，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項(xiàng)，即較長線段是整個線段的倍，則這個點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)．根據(jù)黃金分割的定義得到，把代入計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵線段，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，∴．故選：B．14．（24-25九年級上·安徽·期中）頂角為的等腰三角形我們把這種三角形稱為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為，如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了黃金分割、等腰三角形的性質(zhì)，先證明和都是頂角為的等腰三角形，再根據(jù)黃金三角形的腰與底的比值即可求解．【詳解】解：在中，，，，平分，，，，，和都是頂角為的等腰三角形．頂角為的等腰三角形為“黃金三角形”，它的底與腰的比值為，，即，∴．故選：D．重難點(diǎn)05平行線分線段成比例15．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，即，求解即可．【詳解】解：，，，，，，故選：C．16．（24-25九年級上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，為邊上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)，在邊上，，為與的交點(diǎn)．若，則的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，先利用得到，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可計(jì)算出，再利用證明，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可計(jì)算出，然后利用線段的和差解題．【詳解】解：∵，為邊上的三等分點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，，，∴.故選：A．17．（24-25九年級上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，在中，D、E分別為邊上的點(diǎn)，，和相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形判定及性質(zhì)．根據(jù)題意利用相似三角形判定及性質(zhì)逐一對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，，∴，A正確，∵，∴，B錯誤，∵，∴，C錯誤，∵，∴，D錯誤，故選：A．18．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，D、E分別是、上的點(diǎn)，與相交于點(diǎn)G，若，，則的值是．

【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，結(jié)合圖形準(zhǔn)確作出平行線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)D作交于點(diǎn)H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：過點(diǎn)D作交于點(diǎn)H，

，，，，，，，，，的值是．故答案為：．19．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，與交于點(diǎn)，求的值．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角形的中位線，過點(diǎn)作，構(gòu)造三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作交于，可得為的中位線，可得，設(shè)，則，根據(jù)根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作交于，，是邊的中點(diǎn)，即，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，由，設(shè)，則，，，∴，，，重難點(diǎn)06利用相似三角形的性質(zhì)求解20．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如下圖所示，在中，點(diǎn)D在線段上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)；根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理即可得解．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：．21．（21-22九年級上·上海閔行·期中）下列有關(guān)相似三角形的性質(zhì)，正確的是（

）A．如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們對應(yīng)角平分線的比為B．如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們的周長的比為C．如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們的面積的比為D．如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們對應(yīng)中線的比為【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：A.如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們對應(yīng)角平分線的比為，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們的周長的比為，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們的面積的比為，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.如果兩個相似三角形的相似比為，那么它們對應(yīng)中線的比為，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，其他線段的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．22．（24-25九年級上·江西上饒·期末）若，，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：∵，∴，，，∴，，故A、B、C正確，不符合題意；D錯誤，符合題意，故選：D．23．