專題22.16相似三角形折疊問題（分層練習(xí)）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，D為的中點(diǎn)，E是上一動點(diǎn)，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)A落在F處，點(diǎn)O落在G處，當(dāng)線段的延長線恰好經(jīng)過的中點(diǎn)H時，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．（2023春·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，矩形中，，把它折疊起來，使頂點(diǎn)A與C重合，則折痕的長度為（

）A．B． C． D．3．（2021·廣西來賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形紙片，，點(diǎn)，分別在，上，把紙片如圖沿折疊，點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接并延長交線段于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形中，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是延長線上的點(diǎn)，將沿折疊得到．連接并延長分別交、于O、H兩點(diǎn)，若，則的長度為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江蘇徐州·九年級統(tǒng)考期末）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)在上，把該紙片沿折疊，點(diǎn)、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、，與相交于點(diǎn)，的延長線經(jīng)過點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽·模擬預(yù)測）如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB上點(diǎn)D′處，折痕為AE；再次折疊，使點(diǎn)C落在ED′上點(diǎn)C′處，連接FC′并延長交AE于點(diǎn)G．若AB=8，AD=5，則FG長為（

）A． B． C． D．47．（2022·海南·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE，點(diǎn)F在線段BE上，且，折疊矩形紙片使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，折痕為DG，若，則折痕DG的長為（

）A． B． C． D．8．（2021·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，，，點(diǎn)E為射線上一個動點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，過點(diǎn)作的垂線，分別交，于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的三等分點(diǎn)時，的長為（

）A． B． C．或 D．或9．（2021春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在等腰中，，．點(diǎn)和點(diǎn)分別是邊和邊上兩點(diǎn)，連接．將沿折疊，得到，點(diǎn)恰好落在的中點(diǎn)處設(shè)與交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．10．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長是（

）

A．3 B． C．2 D．1填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點(diǎn)．若，用含的式子表示的長是．

12．（2023春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=9、BC=6，∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB交于AB點(diǎn)D，點(diǎn)M是AC一動點(diǎn)（AM＜AC），將△ADM沿DM折疊得到△EDM，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，ED與AC交于點(diǎn)F，則CD的長度是；若ME//CD，則AM的長度是；13．（2023春·湖北隨州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是矩形邊上一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，設(shè)，（1）若點(diǎn)恰為邊的中點(diǎn)，則．（2）設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是．14．（2021春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，矩形中，，點(diǎn)、分別是和上的點(diǎn)，，，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)恰好落在的延長線上的點(diǎn)處，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，則點(diǎn)到的距離為．15．（2021春·浙江·九年級期末）如圖，在矩形中，將矩形沿著折痕折疊，點(diǎn)落在上，與邊交于點(diǎn)G．若點(diǎn)C恰好與的中點(diǎn)重合，且，則的值為．16．（2021·山西·九年級專題練習(xí)）如圖，矩形紙片，點(diǎn)E在邊上，連接，點(diǎn)F在線段上，且，折疊矩形紙片使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，折痕為，若，則折痕的長為．17．（2022·山東·統(tǒng)考一模）如圖是一張四邊形紙片，，，，，點(diǎn)M，N分別是，上的點(diǎn)，將沿直線翻折，將沿直線翻折，點(diǎn)A和點(diǎn)B落在同一點(diǎn)G處，再將紙片沿直線折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)D處，則的長為．18．（2023春·河南商丘·九年級?？茧A段練習(xí)）若一個三角形三邊長的比為，則稱這個三角形為“345三角形”．如圖，在矩形中，，點(diǎn)在邊上．將沿折疊，得到，再將沿過點(diǎn)的直線折疊，使邊與重合，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，折痕為．若是“345三角形”，則的長為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）問題情境：在數(shù)學(xué)活動課上，老師出了這樣一道題：在矩形中，，，將矩形繞著點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，點(diǎn)D恰好在邊CG上．問題解決：（1）如圖1，連接AC，CF，AF，AF與CG交于點(diǎn)H．①的值為______，______．②求GH的長．如圖2，若將四邊形沿渞直線CP折疊，得到四邊形，使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)恰好在EF上，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)G在上，求AP的長．20．（8分）（2023春·山西晉城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．矩形紙片中，，．操作探究：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上，展開后折痕交于點(diǎn)E．（1）的度數(shù)為______．（2）求線段的長度．拓展延伸：如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，繼續(xù)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)落在上，展開后折痕交于點(diǎn)F，連接．請判斷的形狀并說明理由．21．（10分）（2022秋·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，P為上一點(diǎn)，且，連接，把矩形沿著折疊，點(diǎn)B落到，延長交延長線于Q，已知．（1）若，求．（2）若，求．22．（10分）（2022秋·海南海口·九年級海南華僑中學(xué)?？计谥校┤鐖D1將矩形分別沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)分別落在上的點(diǎn)E處和上的點(diǎn)H處，折痕為；（1）求證：；（2）若，，①求；②如圖2，延長交于M點(diǎn)，求的長．23．（10分）（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）已知：菱形中，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)．

