專題22.7相似形（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為原點，，點為平面內(nèi)一動點，，連接，點是線段上的一點，且滿足．當(dāng)線段取最大值時，點的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．2．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為4，點，分別在邊，上，且，平分，連接，分別交，于點，，是線段上的一個動點，過點作垂足為，連接，有下列四個結(jié)論：①垂直平分；②的最小值為；③；④．其中正確的是（

）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是邊上的點（不與點，重合）．過點作交于點；過點作交于點．是線段上的點，；是線段上的點，．若已知的面積，則一定能求出（

）

A．的面積 B．的面積C．的面積 D．的面積5．（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A在第一象限，B，D分別在y軸上，AB交x軸于點E，軸，垂足為F．若，．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（

）①；②AE平分；③點C的坐標(biāo)為；④；⑤矩形ABCD的面積為．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（2021·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）在銳角中，分別以AB和AC為斜邊向的外側(cè)作等腰和等腰，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接MD、MF、FE、FN．根據(jù)題意小明同學(xué)畫出草圖（如圖所示），并得出下列結(jié)論：①，②，③，④，其中結(jié)論正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．17．（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，是邊長為1的等邊三角形，D、E為線段AC上兩動點，且，過點D、E分別作AB、BC的平行線相交于點F，分別交BC、AB于點H、G．現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②當(dāng)點D與點C重合時，；③；④當(dāng)時，四邊形BHFG為菱形，其中正確結(jié)論為（

）A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點E是上一點，延長至點F，使，連結(jié)，交于點K，過點A作，垂足為點H，交于點G，連結(jié)．下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，點分別是上的動點，且，垂足為，將沿翻折，得到交于點，對角線交于點，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點運動到的中點，；⑤．（

）

A．①②③④⑤B．①②③⑤C．①②③ D．①②⑤10．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形沿著直線折疊，使點C與延長線上的點Q重合．交于點F，交延長線于點E．交于點P，于點M，，則下列結(jié)論，①，②，③，④．正確的是（

）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，點M為的中點，E是上的一點，連接，作點B關(guān)于直線的對稱點，連接并延長交于點F．當(dāng)最大時，點到的距離是．

12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形的對角線，相交于點，過點作，交的延長線于點，連接，交于點，則四邊形的面積與的面積的比值為．

13．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，將繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

14．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結(jié)論：①；②四邊形的面積不變；③當(dāng)時，；④的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號是．

15．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）2002年的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京舉行，這是21世紀(jì)全世界數(shù)學(xué)家的第一次大聚會．這次大會的會徽選定了我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，世人稱之為“趙爽弦圖”．如圖，用四個全等的直角三角形（）拼成“趙爽弦圖”，得到正方形與正方形，連接和，與、、分別相交于點P、O、Q，若，則的值是．

16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點分別在邊，上，連接，已知點和點關(guān)于直線對稱．設(shè)，若，則（結(jié)果用含的代數(shù)式表示）．

17．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點．若，則的長為．

18．（2022·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）已知正方形的邊長為4，為上一點，連接并延長交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，為的中點，為上一動點，分別連接，．若，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

（1）當(dāng)時，求四邊形的面積；（2）當(dāng)點在線段上移動時，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．20．（8分）（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，、是兩個等腰直角三角形，．

（1）當(dāng)時，求；（2）求證：；（3）求證：．21．（10分）（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）已知正方形，是對角線上一點．（1）如圖1，連接，．求證：；（2）如圖2，是延長線上一點，交于點，．判斷的形狀并說明理由；（3）在第（2）題的條件下，．求的值．22．（10分）（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長線相交于點．

（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）若是的中點，如圖2．求證：．23．（10分）（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）正方形中，點在邊，上運動（不與正方形頂點重合）．作射線，將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)45°，交射線于點．

（1）如圖，點在邊上，，則圖中與線段相等的線段是___________；（2）過點作，垂足為，連接，求的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點在邊延長線上且時，求的值．24．（12分）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）綜合運用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點A在軸的正半軸上，如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，交直線于點，交軸于點．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時，；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）（2）若點，求的長；（3）如圖3，對角線交軸于點，交直線于點，連接，將與的面積分別記為與，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．參考答案1．D【分析】由題意可得點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，先證，得，從而當(dāng)取得最大值時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，然后分別證，，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．解：∵點為平面內(nèi)一動點，，∴點在以點為圓心，為半徑的上，在軸的負(fù)半軸上取點，連接，分別過、作，，垂足為、，

∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)取得最大值時，取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)，，三點共線，且點在線段上時，取得最大值，∵，，∴，∴，∵，∴，∵軸軸，，∴，∵，∴，∴即，解得，同理可得，，∴即，解得，∴，∴當(dāng)線段取最大值時，點的坐標(biāo)是，故選D．【點撥】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的一般概念以及坐標(biāo)與圖形，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形全等即可證明，通過等量轉(zhuǎn)化即可求證，利用角平分線的性質(zhì)和公共邊即可證明，從而推出①的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果可證明推出，通過等量代換可推出③的結(jié)論；利用①中的部分結(jié)果和勾股定理推出和長度，最后通過面積法即可求證④的結(jié)論不對；結(jié)合①中的結(jié)論和③的結(jié)論可求出的最小值，從而證明②不對.解：為正方形，，，，，.,,，，.平分，.，.，，垂直平分，故①正確.由①可知，，，，，，由①可知，.故③正確.為正方形，且邊長為4，，在中，.由①可知，，，.由圖可知，和等高，設(shè)高為，，，，.故④不正確.由①可知，，，關(guān)于線段的對稱點為，過點作，交于，交于，最小即為，如圖所示，

由④可知的高即為圖中的，.故②不正確.綜上所述，正確的是①③.故選：D.【點撥】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解題的關(guān)鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運用相關(guān)知識點.3．C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯誤；根據(jù)時，，得到,推出，④正確．解：∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯誤；當(dāng)時，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點撥】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．4．D【分析】如圖所示，連接，證明，得出，由已知得出，則，又，則，進(jìn)而得出，可得，結(jié)合題意得出，即可求解．解：如圖所示，連接，