（24-25九年級上·安徽馬鞍山·期中）在中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，若與相似，且，求的長．【答案】或2【分析】本題主要相似三角形的性質(zhì)，先根據(jù)題意得到，再分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：如圖，∵，，∴，當(dāng)時，則，∴，∵，∴，解得；當(dāng)時，則，∴，∵，∴，解得；綜上所述，的值為或2，重難點(diǎn)07相似三角形性質(zhì)與判定綜合24．（24-25九年級上·安徽六安·期中）如圖，，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)．(1)若，求證：；(2)若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法及靈活應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）由得出，再由得出，即可證明；（2）由得出與都是等腰直角三角形，再證明得出，通過等量代換得出，即可得出的值．【詳解】（1）證明：，，，，，，，；（2）解：，與都是等腰直角三角形，，，，；，，，，，，，，，，，，，，．25．（24-25九年級上·安徽六安·期中）如圖：在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長線交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求的值：【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出，，推出，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明；（2）證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，即．26．（24-25九年級上·安徽馬鞍山·期中）如圖，在等邊三角形中，，連接，交于點(diǎn)．(1)求出的度數(shù)；(2)求證：；(3)連接，當(dāng)時，求證：．【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：，，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)角之間的關(guān)系可得；由可知，從而可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證結(jié)論成立；延長至，連接、，使，由可知，，利用可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可證，根據(jù)平行線的性質(zhì)可證，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得：，從而可證結(jié)論成立．【詳解】（1）解：是等邊三角形，，，在和中，，，，，；（2）證明：由可知，在和中，，，，，，又是等邊三角形，，；（3）證明：如下圖所示，延長至，連接、，使，由可知，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，又，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的性質(zhì)找邊和角之間的關(guān)系．27．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）如圖，在中，點(diǎn)，，分別在邊，，上，連結(jié)，，，與交于點(diǎn)．已知四邊形是平行四邊形，且．(1)求證：(2)若，求線段，的長．(3)若四邊形的面積為48，求的面積．【答案】(1)見解析(2)，(3)125【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出，，，得證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，，即可得，，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，求得，；再由，得到，最后根據(jù)，求得即可；（3）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到，從而推出，進(jìn)而求得，結(jié)合，可推出，即可求得答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，．（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：由（2）可知，，，，，四邊形的面積為48，，由（2）可知，，，．重難點(diǎn)08與相似三角形有關(guān)的動點(diǎn)問題28．（23-24九年級上·安徽宿州·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點(diǎn)，，若與相似，則的長為（

）

A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或【答案】D【分析】設(shè)，則，分和兩種情況討論，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)列式求解，即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，設(shè)，則，分兩種情況討論：①若，則有，即，整理可得，解得，∴的長為3或12；②若，則有，即，解得，∴的長為．綜上所述，的長為3或12或．故選：D．29．（23-24九年級下·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿方向以的速度移動，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿方向以的速度移動．若Q、P分別同時從B、C出發(fā)，試探究∶（1）經(jīng)過s，的面積是面積的；（2）經(jīng)過s，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似．【答案】2或【分析】本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）首先計(jì)算出的面積，設(shè)t秒的面積是面積的，表示出、，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動的長度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程求解．【詳解】在中，，，，面積為，的面積是面積的，的面積為，設(shè)t秒的面積是面積的，則，，在中，，解得，故答案為：2；（2）設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，設(shè)t秒的面積是面積的，則，，∵，當(dāng)或時，兩三角形相似．（1）當(dāng)時，，（2）當(dāng)時，；所以，經(jīng)過或秒后，兩三角形相似．30．