（1）求的長；（2）若，求證：；（3）若點(diǎn)在線段上不與、重合，以為對稱軸，折疊，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在菱形的邊上，畫出圖形并求的長．24．（12分）（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）在數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動．

（1）操作推斷如圖1，點(diǎn)P是正方形紙片的邊的中點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，延長交于點(diǎn)F，連接．則．（2）遷移探究小華在（1）的條件下，繼續(xù)探究：如圖2，延長交于點(diǎn)E，連接．①；②小華用大小不同的正方形紙片重復(fù)幾次以上操作，總發(fā)現(xiàn)，請判斷該發(fā)現(xiàn)是否正確？并說明理由．（3）拓展應(yīng)用將邊長為1的兩個相同正方形拼成矩形，如圖3，點(diǎn)P是上一動點(diǎn)，沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，射線交射線于點(diǎn)F．當(dāng)時，直接寫出的長．參考答案1．A【分析】連接，根據(jù)勾股定理得到，延長交的延長線于，根據(jù)三角形中位線定理得到，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，求得，過作于，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．解：連接，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，延長交的延長線于，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)落在處，點(diǎn)落在處，，，，，，，，，，過作于，，，，，，，，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】由折疊的性質(zhì)可知，，，再由矩形的性質(zhì)得到，，證明得到，利用勾股定理求出，則，證明，得到，由此代入對應(yīng)的值求解即可．解：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)則可得出是的垂直平分線，則由直角三角形性質(zhì)及矩形性質(zhì)可得∠AEO=∠AGD，∠FHE＝∠D＝90°，根據(jù)相似三角形判定推出△EFH∽△GAD，再利用矩形判定及性質(zhì)證得FH＝AB，即可求得結(jié)果．解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)，的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，∴，，∴EF是AA＇的垂直平分線．∴∠AOE=90°．∵四邊形是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．∴∠OAE＋∠AEO=∠OAE＋∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE＝∠D＝90°．∴△EFH∽△GAD．∴．∵∠AHF＝∠BAD＝∠B＝90°，∴四邊形ABFH是矩形．∴FH＝AB．∴；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的折疊問題，掌握折疊的性質(zhì)、矩形及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】解：設(shè)，則，由翻折可知，，易證根據(jù)相似的性質(zhì)得解得及，勾股定理求出，再證得即可求解．解：設(shè)，則，由翻折可知，，，E是的中點(diǎn)，，由題意可知：，，，即，解得，，，又，，，，，即：，解得：，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形和翻折的性質(zhì)，相似三角形的證明和性質(zhì)的應(yīng)用；解題的關(guān)鍵是巧設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理和相似構(gòu)造等量關(guān)系求解．5．C【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，令，，，則，，易證，得出，進(jìn)而得出，則，根據(jù)勾股定理得出，最后求出的值．解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，∵四邊形為矩形，∴，，∴四邊形和四邊形為矩形，∴，，∵，∴令，，，則，，∵為的中點(diǎn)，∴，由對折可得：，而，∴，∴，

