專題22.4相似形（全章分層練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題1．（2021秋·河北秦皇島·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，那么的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）我們把寬與長(zhǎng)的比等于黃金比（）的矩形稱為黃金矩形.如圖,在黃金矩形中,的平分線交邊于點(diǎn),于點(diǎn),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．4．（2023·江蘇宿遷·?？既＃┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點(diǎn)D、E，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．5．（2023春·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，E、F為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)E、F分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M，垂足分別為H、G．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，C． D．6．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，若點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作且分別交對(duì)角線，直線于點(diǎn)O、F，則在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值為（

）

A． B． C．17 D．187．（2023·福建·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，將沿的方向平移至，使得，其中E是與的交點(diǎn)，F(xiàn)是與的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．8．（2023春·海南?？凇ぞ拍昙?jí)海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，為三等分點(diǎn)且，連接交于點(diǎn)，若的面積為2，則的面積為（

）

A．32 B．48 C．40 D．369．（2021秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（－2，2），B（－4，1），C（－1，－1）．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸下方作△ABC的位似圖形△A'B'C．并把△ABC的邊長(zhǎng)放大為原來(lái)的2倍，那么點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（

）A．（1，－6） B．（1，－7） C．（2，－6） D．（2，－7）10．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若，則的值為．12．（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，點(diǎn)E在邊上，連接，，交于點(diǎn)F，若，，則邊長(zhǎng)為．

13．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在中，斜邊，點(diǎn)D在上，且，若以為直徑的半圓O在某條直角邊上截得的線段長(zhǎng)為，則直角邊的長(zhǎng)為．14．（2021秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在等腰中，，高，平分，則三角形的面積為．15．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，如果AD平分∠BAC，且ADCD，那么點(diǎn)D到AB的距離為cm.16．（2022·福建莆田·?？寄M預(yù)測(cè)）定義：中，一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，若滿足，則稱這個(gè)三角形為“智匯三角形”．在中，，，，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，若是“智匯三角形”，則的長(zhǎng)是．17．（2023·河南鄭州·校考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，把繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是，，連接．當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，軸時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

18．（2023·河南信陽(yáng)·校考三模）如圖，正方形中，，點(diǎn)P為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接，把沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在線段的垂直平分線上時(shí)，的長(zhǎng)為．

19．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是正方形，點(diǎn)E在邊的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊上，以點(diǎn)D為中心，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接交于點(diǎn)P，連接交于點(diǎn)Q，連接，若，則的值為．

三、解答題20．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）作出線段的黃金分割點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）21．（2023春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，且，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接交于點(diǎn)，依題意補(bǔ)全圖形，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，為上一點(diǎn)，且滿足．

（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，，，求的長(zhǎng)．23．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，，求．24．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)M，N分別在矩形的邊和（或延長(zhǎng)線）上，連接，，若．（1）求證：是等腰三角形；（2）當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)；（3）當(dāng)M為上任意一點(diǎn)，探究，，間的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2023·山西長(zhǎng)治·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在和中，，．將的頂點(diǎn)放在底邊的中點(diǎn)處，的頂點(diǎn)與底邊的中點(diǎn)重合．猜想證明：（1）如圖1，與的交點(diǎn)記為，與的交點(diǎn)記為，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，邊與交于點(diǎn)．（2）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)平分時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．參考答案1．B【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積可得3a=2b，然后用a表示出b；再根據(jù)比例的定義求出，最后代入計(jì)算即可．解：∵∴3a=2b，即b=a∴=．故答案為B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了比例的性質(zhì)和定義，靈活應(yīng)用比例的性質(zhì)和定義是解答本題的關(guān)鍵．2．C【分析】連接、、、，過(guò)點(diǎn)P作交于G，先利用平行線分線段成比例證明，再證是等邊三角形，是等腰三角形，得到，從而求得，繼而求得，然后由直角三角形性質(zhì)求得，繼續(xù)證明，得到，，從而可證得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形三線合一可得出，最后由等腰直角三角形，得出，即可由求解．解：連接、、、，過(guò)點(diǎn)P作交于G，∵正方形，∴，，，∵∴，，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，∴，∴，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∴∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴∴，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造等邊三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定可得四邊形ABFE是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)黃金矩形的定義逐項(xiàng)判斷即可得．解：四邊形ABCD是矩形，，，即，四邊形ABFE是矩形，是的平分線，且，，四邊形ABFE是正方形，，又四邊形ABCD是黃金矩形，且，，設(shè)，則，，，，則，，即，選項(xiàng)A正確；，，即，選項(xiàng)B正確；，，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，則選項(xiàng)D正確；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)，掌握理解黃金矩形的定義是解題關(guān)鍵．4．C【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作于H，由“AAS”可證，可得，，通過(guò)證明，可得，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作于H，