（23-24九年級上·安徽安慶·期中）如圖所示，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向點(diǎn)以的速度移動，如果、分別從、同時出發(fā)，過多少秒時，以、、為頂點(diǎn)的三角形恰與相似？【答案】經(jīng)過2.4秒或者經(jīng)過秒后兩個三角形都相似【分析】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．設(shè)經(jīng)過秒后相似，由于沒有說明對應(yīng)角的關(guān)系，所以共有兩種情況：與．【詳解】解：設(shè)經(jīng)過秒后，，此時，．∴，∵，，，設(shè)經(jīng)過秒后，，，，，所以，經(jīng)過2.4秒或者經(jīng)過秒后兩個三角形都相似．31．（23-24九年級上·安徽合肥·期中）如圖所示，在中，，，，由點(diǎn)A出發(fā)沿方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，它們的速度均為，連接．設(shè)運(yùn)動時間為，解答下列問題：(1)面積可能是為嗎？為什么？(2)在點(diǎn)P，Q的運(yùn)動過程中，當(dāng)t為何值時，與相似？并說明理由．【答案】(1)不可能，理由見解析(2)存在，時間t為或秒時，使得與相似【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．（1）作于點(diǎn)H，先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)，可得，然后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解；（2）分兩種情況討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：不可能；如圖，作于點(diǎn)H，∵，，，∴，∵，，∴，∴．∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，，∵，∴面積不可能是為；（2）解：理由如下∶①當(dāng)時，則，∴，解得∶．②當(dāng)時，則，∴，解得；答∶存在，時間t為或秒時，使得與相似．重難點(diǎn)09相似三角形的應(yīng)用32．（24-25九年級上·安徽滁州·期中）如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一點(diǎn)）發(fā)出的光線照射來面后，在地面上形成陰影（圓形）的示意圖，已知桌面的直徑為，桌面距地面，若燈泡距地面，則地面上的陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造相似三角形，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求解，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，則有，，，∵，∴，∴，∴，解得，∴陰影部分的半徑是，所以地面上陰影部分的面積為：，故選：．33．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，是凸透鏡的主光軸，點(diǎn)是光心，點(diǎn)是焦點(diǎn)．若蠟燭的像為，測量得到物距與像距之比為，蠟燭高為，則像的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例．通過證明，得出，即可解答．【詳解】解∶根據(jù)題意可得∶，，．．，故選：C．34．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）如圖，這是某平臺銷售的折疊椅子的示意圖，與地面平行，已知，，若，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的判定以及性質(zhì)，根據(jù)，可得出，，由相似三角形的性質(zhì)可得出，代入可得出．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，故選：B．35．（24-25九年級上·安徽淮北·期中）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理．小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔，物體在幕布上形成倒立的實(shí)像（點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別是、）．若物體的高為，小孔到地面距離為，則實(shí)像的高度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識的靈活運(yùn)用．先證明得到，再證明得到，再把①和②相加變形得到，然后把，，代入計(jì)算即可，利用平行線構(gòu)建相似三角形，然后用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求相應(yīng)線段的長或表示線段之間的關(guān)系．【詳解】解：依題意得，，，，，，則①②得，，，，，，解得，故選：B．36．（24-25九年級上·安徽安慶·期中）如圖，是一張直角三角形紙片，，．若將斜邊上的高分成5等份，然后裁出4張寬度相等的長方形紙條，則這4張紙條的面積和是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，矩形的性質(zhì)，求出每個矩形的長度和寬是解答關(guān)鍵．先利用勾股定理求出，再利用面積計(jì)算法求出，接著證明，進(jìn)而求出，分別計(jì)算出從上往下數(shù)每個矩形的長，再利用每個矩形的寬均為，代銷入矩形面積公式中求解．【詳解】解：如圖，，，，，即，．斜邊上的高分成5等份，．，，，，，即，，即從上往下數(shù)，第一個矩形的長為，同理可得從上往下數(shù)，第二個矩形的長為，從上往下數(shù)，第三個矩形的長為，從上往下數(shù)，第四個矩形的長為，而所有矩形的寬都為，所以4張紙條的面積和為．故選：B．37．（24-25九年級上·安徽淮北·階段練習(xí)）大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實(shí)驗(yàn)．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是．【答案】【分析】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為，根據(jù)題意得，，解得：，∴蠟燭火焰的高度為．故答案為：．38．（2024·浙江湖州·模擬預(yù)測）土圭之法是在平臺中央豎立一根尺長的桿子，觀察桿子的日影長度，古代的人們發(fā)現(xiàn)，夏至?xí)r日影最短，冬至日影最長，這樣通過日影的長度得到夏至和冬至，確定了四季，如圖，利用土圭之法記錄了兩個時刻桿的影長，發(fā)現(xiàn)第一時刻光線與桿的夾角和第二時刻光線與地面的夾角相等，測得第一時刻的影長為尺，則第二時刻的影長為尺【答案】【分析】本題考查相似三角形的應(yīng)用，由，得，知，故（尺），即第二時刻的影長為尺．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，根據(jù)題意得：尺，尺，∴（尺）；∴第二時刻的影長為尺；故答案為：．