∴，∴，由題意，得，又為公共角，∴，∴，則，整理，得，解得（舍去），，∴，，，在中，則，解得，（負(fù)根舍去），

∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理求邊長等知識，借助于相似三角形找到的關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．6．C【分析】過點(diǎn)G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分別為I、H，由折疊的性質(zhì)可得C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，設(shè)FC′=x，則EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，再證明△BC′D'∽△C′GH，設(shè)C′H=3m，則GH=4m，C′G=5m，則HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，可得到C′G=5m=5，從而解決問題．解：由折疊的性質(zhì)得，∠AD'E=∠D=90°，AD=AD'，又∵∠DAB=90°，∴四邊形ADED'是矩形，∵AD=AD'，∴四邊形ADED'是正方形，過點(diǎn)G作GI⊥AB，GH⊥ED'，垂足分別為I、H，∵AD'ED是正方形，∴AD=DE=ED'=AD'=5，BC=BC′=5，∠C=∠BC′F=90°，F(xiàn)C=FC′，∴D'B=EC=8-5=3，在Rt△C′BD'中，C′D'=4，∴C′E=5-4=1，在Rt△EFC′中，設(shè)FC′=x，則EF=3-x，由勾股定理得：12+（3-x）2=x2，解得：x=，∵∠BC′D'+∠GC′H=90°，∠GC′H+∠C′GH=90°，∴∠BC′D'=∠C′GH，又∵∠GHC′=∠BD'C′=90°，∴△BC′D'∽△C′GH，∴C′H：GH：C′G=BD'：C′D'：BC′=3：4：5，設(shè)C′H=3m，則GH=4m，C′G=5m，∴HD'=GI=AI=4-3m，ID'=5-（4-3m）=1+3m=GH=4m，解得：m=1，∴C′G=5m=5，∴FG=；故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)延長線交于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，由平行線分線段成比例定理可得，得出的值，折疊的性質(zhì)得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性質(zhì)得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值．解：如解圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)延長線交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，，∴四邊形AMNB為矩形，∴．由折疊性質(zhì)可得，．，，，即．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定定理，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】因?yàn)辄c(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，沒有指明線段的占比情況，所以需要分兩種情況討論：①；②．然后由一線三垂直模型可證∽，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的值，最后由即可求得的長．解：當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時，需要分兩種情況討論：①如圖1，當(dāng)時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質(zhì)可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．②如圖2，當(dāng)時，∵∥，，，∴四邊形為矩形，∴，，．由折疊的性質(zhì)可得，．在中，．∵，，∴，∴∽，∴，即，解得，∴．綜上所述，的長為或．故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由為線段的三等分點(diǎn)，分兩種情況討論線段的占比情況，以及利用型相似進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵．9．C【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=4，∠A=∠B=45°，過B′作B′H⊥AB與H，得到AH=B′H=AB′，求得AH=B′H=1，由勾股定理得到BB′=，由折疊的性質(zhì)得到BF=，DE⊥BB′，根據(jù)相似三角形即可得到結(jié)論．解：∵在等腰Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=2，∴AB=AC=4，∠A=∠B=45°，如圖，過B′作B′H⊥AB與H，∴△AHB′是等腰直角三角形，∴AH=B′H=AB′，∵AB′=，∴AH=B′H=1，∴BH=3，∴BB′=，∵將△BDE沿DE折疊，得到△B′DE，∴BF=，DE⊥BB′，∴∠BHB′=∠BFE=90°，∵∠EBF=∠B′BH，∴△BFE∽△BHB′，∴，∴，∴EF=，故答案為：故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，利用勾股定理求出，再證明，得，求解即可．解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