，，，，，，，在和中，，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，∴，∴，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線是本題的關(guān)鍵．5．C【分析】A由題意知，是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；B如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，可得，四邊形是矩形，進(jìn)一步得到FG是的中位線，從而作出判斷；C如圖2所示，根據(jù)可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；D易證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由題意知四邊形是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到，依此即可作出判斷.解：由題意知，是等腰直角三角形，∴，故A正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合，

∴，∵，∴，∴，四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴FG是的中位線，∴，故B正確；如圖2所示，

∵，∴．將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則；∵，∴，∴．在和中，∴（），∴．∵，∴，∴，即，故C錯(cuò)誤；∵，∵，∴，∴，∴，由題意知四邊形是矩形，∴，∴，即，∴，∴，故D正確．故選C．【點(diǎn)撥】此題是三角形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．6．B【分析】過(guò)C作，取，連接，根據(jù)勾股定理得到，易得，即可得到，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短得到當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最短即可得到答案；解：如圖過(guò)C作，取，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)最短，∴，∴，故選B；

【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱最短問(wèn)題，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．7．C【分析】由平移的性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)易證四邊形為菱形，即得出．根據(jù)勾股定理可求出，又易證，即得出．設(shè)，則，代入，即可求出x的值，從而可求出，最后再次利用勾股定理即可求解．解：由平移的性質(zhì)可知，，，．∵四邊形為矩形，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴平行四邊形為菱形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．設(shè)，則，∴，解得：，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)為三等分點(diǎn)且可得，推得，，即可求得，，，即可求得．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∴，∴，∵為三等分點(diǎn)且，∴，∴，∴，∴，∵的面積為2，∴，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．9．B【分析】建立以C為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．解：若以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（-1，3），∵△ABC與△A'B'C'以點(diǎn)C為位似中心，在x軸下方作△ABC的位似圖形△A'B'C'，把△ABC的邊長(zhǎng)放大為原來(lái)的2倍，∴點(diǎn)A'在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（1×2，-3×2），即（2，-6），則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，-7），故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、平移的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k．10．C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對(duì)等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯(cuò)誤；根據(jù)時(shí)，，得到,推出，④正確．解：∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．11．-1或8【分析】設(shè)=k，根據(jù)比例的性質(zhì)可得a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，根據(jù)等式的性質(zhì)可得2（a+b+c）=k（a+b+c），分a+b+c=0和a+b+c≠0兩種情況，分別求出k值，根據(jù)=k3即可得答案．解：設(shè)=k，∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk，即2（a+b+c）=k（a+b+c），∴（a+b+c）（2-k）=0，當(dāng)a+b+c=0時(shí)，即a+b=-c，∴k===-1，∴==k3=-1，當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，則2-k=0，解得：k=2，∴==k3=8，故答案為：-1或8【點(diǎn)撥】本題考查比例的性質(zhì)，分情況討論，注意整體代入思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．12．【分析】連接，由矩形的性質(zhì)可得，即可得到，即，再由，可得，得到，由平行線分線段成比例可得，求得，最后在和中利用勾股定理列方程求解即可．解：連接，