39．（18-19九年級上·全國·單元測試）如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，C，D，使得，點(diǎn)E在上，并且點(diǎn)A，E，D在同一條直線上．若測得，則河的寬度等于．【答案】【分析】本題考查相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．易證，即可求得．【詳解】解：∵∴∴即故答案為：40．（24-25九年級上·安徽蚌埠·期中）綜合與實(shí)踐小明同學(xué)想借助燈光下影子的長度來測量路燈的高度．【問題初探】如圖1，馬路上有一路燈桿，在燈光下，小明在地面上離燈座B點(diǎn)8m的D點(diǎn)處的影子長為3m，小明的身高為m，則路燈的高度為______m；接著，小明從D點(diǎn)沿方向行走4m到達(dá)H點(diǎn)，如圖2，此時影子的長度為______m；【聯(lián)系模型】小明發(fā)現(xiàn)圖2為古算書《海島算經(jīng)》中的模型，在教材數(shù)學(xué)史話和復(fù)習(xí)題中均有呈現(xiàn)．《海島算經(jīng)》中題為：如圖2，今要測量海島上一座山峰的高度，在D處和H處豎立標(biāo)桿和，標(biāo)桿的高都是3丈，D和H兩處相隔步，并且都在同一平面內(nèi)．從標(biāo)桿后退步的E處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端C在同一直線上；從標(biāo)桿后退步的F處可以看到頂峰A和標(biāo)桿頂端G在同一直線上，則山峰的高度是多少步？請你求出山峰的高度；（這里古制1丈=10尺，1步=6尺，結(jié)果用步來表示）【拓展應(yīng)用】受小明的啟發(fā)，小亮也進(jìn)行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小區(qū)附近主干道上散步，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)他站在兩盞路燈（和）之間，如圖3，并且自己被兩邊路燈照在地上的兩個影子成一直線時，自己右邊的影子長為3m（即），左邊的影子長為m（即）．已知小亮身高為m，兩盞路燈的高度相同且兩盞路燈之間的距離為m（即）．根據(jù)以上信息，請你幫助小亮求出路燈的高度．【答案】【問題初探】，；【聯(lián)系模型】山峰的高度為步；【拓展應(yīng)用】路燈的高為m【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相關(guān)定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．【問題初探】根據(jù)、即可求解；【聯(lián)系模型】由得，由得，設(shè)步，步，則，即可求解；【拓展應(yīng)用】設(shè)，由可得，由可得，則，即可求解；【詳解】解：【問題初探】由題意得：，，∴，∵，∴，∴，即，解得：；當(dāng)小明從D點(diǎn)沿方向行走4m到達(dá)H點(diǎn)，，同理可得：，∴，即，解得：；故答案為：，；【聯(lián)系模型】由題意得：，∴，∵，∴，∴，同理可得：，∴，設(shè)步，步，∵步，步，步，丈尺步，∴，則，解得：，∴山峰的高度為步；【拓展應(yīng)用】設(shè)，由題意得：，∴，∵，∴可得，同理可得：可得，則，解得：，∴路燈的高為m重難點(diǎn)10位似圖形的基礎(chǔ)41．（21-22九年級上·安徽阜陽·階段練習(xí)）下面四個圖中，均與相似，且對應(yīng)點(diǎn)交于一點(diǎn)；則與成位似圖形有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了位似的定義，如果兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線所在的直線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或共線），像這樣的兩個圖形叫做位似圖形．根據(jù)位似圖形的定義進(jìn)行判斷即可解答．【詳解】根據(jù)位似圖形的定義可知，圖1，圖2，圖4中的與成位似圖形，圖3中、不平行，即與不成位似圖形，綜上分析可知：與成位似圖形有3個．故選：C．42．（22-23九年級下·安徽合肥·階段練習(xí)）下列說法中，正確的是（

）A．兩個多邊形相似，則它們一定是位似圖形 B．兩個位似圖形的位似中心可能不止一個C．位似圖形一定是相似圖形 D．兩個多邊形相似，面積比一定是相似比【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形的概念和相似多邊形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A.兩個多邊形相似，則它們不一定是位似圖形，，故該選項(xiàng)說法錯誤；B.兩個位似圖形的位似中心只有一個，故該選項(xiàng)說法錯誤；C.位似圖形一定是相似圖形，故該選項(xiàng)說法正確；D.兩個多邊形相似，面積比是相似比的平方，故該選項(xiàng)說法錯誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似圖形的概念，相似多邊形的性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關(guān)鍵．43．（24-25九年級上·山東日照·階段練習(xí)）方框中的兩個圖形不是位似圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查了位似變換，位似與相似既有聯(lián)系又有區(qū)別，相似僅要求兩個圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對應(yīng)點(diǎn)的連線相較于一點(diǎn)．【詳解】解：對應(yīng)點(diǎn)的連線相較于一點(diǎn)的兩個相似多邊形叫位似圖形．據(jù)此可得A、B、C三個圖形中的兩個圖形都是位似圖形；而D的對應(yīng)點(diǎn)的連線不能相較于一點(diǎn)，故不是位似圖形，故選：D．44．（24-25九年級上·陜西西安·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，則位似中心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了位似圖形及位似中心的概念，掌握位似中心的確定方法是解題關(guān)鍵．根據(jù)連接位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為位似中心，即可解答．【詳解】解：如圖所示，連接，，，交于點(diǎn)D，通過觀察平面直角坐標(biāo)系可以發(fā)現(xiàn)，這些連線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．故選：A．重難點(diǎn)11利用位似圖形的基本性質(zhì)求解45．（23-24九年級上·安徽六安·期末）如圖，已知與位似，位似中心為，且與的周長之比是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)與判定．