在和中，設(shè)，則，，即：，解得：，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查折疊問題及矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)并能熟練運(yùn)用勾股定理方程思想是解題的關(guān)鍵．11．【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個等式相加即可得．解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．52.5【分析】（1）根據(jù)已知條件可得∠ACD=∠A=∠BCD，所以AD=CD，然后證明△ABC∽△CBD，進(jìn)而可以解決問題；（2）由翻折可得AM=EM，∠CAD=∠E，，由ME∥CD，可得∠E=∠EDC，DF//BC，且DF=CF，進(jìn)而得到ΔADF∽ΔABC，求出DF、CF的長，再由AF：CF=AD：BD求出AF及MF的長，再證明ΔMEF∽ΔCDF，最后求得AM的長．解：（1）∵∠ACB=2∠A，CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACD=∠CAD，∵∠B=∠B，∴ΔBCD∽ΔBAC，∴BC：AB=BD：BC，即6：9=BD：6，BD=4，∴AD=CD=9-4=5；（2）∵△ADM沿DM折疊得到ΔEDM，∴AM=EM，∠CAD=∠E，∵M(jìn)E//CD，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠ACD=∠CAD，∴∠CDE=∠BCD=∠ACD，∴DF//BC，且DF=CF，∴ΔADF∽ΔABC，∴DF：BC=AD：AB，即DF：6=5：9，解得DF=，∴CF=；∵DF//BC，∴AF：CF=AD：BD，即AF：=5：4，解得：AF=，設(shè)AM=ME=x，則MF=-x；∵M(jìn)E//CD，∴ΔMEF∽ΔCDF，∴ME：CD=MF：CF，即x：5=（-x）：，解得x=2.5；故答案：5；2.5；【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是得到CM=DE=5，然后由△ABC∽△CBD解決問題．13．2【分析】（1）根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，證出AF=AB=CD，由點(diǎn)B恰好落在CD邊上的中點(diǎn)F處，得出DF=AF，得∠DAF=30°，再求出∠CFE=∠DAF=30°，即可得答案；（2）先證△AFD∽△FEC，得，由AB=AF=CD，BE=EF，得，，由，，得=x-1，可得答案．解：（1）由折疊，得AF=AB，BE=EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠D=90°，∠C=90°，∵點(diǎn)B恰好落在CD邊上的中點(diǎn)F處，∴DF=CD=AB=AF，在Rt△ADF中，由DF=AF，得∠DAF=30°，∵∠DAF+∠AFD=90°，∠AFD+∠CFE=90°，∴∠CFE=∠DAF=30°，所以在Rt△ECF中，，∴，∴x=2；（2）∵△AFE是由△ABE折疊而來的，∴△AFE≌△ABE，∴BE=EF，AB=AF=CD，∵∠EFC+∠AFD=90°，∠EFC+∠FEC=90°，∴∠AFD=∠FEC，∵∠ADC=∠BCD，∴△AFD∽△FEC，∴，∴，∵AB=AF=CD，BE=EF，∴，∴，∵，，∴1+=x，∴=x-1，∴y=（x＞1）．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊和矩形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°的角對的邊是斜邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證三角形相似．14．【分析】作EG⊥BC于G點(diǎn)，作CH⊥交延長線于H點(diǎn)，設(shè)，則，綜合折疊與矩形的基本性質(zhì)，在中運(yùn)用勾股定理求解出的值，從而得到，，然后判斷出，利用相似三角形的性質(zhì)求出CH的長度即可．解：如圖所示，作EG⊥BC于G點(diǎn)，作CH⊥交延長線于H點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離即為CH的長度，∵，∴設(shè)，則，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，又∵EG=AB=CD=，，∴，∴，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍去），∴，在中，，∴，∵，，∴，∴，∴，即：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是上述方程的解，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的折疊問題，理解矩形與翻折變化的基本性質(zhì)，靈活利用全等三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．【分析】首先得出，再根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，得出，最后利用勾股定理得出結(jié)果．解：∵點(diǎn)C恰好與的中點(diǎn)重合，∴，由翻折的性質(zhì)得，∵，∴，∴，又∵，∴設(shè)，∴，在Rt?中，CF=，∴AD=BC=BF+FC=，AB==2a，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)．16．