∵矩形，∴，，，，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∵在中，中，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題綜合考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，難度比較大，解題的關(guān)鍵是有得到．13．或．【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)，且，可求得，，則有則，可判斷是等腰三角形，得到，利用，，可證得，得到，可求得，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算得結(jié)果；②當(dāng)時(shí)，連接，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，同理①可求得，，，根據(jù)勾股定理可得，可證，得到，求得據(jù)勾股定理可計(jì)算得結(jié)果．解：依題意得，①當(dāng)時(shí)，如圖示，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，點(diǎn)D在上，且，∴，，∵圓是以為直徑的半圓，則，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∵在和中，，∴∴，即有∴∴在中，；②當(dāng)時(shí)，如圖示，連接，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，點(diǎn)D在上，且，∴，，∵圓是以為直徑的半圓，則，∴是等腰三角形，∵，∴，∴，∴在中，∵在和中，，∴∴，即有∴∴在中，；綜上所述，的長(zhǎng)為或；故答案是：或．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟悉以上相關(guān)性質(zhì)．14．【分析】連接EC，證明，可得它們面積相等，用勾股定理算出AD長(zhǎng)，然后設(shè)，用面積法列式求出DE的長(zhǎng)，就可以算出結(jié)果．解：如圖，連接EC，∵AE平分，∴，在和中，，∴，∴，在中，，設(shè)，，，，解得，∴．故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用三角形面積相等列式求出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)．15．【分析】延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，由角平分線的性質(zhì)定理則CF=FG，則△ACF≌△AGF，得到AG=AC=3，在Rt△BFG中，設(shè)FG=x，則BF=4x，BG=2，由勾股定理求出FG=CF=，然后利用勾股定理，求出AF的長(zhǎng)度，利用面積法求出CD的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，再利用面積法求出DE的長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)D到AB的距離.解：如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，∵AD平分∠BAC，F(xiàn)G⊥AB，∠ACB=90°，∴FC=FG，∵∠ACB=∠AGF=90°，∠CAF=∠GAF，AF=AF，∴△ACF≌△AGF，∴AC=AG=3，在Rt△BFG中，設(shè)FG=x，則BF=4x，BG=2，由勾股定理，得：，解得：，∴CF=FG=.在Rt△ACF中，由勾股定理，得：；∵，即，∴，在Rt△ACD中，由勾股定理，得：；∵，即，解得：；∵AD是角平分線，∴點(diǎn)D到AB的距離為：.故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理的應(yīng)用，以及利用三角形的面積相等求線段的長(zhǎng)度，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和勾股定理找到邊的關(guān)系，利用面積法求出線段的長(zhǎng)度.難度較大.16．【分析】作于分兩種情形：設(shè)，，當(dāng)時(shí)；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，分別求解即可．解：作于設(shè)，．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，∽，，舍去；設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，≌，，，，，，，設(shè)，則，在中，則有，解得．，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于填空題中的壓軸題．17．【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，即有．再證明，即有，解得，，問(wèn)題得解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵軸，，，∴四邊形是矩形，∴，由題意可知，，，軸，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，，在中，由勾股定理得．，，又，，，，即，解得，，∴點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，18．或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)落在圖①的位置時(shí)，當(dāng)點(diǎn)若在圖②的位置時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．解：∵點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)，故分兩種情況；情況一：當(dāng)點(diǎn)落在圖①的位置時(shí)，由正方形可知，，因?yàn)辄c(diǎn)落在的垂直平分線上，故，由折疊可知，，在中，由勾股定理可知，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，故，∴；

情況二：當(dāng)點(diǎn)若在圖②的位置時(shí)，由正方形可知，，∵點(diǎn)落在的垂直平分線上，∴，由折疊可知，，在中，由勾股定理可知，，∴，由折疊可知，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，即，解得：，即，∴．故答案為：或【點(diǎn)撥】本題主要考查了一線三垂直模型、三角形相似應(yīng)用、勾股定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形邊角之間的關(guān)系，注意分類討論．19．/【分析】過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)M，設(shè)，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，得到，由，得到，證明，求出，進(jìn)而得到，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作，交于點(diǎn)M，設(shè)，則，

∵四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，∵將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，∴，∵，∴∴，∵，∴，∴，∵，∴∴∵，∴，∴，∴，∴故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．20．見(jiàn)詳解【分析】作法：（1）延長(zhǎng)線段至，使，分別以、為圓心，以大于等于線段的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，連接，則，在上取點(diǎn)，使；（2）連接，在上截?。?）在上截取．點(diǎn)就是線段的黃金分割點(diǎn)．解：如圖，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)撥】本題主要是考查了黃金分割點(diǎn)的概念，熟記黃金分割分成的兩條線段和原線段之間的關(guān)系，能夠熟練求解和作圖．21．（1）；（2），證明見(jiàn)分析【分析】（1）由三角形為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到，，利用等角的補(bǔ)角相等得到夾角相等，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到，利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；（2）在上取，連接，證明，進(jìn)而證明，根據(jù)平行線分線段成比例即可得出結(jié)論．解：（1）證明：為等邊三角形，，，，在和中，，，，則．（2）證明：補(bǔ)全圖形，如圖所示，在上取，連接，

∵，∴∴是等邊三角形，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．22．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）由三角形外角的性質(zhì)和角的和差可得，再結(jié)合可得，然后結(jié)合運(yùn)用兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形是相似三角形即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得，即是的角平分線、，進(jìn)而說(shuō)明，最后根據(jù)角平分線的判定定理即可解答．（1）解：∵，，∴，∵，∴．（2）解：作于H．

∵，，∴，∵，∴，∵∴，即是的角平分線，∴，∵∴,∵是的角平分線，，，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的判定定理、30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)判定、性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．23．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）根據(jù)，，得到，根據(jù)，推出；（2）設(shè)，根據(jù)，得到，，根據(jù)等邊對(duì)等角