根據(jù)位似圖形的概念得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可解題．【詳解】解：與位似，位似中心為，，，與的周長之比是，，，，．∴的值為．故選：C．46．（24-25九年級上·安徽滁州·期末）如圖，AB與CD交于點(diǎn)，且．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用平行線得到相似三角形，并根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．先根據(jù)平行線證明與相似，再由已知條件得出相似比，最后根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求出的值．【詳解】，，，已知，設(shè)，則，，與的相似比為，根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，．故選：C．47．（2024·安徽安慶·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．以點(diǎn)O為位似中心，在第四象限內(nèi)作與的位似比為的位似圖形，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似變換，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)位似的關(guān)系，將點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都乘以即可，熟練掌握位似變換的規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，在第四象限內(nèi)作與的位似比為的位似圖形，，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為，即，故選：C．48．（24-25九年級上·浙江寧波·期末）如圖，與是位似圖形，點(diǎn)是位似中心，若的面積為4，且，則的面積為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】本題考查了位似變換，掌握位似圖形相的面積之比等于位似之比的平方是解題關(guān)鍵．先說明與位似比，然后再根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵與是位似圖形∴位似比是∴，即，∵的面積為4，∴．故選C．49．（24-25九年級上·山西呂梁·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，若以原點(diǎn)為位似中心，畫出四邊形，使它與四邊形的相似比為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，即點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選C．重難點(diǎn)12畫位似圖形50．（23-24九年級上·安徽·單元測試）在如圖的方格紙中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，與是關(guān)于點(diǎn)P為位似中心的位似圖形．(1)在圖中標(biāo)出位似中心P的位置；(2)以原點(diǎn)O為位似中心，在位似中心的同側(cè)畫出的一個位似，使它與的位似比為；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查作圖位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于或．（1）連接兩組對應(yīng)點(diǎn)，并延長，延長線的交點(diǎn)即為位似中心；（2）延長、，并使、，連接即可．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)為所作；（2）解：如圖2，為所作．51．（23-24九年級下·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，以某點(diǎn)為位似中心，將進(jìn)行位似變換得到，記與對應(yīng)邊的比為k，求位似中心的坐標(biāo)和k的值．【答案】，【分析】本題考查了位似圖形的知識；連接、，由位似圖形的性質(zhì)得為位似中心，結(jié)合題意計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：連接、，并延長交點(diǎn)為，則為位似中心，由圖形知點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，即．52．（23-24九年級上·安徽合肥·期末）如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，與是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫出位似中心點(diǎn)O；(2)求出與的位似比；(3)以點(diǎn)P為位似中心，在所給的網(wǎng)格圖的右邊再畫一個，使它與的位似比等于2．【答案】(1)見解析(2)與的位似比為．(3)見解析【分析】（1）本題考查位似作圖和位似中心的特點(diǎn)，根據(jù)各對應(yīng)點(diǎn)連線所在直線的交點(diǎn)即為位似中心，畫出圖形，即可解題．（2）本題考查位似比，由（1）中圖形，得出，的長度，利用，即可求得與的位似比．（3）本題考查位似作圖，根據(jù)點(diǎn)P為位似中心，與的位似比等于2，延長到，使，延長到，使，延長到，使，即找出頂點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)、、，依次連接對應(yīng)點(diǎn)，就是所求作的三角形．【詳解】（1）解：如圖所示：點(diǎn)O就是位似中心．（2）解：由（1）知，，，，與的位似比為．（3）解：如圖所示：就是所求作的三角形．53．（24-25九年級上·四川成都·期中）如圖，與是位似圖形．(1)在網(wǎng)格上建立平面直角坐標(biāo)系，使得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(2)以點(diǎn)A為位似中心，在網(wǎng)格圖中作，使和位似，位似比為；(3)在圖上標(biāo)出與的位似中心P，并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】(1)(2)圖見解析；(3)圖見解析，．【分析】本題考查了位似變換，正確利用位似圖形的性質(zhì)分析是解題的關(guān)鍵．