∵，，∴，，，．∴，．∴．∵，，∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．故選：D．【點撥】本題考查了相似三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定和性質(zhì)，等面積轉(zhuǎn)換．5．C【分析】根據(jù)相似三角形的判定得出，利用相似三角形的性質(zhì)及已知，的值即可判斷結(jié)論①；由①分析得出的條件，結(jié)合相似三角形、矩形的性質(zhì)（對角線）即可判斷結(jié)論②；根據(jù)直角坐標(biāo)系上點的表示及結(jié)論①，利用勾股定理建立等式求解可得點坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)得出點坐標(biāo)，即可判斷結(jié)論③；由③可知，進(jìn)而得出的值，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可判斷結(jié)論④；根據(jù)矩形的性質(zhì)及④可知，利用三角形的面積公式求解即可判斷結(jié)論⑤．解：∵矩形ABCD的頂點A在第一象限，軸，垂足為F，,，．，．，，，即．（①符合題意），，，．．AE平分．（②符合題意），點的橫坐標(biāo)為4．，，即．，點的縱坐標(biāo)為．．點與點關(guān)于原點對稱，．（③符合題意），．（④不符合題意），．（⑤符合題意）結(jié)論正確的共有4個符合題意．故選：C．【點撥】本題考查矩形與坐標(biāo)的綜合應(yīng)用．涉及矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角坐標(biāo)系上點的表示，關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)，三角形的面積公式等知識點．矩形的對角線相等且互相平分；兩角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點關(guān)于原點的對稱點位．靈活運用相關(guān)知識點，通過已知條件建立等式關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．6．B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和三角形中位線定理判斷結(jié)論①，連接DF，EN，通過SAS定理證明△MDF≌△FEN判斷結(jié)論②，利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)判斷結(jié)論③，利用相似三角形的判定和性質(zhì)判定結(jié)論④．解：∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ABM是等腰直角三角形，∴DM=AB，EF=AB，EF∥AB，∠MDB=90°，∴DM=EF，∠FEC=∠BAC，故結(jié)論①正確；連接DF，EN，∵D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，且△ACN是等腰直角三角形，∴EN=AC，DF=AC，DF∥AC，∠NEC=90°，∴EN=DF，∠BDF=∠BAC，∠BDF=∠FEC，∴∠BDF+∠MDB=∠FEC+∠NEC，∴∠MDF=∠FEN，在△MDF和△FEN中，，∴△MDF≌△FEN（SAS），∴∠DMF=∠EFN，故結(jié)論②正確；∵EF∥AB，DF∥AC，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴∠DFE=∠BAC，又∵△MDF≌△FEN，∴∠DFM=∠ENF，∴∠EFN+∠DFM=∠EFN+∠ENF=180°-∠FEN=180°-（∠FEC+∠NEC）=180°-（∠BAC+90°）=90°-∠BAC，∴∠MFN=∠DFE+∠EFN+∠DFM=∠BAC+90°-∠BAC=90°，∴MF⊥FN，故結(jié)論③正確；∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∴，∴S△CEF=S四邊形ABFE，故結(jié)論④錯誤，∴正確的結(jié)論為①②③，共3個，故選：B．【點撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，題目難度適中，有一定的綜合性，適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．7．B【分析】過A作AI⊥BC垂足為I，然后計算△ABC的面積即可判定①；先畫出圖形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可判定②；如圖將△BCD繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN，求證NE=DE；再延長EA到P使AP=CD=AN，證得∠P=60°，NP=AP=CD，然后討論即可判定③；如圖1，當(dāng)AE=CD時，根據(jù)題意求得CH=CD、AG=CH，再證明四邊形BHFG為平行四邊形，最后再說明是否為菱形．解：如圖1,過A作AI⊥BC垂足為I∵是邊長為1的等邊三角形∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=∴AI=∴S△ABC=,故①正確；如圖2，當(dāng)D與C重合時∵∠DBE=30°，是等邊三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=∵GE//BD∴∴BG=∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=,故②正確；如圖3，將△BCD繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABN∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°∴∠NBE=∠3=30°又∵BD=BN，BE=BE∴△NBE≌△DBE（SAS）∴NE=DE延長EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP為等邊三角形∴∠P=60°，NP=AP=CD如果AE+CD=DE成立，則PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定為90°，故③不成立；如圖1，當(dāng)AE=CD時，∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°∴∠AGE=∠AEG=60°，∴AG=AE同理：CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH∴四邊形BHFG是平行四邊形∵BG=BH∴四邊形BHFG為菱形，故④正確．故選B．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定等知識點，靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可由定理證，即可判定是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得；由此即可判斷①正確；再根據(jù)，可判斷③正確，進(jìn)而證明，可得，結(jié)合，即可得出結(jié)論④正確，由隨著長度變化而變化，不固定，可判斷②不一定成立．解：∵正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，，∵，∴，∵，∴，∴，故①正確；

又∵,,∴,∴，∵，即：，∴，∴，故③正確，又∵，∴，∴，又∵，∴，故④正確，∵若，則，又∵，∴，而點E是上一動點，隨著長度變化而變化，不固定，而，則故不一定成立，故②錯誤；綜上，正確的有①③④共3個，故選：C．【點撥】本題考查三角形綜合，涉及了正方形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形＂三線合一＂的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．B【分析】利用正方形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，逐一判斷，即可解答．解：四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確，將沿翻折，得到，，∵，，故②正確，當(dāng)時，，，，即在同一直線上，，，通過翻折的性質(zhì)可得，，∴，，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是菱形，故③正確，當(dāng)點運動到的中點，如圖，

設(shè)正方形的邊長為，則，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，故④錯誤，，，，，，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，，，故⑤正確；綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．A【分析】由折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊即可判斷①正確；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，再求出即可判斷②正確；由得，求出即可判斷③正確；根據(jù)即可判斷④錯誤．解：由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴．∴．∴．故正確；∵，，∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∵，∴．故正確；∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴與不相似．∴．∴與不平行．故錯誤；故選A．【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】如圖，由題意可得：在上，過作于，由點B關(guān)于直線的對稱點，可得，，，，當(dāng)與切于點時，最大，此時，證明，重合，可得，，求解，證明，可得，從而可得答案．解：如圖，由題意可得：在上，過作于，∵點B關(guān)于直線的對稱點，∴，，，，當(dāng)與切于點時，最大，此時，