【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)延長線交于點(diǎn)，由矩形的性質(zhì)得，由平行線分線段成比例定理可得，得出的值，折疊的性質(zhì)得，，在中，由勾股定理求得DM的值，由相似三角形的判定得出，相似三角形的性質(zhì)得出的值，在中，由勾股定理求得DG的值．解：如解圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)延長線交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，，∴四邊形AMNB為矩形，∴．由折疊性質(zhì)可得，．，，，即．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定定理，勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．17【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，，，，，，GD=8cm，設(shè)，則GN=acm，DN=（8+a）cm，再由折疊的性質(zhì)可得，可求得，據(jù)此即可求得a的值，即可求得BC的長．解：沿直線翻折后得到，沿直線翻折后得到，，，，，設(shè)cm則cm、G、N三點(diǎn)共線cm由對折知，且得，解得故故答案為：17【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用各圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．18．或【分析】由折疊的性質(zhì)，易得，分或兩種情況進(jìn)行討論求解．解：由折疊的性質(zhì)可知，，，．∴，∵，∴，∴．∵是“345三角形”，∴或．①若，設(shè)，則，，∴，∴．∴，解得，∴．在中，由勾股定理，得．②若，同理，可得．綜上所述，的長為或．【點(diǎn)撥】本題考查折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理．理解并掌握“345三角形”的定義是解題的關(guān)鍵．19．（1）①；；②；（2）7【分析】（1）①由和是旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)線段可得旋轉(zhuǎn)角為，即。在中，利用勾股定理求出的長，又與是對應(yīng)線段，故，，進(jìn)而用勾股定理可求出的長；②由可得，從而得到邊之間的比例關(guān)系，求解即可；（2）由題意可得，，利用勾股定理直接求得，從而得到的長，連接，利用勾股定理求出和的長，設(shè)所求，則用含x的式子表示，的長，又，在中，利用勾股定理構(gòu)造方程，即可求出x的值，即的長．解：（1）①由題意可得旋轉(zhuǎn)后得到，是旋轉(zhuǎn)角，故∵在矩形中，，，∴在中，是由旋轉(zhuǎn)得到，故答案為：；②∵∴，∴，即，解得.（2）如圖，連接∵，∴∵∴.在中，在中，設(shè)，則∴，，在中，∴解得∴【點(diǎn)撥】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理解決折疊問題，熟練運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．20．（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，證明見分析【分析】（1）首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得的，然后利用勾股定理求出，得到，然后求解即可；（2）首先根據(jù)線段的和差得到，然后證明出，最后利用勾股定理和折疊的性質(zhì)求解即可；（3）首先根據(jù)題意證明，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，然后證明出，得到，，根據(jù)同角的余角相等得到，可證明出是等腰直角三角形．解：（1）∵由題意可得，∵矩形紙片中，，∴∴∴，故答案為：45°；（2）∵矩形紙片中，∴∵，∴∵∴∴∴∴；（3）∵∴由折疊的性質(zhì)可得，，∴又∵∴∴，即∴∴∴，即又∵∴又∵∴∴，∵∴∴∴是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．21．（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，結(jié)合，得證，得到，根據(jù)勾股定理，得到，消去y即可得解．（2）設(shè)，則，根據(jù)，矩形，得到，結(jié)合得到，繼而得到，得到，即，根據(jù)，確定，結(jié)合，確定，轉(zhuǎn)化為第（1）問，代入計(jì)算即可．解：（1）設(shè)，∵沿著折疊，點(diǎn)B落到，，．∴，，∵，∴，∴，∴，解得，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得（舍去）∴．（2）設(shè)，則，∵，矩形，∴，∵∴，∴，∴∴，即，∴，∴，∵，∴．設(shè)，∵沿著折疊，點(diǎn)B落到，，．∴，，∵，∴，∴，∴，解得，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得（舍去）∴．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法，熟練掌握折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．（1）見分析；（2）①；②5【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）①由（1）知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；②過M作于N，先證明，然后證明，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．（1）解：如圖：