（1）直接利用已知點(diǎn)位置得出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；（3）直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應(yīng)點(diǎn)交點(diǎn)即為位似中心，并得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖：點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：在網(wǎng)格中取格點(diǎn)，，連接，如圖：由網(wǎng)格可知，，，，∴，∴和位似，位似比為，則即為所求三角形；（3）解：如圖，分別連接，，交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為與的位似中心P，由網(wǎng)格可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故答案為：．重難點(diǎn)13與相似三角形有關(guān)的熱考模型54．（24-25九年級上·廣西來賓·期中）如圖1，這個圖案是3世紀(jì)我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學(xué)興趣小組建立了“一線三直角模型”．如圖2，在中，，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，作交的延長線于點(diǎn)．(1)如圖2，求證：；(2)如圖3，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．（1）根據(jù)“一線三直角模型”，證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答即可得證；（2）先證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式求得長度，根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：線段繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，；（2）由（1）可知：，，，，，，，，，，，，即，，．55．（24-25九年級上·安徽合肥·期中）【數(shù)學(xué)模型】（1）如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)E、F分別在邊、上，，垂足為點(diǎn)O，則．【模型探究】（2）如圖2，在平行四邊形中，點(diǎn)E、F分別在邊、上，與交于點(diǎn)O，且，請證明：；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在平行四邊形中，點(diǎn)E、F、G分別在邊、、上，連接與交于點(diǎn)O，其中，，，且，求的值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）證明，得出，根據(jù)，，得出即可；（2）證明，得出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，證明，得出，即可得出，求出結(jié)果即可；（3）過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)H，同（2）可得，即可得出，證明，得出，設(shè)，則，，根據(jù)，得出，求出，最后求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，故答案為：；（2）證明：∵，，∴，又∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)H，如圖所示：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，同（2）可得，∴，在上取一點(diǎn)P使得，連接，∵，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)．56．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）【問題引入】如圖1，等邊，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一個點(diǎn)；且，求證：．【模型運(yùn)用】如圖2，在中，，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD且，已知，求CD的值．【能力提升】如圖3，在中，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD且，，且，直接寫出的值．【答案】【問題引入】：見解析；【模型運(yùn)用】：2；【能力提升】【分析】由，可證得；過點(diǎn)D作于E，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，，，根據(jù)勾股定理得，，再判斷出，先得出AB，進(jìn)而建立關(guān)于x的方程，即可得出答案；過點(diǎn)A作于M，延長MB至G，使，判斷出，得出，根據(jù)，設(shè)，則，進(jìn)而表示層，進(jìn)而表示出（舍去負(fù)值），即可得出答案．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【模型運(yùn)用】解：如圖2，過點(diǎn)D作于E，∴，設(shè)，則，在中，∴，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（舍去）或（舍去）或，∴；【能力提升】解：如圖3．過點(diǎn)A作于M，延長MB至G，使，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，∴（舍去負(fù)值），∴．【點(diǎn)睛】此題事相似三角形綜合題，主要考查了等邊三角形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．57．（24-25九年級上·遼寧本溪·期中）◆模型展示◆如圖1，把字形相似的兩個三角形中的一個固定，另一個三角形繞其公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中生成一對新的相似三角形．◆理解模型◆（1）如圖2，在中，，點(diǎn)在邊上，，，連接，．則________，與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖3，在和中，，，點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，，求的值．◆拓展應(yīng)用◆（3）如圖4，點(diǎn)為正方形的邊上的三等分點(diǎn)，以為邊在上方作正方形，點(diǎn)為正方形的中心，若，請直接寫出線段的長度．【答案】（1）；；（2）；（3）或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識點(diǎn)，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．（1）利用等邊三角形的判定與性質(zhì)證出，即可通過全等的性質(zhì)解答；（2）連接，證出得到，證出得到，證出得到，通過邊的比值關(guān)系轉(zhuǎn)化求解即可；（3）連接，分類討論和時兩種情況，利用邊的比值關(guān)系求出和的長，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，