∴，∴，重合，∴，∵矩形，∴，，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴點到的距離是．故答案為：．【點撥】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)平行四邊形推出平行四邊形，根據(jù)和相似，進(jìn)而求出各個三角形的面積比，設(shè)，表示出其他三角形面積，進(jìn)而作答．解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴四邊形是平行四邊形，，∴，∵，∴，，∴，∴，，∴，，∴同理，∵，∴，設(shè)，則，，∴∴故答案為∶【點撥】本題考查平行四邊形及三角形的相似，相似比和面積比，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的相似比表示出三角形的面積．13．【分析】連接，證明是等邊三角形，則，，設(shè)，則，取的中點H，連接，求出，設(shè)，則，證明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，進(jìn)一步即可得到答案．解：連接，

∵將繞著點C按順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)，則，取的中點H，連接，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點撥】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．14．②③④【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出，，，利用判斷②；根據(jù)相似可以得到，判斷③；利用將軍飲馬問題求出最小值判斷④．解：∵，，∴，在點P移動過程中，不一定，相矛盾，故①不正確；

延長交于點H,則為矩形，∴∵，，∴∴，∴，∴，即，解得：，∴故②正確；∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故③正確，，即當(dāng)?shù)淖钚≈?，作B、D關(guān)于的對稱點,把圖中的向上平移到圖2位置，使得，連接，即為的最小值，則，,這時，即的最小值是20，故④正確；故答案為：②③④

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】設(shè)，，則，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求出，可得，，利用勾股定理求出和，進(jìn)而可得的長，再證明，可得，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，即可得出答案．解：設(shè)，，則，∵，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，整理得：，解得：，（舍去），即，∴，，∴，，∴，∴∴，∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．【點撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程以及二次根式的混合運算等知識，證明，求出的長是解題的關(guān)鍵．16．【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和已知條件證明，再證，推出，通過證明，推出，即可求出的值．解：點和點關(guān)于直線對稱，，，．，，點和點關(guān)于直線對稱，，又，，，，，點和點關(guān)于直線對稱，，，，，在和中，，．在中，，，，，，，，，，．，，解得，．故答案為：．【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，有一定難度，解題的關(guān)鍵是證明．17．/【分析】過點A作于點H，延長，交于點E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，即，求出結(jié)果即可．解：過點A作于點H，延長，交于點E，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，即，解得：．故答案為：．【點撥】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．18．/【分析】由正方形的性質(zhì)，可得點與點關(guān)于對稱，則有，所以當(dāng)、、三點共線時，的值最小為，先證明，再由，可知，分別求出，，，即可求出．解：連接AM，四邊形是正方形，點與點關(guān)于對稱，，，當(dāng)、、三點共線時，的值最小，，，，，，，，，，，正方形邊長為4，，，，，，在中，，，是的中點，，在中，，，，的最小值為，故答案為：．【點撥】本題考查軸對稱求最短距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，用軸對稱求最短距離的方法，靈活應(yīng)用三角形相似、勾股定理．19．（1）；（2）【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．解：（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長交于點．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點撥】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）見詳解；（3）見詳解【分析】（1）先證明，再證明是線段的垂直平分線，即有，即是等邊三角形，問題得解；（2）根據(jù)垂直可得，又根據(jù)，可得，即可證明；（3）過H點作于點K，先表示出，根據(jù)是線段的垂直平分線，可得，即可得，進(jìn)而可得，則有，結(jié)合，，可得，再證明，即可證明．解：（1）∵，∴，∵，，∴，∴，∵、是兩個等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴等腰直角中，，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，即是等邊三角形，∴；（2）在（1）中有，，∴，又∵，∴，∴；（3）過H點作于點K，如圖，

∵，，∴，∴，即是等腰，∴，∵，，，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，在（1）中已證明，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出科學(xué)的輔助線，是解答本題的關(guān)鍵．21．（1）見分析；（2）是等腰三角形，理由見分析；（3）【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而即可得到；（2）先判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得到結(jié)論；（3）先求出的長，可證明是等腰直角三角形．從而得到的長，再利用，，可證得，進(jìn)而得到，從而可得到答案．（1）解：∵四邊形是正方形，是對角線，∴，，在和中∴．（2）解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．

（3）解：∵，，∴，又∵，∴是等腰直角三角形．∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．【點撥】本題考查四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形以及相似三角形，熟練掌握等腰三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2）；（3）見分析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明、，即可證明結(jié)論；（2）如圖1：設(shè)與的交點為，先證明可得，再證明可得，最后運用角的和差即可解答；（3）如圖2：